第十二章习题课 ppt课件

1、第十二章第十二章 数项级数数项级数 nnnuuuuu32111 1、数项级数、数项级数 常数项级数收敛常数项级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散)0(0aqann. 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 性质性质1 若级数若级数un 与与 vn 都收敛，则对任何常都收敛，则对任何常数数 c , d 级数级数( cun + d vn ) 也收敛，且也收敛，且 ( cun + d vn ) =c un + d

2、vn 性质性质2 去掉、增加或改变级数的有限个项不改去掉、增加或改变级数的有限个项不改变变 级数的敛散性级数的敛散性 性质性质3 在收敛级数的项中任意加括号，不改变在收敛级数的项中任意加括号，不改变级数的敛散性，也不改变它的和级数的敛散性，也不改变它的和 定理定理12.6 12.6 设设 un un 和和vn vn 是两个正项级数是两个正项级数, ,若存若存在在N 0, N 0, 使得对一切使得对一切 n N , n N , 都有都有 un vnun vn那么那么 若级数若级数vn 收敛，则级数收敛，则级数un 收敛；收敛； 若级数若级数un 发散，则级数发散，则级数vn发散发散定义定义0,1

3、 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns2 2、正项级数及其敛散性判别法、正项级数及其敛散性判别法判别法判别法(1) (1) 比较判别法比较判别法(2) (2) 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;(3) (3) 比式判别法的极限形式比式判别法的极限

4、形式 设设un un 为正项级数，为正项级数， 且且,lim1quunnn 假设假设 q 1 , 则级数则级数un 发散；发散； 假设假设 q = 1 , 则此判别法失则此判别法失效效(4) (4) 根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式 设设un un 为正项级数，为正项级数， 且且,limlunnn 假设假设 l 1 , 则级数则级数un 发散；发散； 假设假设 l = 1 , 则此判别法失效则此判别法失效3 3、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法定义：正、负项相间的级数称为交错级数定义：正、负项相间的级数称为交错级数 定理定理( (莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法) )如果交错级数如果

5、交错级数 (-1)n-1 un (un 0) (-1)n-1 un (un 0) 满足条件：满足条件： 数列数列 un un 单调递减；单调递减； 0lim nnu则交错级数收敛则交错级数收敛并且余项满足：并且余项满足：.|1 nnuR定义定义 正项和负项任意出现的级数称为一般项级数正项和负项任意出现的级数称为一般项级数. .定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4 4、一般项级数及其判

6、别法、一般项级数及其判别法 定理定理 ( (阿贝尔判别法阿贝尔判别法) ) 假设假设 an an 为单调有界为单调有界数列，且级数数列，且级数bn bn 收敛，则级数收敛，则级数 anbn anbn 收敛收敛 定理定理 ( (狄利克雷判别法狄利克雷判别法) ) 若数列若数列 an an 单调单调递减趋于零，又级数递减趋于零，又级数bn bn 的部分和数列有界，那么的部分和数列有界，那么级数级数 anbn anbn 收敛收敛21111111121222222( )( )()( )nnnSn 21132122( )()( )nnnSn 111111111112233411111()()()()()

7、nnnSnnn 1111222( ) pmm 021222 22()pmmmp 解解 因为因为202 sin( ),33nnn 而几何级数而几何级数 收敛，于是比较原则有收敛，于是比较原则有2( )3n 2 sin3nn 收敛收敛解解 由由11limlim1,1nnnnn nnn而级数而级数 发散，所以级数发散，所以级数 发散发散1n1nn n解解解因为不存在，所以原级数发散解因为不存在，所以原级数发散lim( 1)1nnnn所以原级数发散所以原级数发散解因为解因为 , 故故lim|( 1)| 11nnnnlim( 1)01nnnn解解 由而级数发散，由而级数发散，2|( 1) sin|lim

8、1,2nnnn2n所以级数所以级数 发散发散2|( 1) sin|nn当当 时，原级数发散；时，原级数发散；|xe当当 时，因时，因|xe1所以原级数发散；所以原级数发散；解解 对数列对数列 ，当，当 时，有时，有 1nnxx0 x 011nnxx又当又当 时，有时，有01x1111nnnnxxxx又当又当 时，有时，有1x 1111nnnnxxxx所以数列所以数列 单调有界，单调有界，1nnxx例例 级数级数21sin( 1)nnnn收敛但不绝对收敛收敛但不绝对收敛. . 解解 由于由于21sin( 1)nnnn的绝对值级数的绝对值级数211sin11cos2,2nnnnnnn111cos2,(3),nnnnn其其中中发发散散收收敛敛 根根据据例例 结结论论故故21sinnnn发发散散. .21sin(1cos2 ),2nn 又又因因得得211sin11cos2( 1)( 1)2nnnnnnnn