等差数列与等比数列的证明方法

1、等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差等比数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢?证明或判断等差等比数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。一、定义法10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：an 1 an d常数an是等差数列a2n 2 a2n d常数a2n是等差数列a3n 3 a3n d 常数a?.是等差数列20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：an an dn 2an是等差数列an 1 an an an 1n 2an 是等差数列30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 空 qq 0且为常数，a1 0an为等比数列an40.证明数列

2、是等比数列的充要条件的方法：q n>2, q为常数且工0an为等比数列an 1an本卷须知：用定义法时常米用的两个式子 an an 1 d和an 1 an d有差异，前者必须加上“ n > 2 ，否那么n 1时a0无意义，等比中一样有：n > 2时，有丄an 1常数N时，有苑an例1.设数列qa，中的每一项都不为0证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N，都有111nSia2a2a3anan 1aian 1证明：先证必要性设an为等差数列，公差为d,那么当d =0时，显然命题成立当d半0时，1 111anan 1 d an an 11 1 1+H十la2衍衝玄“4

3、1再证充分性:1116a2a? a3a3 a4111印a2a2 a3a3 a4-得：1n 1nan 1 3n24 an 2a1 an 1r 1 r1naan 1aian 111n 1anan 1a1an 2a1 N 2两边同以anan罔得：a1 (n 1)an 1 nan 2同理：a1 nan (n 1总1一得：2nan 1 n(an an 2)即：an 2 an 1 an 1 an an为等差数列例2.设数列an的前n项和为Sn，试证an为等差数列的充要条件是n(a1 an)*、Sn2，(nN)。证：丨假设an为等差数列，那么aiana2 an 1a3an 2Sk,2SnSn(a1an )

4、(a2 an 2)n1 a.)2当n?2时，由题设，Sn所以anSn同理有an从而an 1an(an aj(n 1)佝 an 1),Sl啥 a.)2Sn(na2)(n 1)(aia."1)(印 NJ2(n 1)佝an 1)n(ai an)门an)(n 1)佝an 1)整理得：an+1 an=an an1,对任意从而an是等差数列.3.数列an是等比数列n?2成立.Sn是其前n项的和，S2k Sk, S3k S2k，仍成等比数列。证明一:1当q=1时，结论显然成立;2当1时，Sk,S2k2kq,S3k3kqS2kSk2k印1 q1 qS3kS2k/ 3ka1 1 q2ka 1 q1 q

5、S2kSk2k , kag1 q1 q2 2k k 23 q 1 q(1 q)2qk22a1 q(1 q)2Sk = Sk (S3k S2k)2k 12M (S3kS2k)ka1 1 q2k ag11 q二2, S2kSo S3kS2k成等比数列证明一：S2k B=(aia2a3a2k) (aia2a3ak)=ak 1:人 2 ak 3a2k = qk1 a? a? aj 二qkSk 0同理，Ek S2k = a2k 1a2k 2 a2k 3氐=q 20二2, S2kSo S3kS2k成等比数列、中项法(1).(充要条件)假设2an 1兔an 2an是等差数列(注：三个数a,b,c为等差数列的

6、充要条件是：2b a C)(充分条件)2an an 1 an 1 (n 2) an是等差数列，2.(充要条件)假设a“an 2 an 12(an 0) 佝是等比数列(充分条件)2 an an 1 an 1门?1為是等比数列，注：bac且(a c 0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件b Jac 是a、b、c等比数列的必要不充分条件.b ac且(a c 0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有 ac>0,那么等比中项一定有两个三、通项公式与前n项和法1. 通项公式法1.假设数列通项an能表示成an an b a, b为常数的形式，2.假设通项a能表示成a

7、n cqnc q均为不为0的常数，n N 的形式， 那么数列an是等比数列.充要条件2. 前n项和法1.假设数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn a,b为常数的形式，那么数列an是等差数列；充要条件2.假设Sn能表示成Sn Aqn A A, q均为不等于0的常数且qM 1的形式， 那么数列an是公比不为1的等比数列.充要条件四、归纳一猜想-数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用 数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k时 命题成立到“ n k 1时命题成立要会过渡.五、反证法解决数学问题的思维过程

8、，一般总是从正面入手，即从条件出发，经过一系 列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情 况，这时可从反面去考虑.六、等差数列与等比数列的 一些常规结论假设数列a门是公比为q的等比数列，那么1数列an an为不等于零的常数仍是公比为q的等比数列；2假设bn是公比为q的等比数列，那么数列an-bn是公比为qq的等比数列；3数列丄是公比为1的等比数列；anq4an是公比为q的等比数列;5在数列需中，每隔kk n项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk1 ；6假设m n pm n p n成等差数列时,am，an，ap成等比数列；7Sn, S2n Sn, S3n务均不为零时，那么务§3n成等比数列；8假设log ban是一个等差数列，那么正项数列an是一个等比数列.假设数列an是公差为d等差数列，那么1kan b成等差数列，公差为kd其中k 0, k, b是实常数；2Sn 1k Skn , k N , k为常数，仍成等差数列，其公差