高三数学《专题十四导数的应用（理科）》

1、导数的应用导数的应用 （理科）（理科） 课前导引课前导引 课前导引课前导引 1. 曲线曲线f(x)=x3+x 2在点在点P处的切线平处的切线平行于直线行于直线y=4x 1,则点则点P的坐标为的坐标为 ( ) A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)或或 ( 1, 4) D. (2,8)或或( 1,4) 课前导引课前导引 1. 曲线曲线f(x)=x3+x 2在点在点P处的切线平处的切线平行于直线行于直线y=4x 1,则点则点P的坐标为的坐标为 ( ) A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)或或 ( 1, 4) D. (2,8)或或( 1,4) 41014132),(,

2、13)( 0000200030002yxyxxyxxyxPxxf或或有有则则设设 解析解析 课前导引课前导引 1. 曲线曲线f(x)=x3+x 2在点在点P处的切线平处的切线平行于直线行于直线y=4x 1,则点则点P的坐标为的坐标为 ( ) A. (1,0) B. (2,8) C. (1,0)或或 ( 1, 4) D. (2,8)或或( 1,4) 41014132),(, 13)( 0000200030002yxyxxyxxyxPxxf或或有有则则设设 解析解析 C 2. 设设f( x )、g( x )是定义域为是定义域为R的的恒大于零的可导函数，且恒大于零的可导函数，且 ，则当，则当ax f

3、( b )g( b ) B. f( x )g( a ) f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) f( b )g( x ) D. f( x )g( x ) f( a )g( a ) 0)()()()( xgxfxgxfC 2. 设设f( x )、g( x )是定义域为是定义域为R的的恒大于零的可导函数，且恒大于零的可导函数，且 ，则当，则当ax f( b )g( b ) B. f( x )g( a ) f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) f( b )g( x ) D. f( x )g( x ) f( a )g( a ) 0)()()()( xgxfxgxf

4、 考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1. 了解导数概念的某些实际背景（如了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等等）；掌握函数在一点处的导数的定义等等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念.；为有理数为有理数为常数为常数熟记基本导数公式：熟记基本导数公式：)()( (2);(0 (1) 2.1nnxxCCnn .ln1)(log )8( ;1)(ln )7(;ln)( )6( ;)( )5(;sin)(cos )4( ;cos)(sin 3)(axxxxaaaeexx

5、xxaxxxx 3. 掌握两个函数和、差、积、商的掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，求导法则；了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数会求某些简单函数的导数. 4. 会从几何直观了解可导函数的单调会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（极值点取得极值的必要条件和充分条件（极值点处的导数为零且导数在极值点两侧异号）处的导数为零且导数在极值点两侧异号）. 5. 会用导数法判断函数的单调性、求会用导数法判断函数的单调性、求函数的单调区间函数的单调区间. 6. 会用导数法求函数

6、的极值与最值会用导数法求函数的极值与最值. 链接高考链接高考 链接高考链接高考 ., 1 , 1)( )2( )(, ) 1 ( .)2()(, 0 )II( 2的取值范围求上是单调函数在设证明你的结论；取得最小值？为何值时当函数已知全国axfxfxeaxxxfax 例例44 链接高考链接高考 ., 1 , 1)( )2( )(, ) 1 ( .)2()(, 0 )II06( 2的取值范围求上是单调函数在设证明你的结论；取得最小值？为何值时当函数已知年全国axfxfxeaxxxfax 例例44得：得：求导数求导数对函数对函数,)( (1) xf 解析解析 变化如下表：变化如下表：、变化时变化时

7、当当其中其中解得：解得：从而从而得得令令)()( ,.,11,11, 02)1(2, 02)1(2, 0)( .2)1(2 )22()2()( 2122212222xfxfxxxaaxaaxaxaxeaxaxxfeaxaxeaxeaxxxfxxxx 00极大值极小值x)( xf)(xf),(1x1x),(21xx2x),(2x; 0)2()(,0.),(,),()(, 0, 1,0.,)(2212121 xeaxxxfxxxxxfxxaxxxxxf时时而当而当函数函数上为增上为增在在上为减函数上为减函数在在时时当当取到极小值取到极小值处处在在处取到极大值处取到极大值在在即即.)(,11, 0)

8、(,02取得最小值取得最小值时时所以当所以当时时当当xfaaxxfx .)(,11, 0)(,02取得最小值取得最小值时时所以当所以当时时当当xfaaxxfx 上为单调函数的上为单调函数的在在综上综上解得解得即即单调函数的充要条件是单调函数的充要条件是上为上为在在时时当当1 , 1)(,.43:, 111, 11 , 1)(,0 )2( 22 xfaaaxxfa).,43.43 的取值范围是的取值范围是即即充要条件是充要条件是aa).,43.43 的取值范围是的取值范围是即即充要条件是充要条件是aa 点评点评 本题主要考查导数的概念本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方和计算，

9、应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力法及推理和运算能力. 在线探究在线探究 在线探究在线探究 .,)1 , 1()( )2( )1 , 1()(,41 )1( )(3232)( . 1 23的取值范围的取值范围求求个极值点个极值点内有且只有一内有且只有一在在若若减函数；减函数；内是内是在在求证求证时时当当已知已知axfyxfaRaxaxxxf .)1 , 1()(, 0)( )1 , 1()( ,0)41(4)1(0)41(4)1( ,41. 342)( ,3232)()1( 223内是减函数内是减函数在在故故内内在在的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数又又 xfxfxfaf

10、afaaxxxfxaxxxf 法一法一 .)1 , 1()(41. 0)( ),1 , 1(, 03141412 342342)( ,41 , 1 ),1 , 1(. 342)( ,3232)( 222223内是减函数内是减函数在在时，时，所以当所以当即当即当又又即即 xfaxfxxaxaxxxfaxxaxxxfxaxxxf 法二法二 .)1 ,()(), 1()(, 0)( )1 ,(, 0)( ), 1(,0)41(4)1(0)41(4)1( 410)( ),1 , 1()2(000000内是减函数内是减函数在在内是增函数，内是增函数，在在即即内内在在内内在在时，时，当当则则设极值点为设极

11、值点为xxfxxfxfxxfxafafaxfx ).,41()41,( .)1 , 1()()1(,4141 .,)1 , 1()(,41 .,)1 , 1()(41 的取值范围为的取值范围为故所求故所求内没有极值点内没有极值点在在知知由由时时当当且是极小值点且是极小值点内有且只有一个极值点内有且只有一个极值点在在同理可知同理可知时时当当且是极大值点且是极大值点一个极值点一个极值点内有且只有内有且只有在在时时当当axfaxfaxfa 方法论坛方法论坛 方法论坛方法论坛 1. 应用导数定义的等价形式解题：应用导数定义的等价形式解题： 方法论坛方法论坛 1. 应用导数定义的等价形式解题：应用导数定

12、义的等价形式解题：.2)()3(lim,)( ,)( 0hhafhafAafaxxfh 求极限求极限且且处可导处可导在在设函数设函数 例例11 方法论坛方法论坛 1. 应用导数定义的等价形式解题：应用导数定义的等价形式解题：.2)()3(lim,)( ,)( 0hhafhafAafaxxfh 求极限求极限且且处可导处可导在在设函数设函数 例例11hhafafafhafhhafhafhh2)()()()3(lim2)()3(lim 00 解析解析 .2)( 2)( 21)( 23)()(lim21 3)()3(lim232)()(lim2)()3(lim0000Aafafafhafhafhafh

13、afhafhafhafhafhhhh ).( )()()(lim,)(, 0)(, 0)(lim000afxgafxgafaxxfxgxxxgxxxx 则则处可导处可导在在时时且当且当若若 点评点评 要准确理解导数定义要准确理解导数定义, 本质上讲本质上讲,2. 应用导数判断函数的单调性：应用导数判断函数的单调性：2. 应用导数判断函数的单调性：应用导数判断函数的单调性：) ( ,0)1()sin(,20,)( 3的取值范围是的取值范围是则实数则实数立立恒成恒成时时若当若当设函数设函数mmfmfRxxxxf 例例22)1 ,( .D )21,( .C)0 ,( .B )1 , 0( .A)1(

14、 1)sin1(1sin)1()sin(0)1()sin(,)(,)(013)( 2 mmmmfmfmfmfxfRxfxxf故不等式故不等式为奇函数为奇函数显然显然上为增函数上为增函数在在恒成立知恒成立知由由 解析解析 , 1sin11 0)2( sin11)1(, 0sin1 20,)1( 20min 时，时，当当式式时，时，当当式恒成立，此时式恒成立，此时时，时，当当mRmD. 1: . 1,)2(答案：答案：综上可知综上可知得得式恒成立式恒成立故由故由 mm. 性是解题的关键性是解题的关键的单调的单调本题利用导数发现函数本题利用导数发现函数D. 1: . 1,)2(答案：答案：综上可知综

15、上可知得得式恒成立式恒成立故由故由 mm 点评点评 3. 应用导数求函数的极值或最值应用导数求函数的极值或最值（解决应用问题）（解决应用问题）: 3. 应用导数求函数的极值或最值应用导数求函数的极值或最值（解决应用问题）（解决应用问题）: 例例3 3 用总长用总长14.8m的钢条制成一个的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 3. 应用导数求函数的极值或最值应用导数求函数的极值或最值（解决应用问题）（解

16、决应用问题）: 例例3 3 用总长用总长14.8m的钢条制成一个的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解析解析 设容器底面短边长为设容器底面短边长为xm，则，则另一边长为另一边长为(x+0.5)m，高为，高为, 041115, 06 . 14 . 46, 0, 6 . 14 . 46,6 . 12 . 22,m, 6 . 10:0022 . 3,22 . 34)5 . 0(448 .14222233

17、xxxxyxxyxxxyyxxxxxx即即有有令令则则有有设设容容器器的的容容积积为为得得和和由由.m8 . 1,m2 . 1. 2 . 1122 . 3,. 8 . 16 . 12 . 22.1,),0(,)6 . 1()0(,. 01)6 . 1 , 0(,).,(154, 1:321最大容积为最大容积为时容积最大时容积最大答：容器的高为答：容器的高为高为高为这时这时取得最大值取得最大值时时当当因此因此接近接近值很小值很小时时接近接近或过大或过大接近接近过小过小若若由题意由题意使使处处内只有在内只有在在定义域在定义域从而从而舍去舍去不合题意不合题意解得解得最大值最大值 yyxyxyxxx

18、点评点评 (1) 本题主要考查应用所学导本题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，同时考查建立函数式、解方程、能力，同时考查建立函数式、解方程、不等式等基础知识及求最值的方法不等式等基础知识及求最值的方法. (2) 求可导函数在闭区间上的最值，求可导函数在闭区间上的最值，只需比较导数为零处的函数值与区间端只需比较导数为零处的函数值与区间端点处的函数值的大小点处的函数值的大小. 4. 运用导数的几何意义处理与切线运用导数的几何意义处理与切线有关的问题有关的问题: 4. 运用导数的几何意义处理与切线运用导数的几何意义处理与切线有关的问题有关的问

19、题: 例例4 4 函数函数 f (x)=ax3+bx在在x=1处有极处有极值值2，点，点P是函数图象上任意一点，过是函数图象上任意一点，过P的切线的切线l 的倾斜角为的倾斜角为 ，则，则 的取值范围是的取值范围是_. 4. 运用导数的几何意义处理与切线运用导数的几何意义处理与切线有关的问题有关的问题: 例例4 4 函数函数 f (x)=ax3+bx在在x=1处有极处有极值值2，点，点P是函数图象上任意一点，过是函数图象上任意一点，过P的切线的切线l 的倾斜角为的倾斜角为 ，则，则 的取值范围是的取值范围是_. 解析解析 f (x)=3ax2+b, 依题意依题意, 有有 312032)1(0)1

20、( bababaff.203arctan0tan0tan3, 333)( tan),(. 33)( 200002 或或或或由由则则设设xxfyxPxxf.203arctan0tan0tan3, 333)( tan),(. 33)( 200002 或或或或由由则则设设xxfyxPxxf)., 3arctan)2, 0 答案：答案：.203arctan0tan0tan3, 333)( tan),(. 33)( 200002 或或或或由由则则设设xxfyxPxxf)., 3arctan)2, 0 答案：答案： 点评点评 若函数若函数 f (x)在在 x=x0 处可导处可导, 则则函数函数 f (x)

21、 的图象在点的图象在点(x0, f (x0)处的切线的处的切线的斜率为斜率为f (x0).5. 运用导数法证不等式运用导数法证不等式:5. 运用导数法证不等式运用导数法证不等式: 例例55.sin6:, 03xxxxx 证明证明设设5. 运用导数法证不等式运用导数法证不等式: 例例55 解析解析 设设 f (x) = x sinx, x0, 则则.sin6:, 03xxxxx 证明证明设设则则令令故故即即有有时时所以当所以当为增函数为增函数时时于是当于是当, 0,6sin)(.sin, 0sin),0()(,0.)(,0, 0cos1)( 2 xxxxxgxxxxfxfxxfxxf, 0)0(

22、)()( ,0,), 0)(, 0)( ,.sin)( ,21cos)(,21cos)( 22 hxhxgxxhxhxxxhxxxhxxxg时时故当故当上单调递增上单调递增在在由已证结果由已证结果则则令令.,.6sin, 06sin, 0)0()(,)(33原不等式成立原不等式成立综上综上从而从而即即为增函数为增函数故故xxxxxxgxgxg .,.6sin, 06sin, 0)0()(,)(33原不等式成立原不等式成立综上综上从而从而即即为增函数为增函数故故xxxxxxgxgxg 点评点评 用导数法证不等式，需构造函用导数法证不等式，需构造函数，再研究函数单调性数，再研究函数单调性. 6. 利用导数解决与单调性、极值、利用导数解决与单调性、极值、最值等有关的参数范围问题最值等有关的参数范围问题: 6. 利用导数解决与单调性、极值、利用导数解决与单调性、极值、最值等有关的参数范围问题最值等有关的参数范围问题:的的取取值值范范围围；求求实实数数于于或或等等于于的的交交点点和和原原点点的的距距离离小小轴轴的的图图象象与与上上的的函函数数已已知知定定义义在在ayaxaxaxxfR )1( . 1)2(2)4(2131)( 23 例例66.,)(, )2( 在在说说明明