高量6-01多个角动量耦合ppt课件

1、年月年月第六章第六章 多个角动量耦合多个角动量耦合引言引言构造原子和原子核等全同多粒子体系的波构造原子和原子核等全同多粒子体系的波函数，要求：函数，要求：、具有一定的交换对称性、具有一定的交换对称性、是角动量算符的本征态、是角动量算符的本征态涉及不同耦合方式之间的关系如涉及不同耦合方式之间的关系如 L-S耦耦合、合、j-j耦合），将碰到四个角动量的耦合耦合），将碰到四个角动量的耦合解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其解决此类问题涉及多个角动量的耦合，其 基础是两个和三个角动量的耦合基础是两个和三个角动量的耦合定位：应用上十分重要的技术性问题定位：应用上十分重要的技术性问题6.1三个角动量耦合三

2、个角动量耦合Racah系数，系数，6-j符号符号Racah Coefficient; 6-j Symbol一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系三角动量耦合有次序问题，三角动量耦合有次序问题，Racah系数由系数由此而来此而来考虑彼此对易且独立的三个角动量考虑彼此对易且独立的三个角动量知知3 , 2 , 1)() 1()(22imjjJJimjiiiimjiziiiii三角动量相加三角动量相加321JJJJ有三种方式有三种方式)1 (3121221aJJJJJJ；)1 (2312332bJJJJJJ；)1 (1321331cJJJJJJ；一、一、Racah系数；与系数；与

3、C-G系数之关系系数之关系(1a)对应对应zJJJJJJ2232122221的共同本征函数的共同本征函数)3()12();(33312121233121231221mjmmmjjmmjmjCjmjjjj)2()1 ()12(2231211121222111212mjmmmjmjmjmjmjC(1b)对应对应zJJJJJJ2223232221的共同本征函数的共同本征函数)23() 1 ();(23233121123231123321mjmmmjjmmjmjCjmjjjj323322232333222323)3()2()23(mmmjmjmjmjmjmjC一、一、Racah系数；与系数；与C-G系

4、数之关系系数之关系两个表象通过一个幺正变换相联系两个表象通过一个幺正变换相联系);();();(2332123123213122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj 综合以上各式可得综合以上各式可得jmjjjjjmjjjjjjjjjjU;|;);(3122123321231232123123212323332223231133121212122211mmmmmmjmjmjjmmjmjjmmjmjmjmjmjCCCCU为为C-G系数乘积组合而成，因而为实数系数乘积组合而成，因而为实数称称U为重耦合为重耦合(recoupling)系数系数一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系

5、系数之关系U与所有磁量子数无关与所有磁量子数无关1、2312321,mmmmm已求和，已求和，U与之无关与之无关2、证明与、证明与m无关。以升降算符作用于变换式无关。以升降算符作用于变换式jmjjjjJjjjjjjUjmjjjjJj;|);(;|23321231232131221231;| );(1;|2332123123213122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj m 不同对应的变换系数相同不同对应的变换系数相同一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系变换系数的幺正性变换系数的幺正性由由31221312211212;|;jjjmjjjjjmjjjj23321

6、233212323; |;jjjmjjjjjmjjjj23123212312321121223);();(jjjjjjjjjUjjjjjjU23123212312321232312) ;();(jjjjjjjjjUjjjjjjU逆变换逆变换);();();(3122123123212332112jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj一、一、Racah系数；与系数；与C-G系数之关系系数之关系定义定义Racah系数系数2/1231223123212312321)12)(12/();();(jjjjjjjjUjjjjjjW解析表达式解析表达式2/1231222312313212312332312

7、1221233223131212212312321)!()!()!()!()!()!()!( )!1()()()()()();(321jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjWvjjjj二、二、Racah系数的解析表达式系数的解析表达式三角关系三角关系2/112211122211212211221)!1()!()!()!()(jjjjjjjjjjjjjjjRacah系数包含四个系数包含四个C-G系数系数四个三角关系四个三角关系三、三、Racah系数的对称性系数的对称性由由C-G系数对称性而来系数对称性而来在量子数交换时，必须保持四个三角关系在量子数交

8、换时，必须保持四个三角关系三角关系图形三角关系图形一个图形对应一个一个图形对应一个Racah系数系数规定图中弯形箭头的次序为规定图中弯形箭头的次序为Racah系数中系数中角量子数的排列次序，共角量子数的排列次序，共24个图形个图形三、三、Racah系数的对称性系数的对称性两种交换对称性两种交换对称性分号两边量子数间无交换的分号两边量子数间无交换的W都相等都相等分号两边量子数有交换的分号两边量子数有交换的W相差一相因子相差一相因子);();();();();();(.122312312233212312213231212323123122312321jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjj

9、jjjjWjjjjjjWjjjjjjWge);()();()();(.23231213123212231232122312312312jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWgejjjjjjjj三、三、Racah系数的对称性系数的对称性完全版完全版2312321jjjjjjabcdef );(),;(),;(),;();(),;(),;();(fedbcaWfebdacWfecadbWfeacbdWefdcbaWefcdabWefbadcWefabcdW);(),;(),;(),;();(),;(),;(),;()()(cbdefaWcbedafWcbfadeWcbafedWbcdfeaWb

10、cfdaeWbceadfWbcaefdWabcdefWfecb);(),;(),;(),;();(),;(),;(),;()()(dafbceWdabfecWdacefbWdaecbfWadfcbeWadcfebWadbefcWadebcfWabcdefWfeda四、四、6-j 符号符号 Wigner引进引进);()()12)(12();()(23123212/1231223123212331221321321jjjjjjWjjjjjjjjUjjjjjjjjjjjjjj对称性更高，在下列变换下值不变对称性更高，在下列变换下值不变任意两列交换；任意两列上下两行交换任意两列交换；任意两列上下两行交

11、换事实上，对应事实上，对应24 个个W的的6-j 符号全相等符号全相等五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 C-G系数与系数与Racah系数间求和公式系数间求和公式) 1 ();(2323112233211221122211223232233222312321jmjjjmjjjjjjjjCjjjjjjUCCCjmjjjjjjjjjjmjjCCjjjjjjUCC2233211221122211122323223322232311);()2(2312321五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 证明证明 把展开式代入变换关系把展开式代入变换关系);();();(23321231232

12、13122123jmjjjjjjjjjjUjmjjjjj3322112312321332211|);(|2332123233322232311231232133121212122211mjmjmjCCjjjjjjUmjmjmjCCmmmmmjmjmjjmmjmjjmmmmjmmjmjmjmjmj五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式以左矢以左矢|332211jjj作用于两边作用于两边232332332223231123322333223223112333211221122211);();(23123212312321jjjjmjjjjjjjmjjjjmjjjjjCCjjjjjjUCCjj

13、jjjjUCC以以223233322jjjC作用上式两边得作用上式两边得 (1) ;(122312321jjjjjjjU以以作用得作用得 (2)五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 Racah系数间求和公式系数间求和公式（1）);();()();(31231322312321123121323312312321jjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjjjj 用用Racah系数表示系数表示);();() 12()();(3123132231232123123121323312312321jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjjWjjjjjjjj 五、五、Racah 系数求和

14、公式系数求和公式 Racah系数间求和公式系数间求和公式（2）);();();();();(124231423141241241212412341232412341232312312321124jjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUjjjjjjUj);();();() 12();();(124231423141241241212412341231242412341232312312321124jjjjjjWjjjjjjWjjjjjjWjjjjjjjWjjjjjjWj用用Racah系数表示系数表示五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式证明两个求和公式要用到的关系式证明两个

15、求和公式要用到的关系式jmjjjjjmjjjjjjjjjjU;|;);(31221233212312321jmjjjjjmjjjj;|;2332131221jmjjjjmjmjmjCCmjmjmjCCjmjjjjjjjmmmmjmmjmjmjmjmjjjjmmmmjmmjmjmjmjmj;|)(|)(|;|31212332211332211312211221123213312121212112212211232133121212122211以及以及jmjjjjjmjjjjjjj;|)(;|1221331221123五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 （1式的证明式的证明插入封闭关系j

16、mjjjjjmjjjj;|;3113231221jmjjjjjmjjjjjmjjjjjmjjjjj;|;|;311322332123321312212323;|;);(31132233212312321jjmjjjjjmjjjjjjjjjjUjmjjjjjmjjjj;|;3113231221而jjjjjjjmjjjjjmjjjj231312)(;|;)(2311312213);()(12312132311232jjjjjjUjjjjj五、五、Racah 系数求和公式系数求和公式 （1式的证明续）式的证明续）jmjjjjjmjjjj;|;3113223321又jmjjjjjmjjjjjjj;|;

17、)(3113212332231);()(3123132231jjjjjjUjjj将后两式代入第一式，注意到将后两式代入第一式，注意到，即得，即得1）SSjjjjjS)()(2311232整数jjjjjjjjjjjjjjjevenjjjjjjjjjjjS312312321312312321312312321231)()()()()(443六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 用于计算不可约张量算符矩阵元用于计算不可约张量算符矩阵元jmjjTTjmjjLL2121| )2() 1 (|2211212211) 12)(12(|)2(| |) 1 (| )(21jjjjLjjjjTjjTjLL

18、jjj六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 用于计算不可约张量算符矩阵元用于计算不可约张量算符矩阵元jmjjTmjjjLM2121| ) 1 (| 211111); () 12)(12(|) 1 (| )(1222mjjmLMLjjLjjjCLjjjjjWjjjTj六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 具体例子具体例子计算电子角动量平均值计算电子角动量平均值jmlLjmljmlLjmlz210212121|jmjmjlClljjWljlLl10211)1 ;() 12)(12()(|21利用利用) 1(|lllLl ) 1(/10jjmCjmjm) 12)(1() 12)(1(

19、2) 1() 1()()1:(432121llljjjlljjlljjWlj) 1() 1() 1(2|432121lljjjjmjmlLjmlz六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用 计算电子角动量平均值续）计算电子角动量平均值续）jmLJjmjjjmJjmjmlLjmlz|) 1(|202121亦可利用一阶张量投影定理计算亦可利用一阶张量投影定理计算六、六、Racah 系数基本应用系数基本应用具体例子具体例子计算氦核电四极矩计算氦核电四极矩设氦核处于态设氦核处于态13P1111|13P电四极算符电四极算符)(202251620YreQ1111|11111111|11112022516

20、20YreQ11112011212022516)21;1111(33)(1|1CWYre因因451024510102021|1CY10/1111120C6/1)21;1111(W25120reQ6.2矢量球函数及梯度公式矢量球函数及梯度公式Vector Spherical Function一、矢量球函数一、矢量球函数 矢量函数描述矢量函数描述 S=1 的粒子的粒子010100000 iSx12122zSS01211i10010012111i一、矢量球函数一、矢量球函数 总角动量本征函数总角动量本征函数mLMmJMmLMzJMLLLYCsT11, 0, 111)()(称为矢量球函数称为矢量球函数

21、一、矢量球函数一、矢量球函数 梯度公式梯度公式lmllllmllllmTlrrrrTlrrrrYr111211121) 1()()()()()(6.3四个角动量耦合四个角动量耦合9-j符号符号9-j Symbol一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的耦合 考虑两种耦合次序考虑两种耦合次序对应两个表象对应两个表象力学量完全集力学量完全集共同本征函数展开式共同本征函数展开式一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的耦合 变换系数与变换系数与9-j 符号符号与与C-G系数的关系系数的关系一、考虑四个角动量的耦合一、考虑四个角动量的耦合 9-j 符号与符号与6-j 符号的关符号的关系系1)243434232243344322) 12)(12()(0342432jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj2) 31241324234433412212241334431221) 12()(jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj一、一、9-j 符号的对称性符号的对称性 9-j 符号与符号与