第十节闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值和最小值定理一、有界性与最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理三、小结三、小结 思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、有界性与最大值和最小值定理一、有界性与最大值和最小值定理【定义】【定义】.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上上的的最最大大在在区区间间是是函函数数则则称称都都有有使使得得对对于于任任一一如如果果有有上上有有定定义义的的函函数数对对于于在在区区间间Ixfxfxfxf

2、xfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在 . 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y【注意】【注意】最值可以取在闭区间的端点处最值可以取在闭区间的端点处. .),(2上上无无最最值值在在baxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【定理【定理1 1】( (有界性与最大值和最小值定理有界性与最大值和最小值定理) ) 在在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且必取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值.

3、.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,;| )(|, 0,)(2121xffxffbaxbaMxfbaxMbaCxf 有有使使得得满满足足对对则则若若机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 【注意】【注意】1.1.若区间是开区间若区间是开区间, ,定理不一定成立定理不一定成立; ;如图如图a a3.由此可知定理的条件是充分条件由此可知定理的条件是充分条件,不必要不必要.图图a a图图b b2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.如图如图b机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

4、结束结束.)( , 0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理0)()( , )( bfafbaxf上上连连续续，且且在在若若，使使得得则则至至少少存存在在一一点点),(ba 【定义】【定义】【定理【定理2】(零点定理零点定理):1.零点定理零点定理【作用】常用于判断方程有根【作用】常用于判断方程有根 根的存在性根的存在性.0)( f即方程即方程 f (x)= 0 在在 (a,b) 内至少存在一个实根内至少存在一个实根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.)( ),( ),( , ,)()(,)(C

5、fbabaCBABbfAafbaCxf 使使至至少少存存在在一一点点内内在在开开区区间间之之间间的的任任意意一一个个数数与与那那么么对对于于不不相相等等与与且且端端点点值值设设ab3 2 1 【几何解释】【几何解释】. , )(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 2、介值定理、介值定理定理定理3(3(介值定理介值定理):):机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束.)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧Cyxfy 【几何解释】【几

6、何解释】【证】【证】,)()(Cxfx 设设Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零点定理由零点定理, ,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 那么那么,)(baCx ？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【推论】在闭区间上连续的函数必取得介于最【推论】在闭区间上连续的函数必取得介于最 大值大值 M M 与最小值与最小值 m m 之间的任何值之间的任何值. .【例【例1 1】.)1 , 0(01423内内至至少少有有一一根根在在证证明明方方程程 x

7、x【证】【证】, 14)(23 xxxf令令, 1 , 0)( 上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理, ,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即. )1 , 0( 014 23 内内至至少少有有一一根根在在方方程程 xx【分析】至少有一根【分析】至少有一根存在性存在性【证】【证】设设m=f(x1),M=f(x2),而而 mM,在闭区间在闭区间x1,x2(或或 x2,x1)上应用介值定理，即可得证上应用介值定理，即可得证.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例2 2】.)(),(.)(,)(,)(

8、fbabbfaafbaxf使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数【证】【证】,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理, ,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即【分析】【分析】 本题关键是寻求符合零点定理的函数来证明本题关键是寻求符合零点定理的函数来证明. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【注】【注】1.上面的上面的 称为辅助函数称为辅助函数.xxfxF )()(把结论中的把结论中的 改写成改写成x 移项，使等式右边为移项，使等式右边为0

9、 0令左边式子为令左边式子为)(xF2.使用零点定理作辅助函数使用零点定理作辅助函数F(x)的一般作法：的一般作法：那么那么 即为所求的辅助函数即为所求的辅助函数. .)(xF3. 一定注意本节中的所有定理的条件都是一定注意本节中的所有定理的条件都是充分条件充分条件.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、小结三个定理三个定理有界性与最值定理有界性与最值定理; ;介值定理介值定理; ;根的存在性定理根的存在性定理. .注意注意1 1闭区间；闭区间； 2 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【思考题】【思考题】下述命题是否正确？下述命题是否正确？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定义义，在在),(ba内内连连续续，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(b