自动控制理论邹伯敏第二章ppt课件

1、作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 描述系统运动的数学模型的方法描述系统运动的数学模型的方法状态变量描述状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式状态方程是这种描述的最基本形式建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法 实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理定律，列写处每一个元件的输入定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。输出关系式。 输入输出描述输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图微分方程是这种描述的最基本形式

2、。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出等其它模型均由它而导出数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变量之间关系的数学表达式量之间关系的数学表达式用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式微分方程式图图2-1 -L-C电路电路例例2-12-1求

3、求UcUc与与UrUr的微分方程式的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得解：由基尔霍夫定律得1,crccdiiRluudtduuidtiCCdt即22cccrd uduLCRCuudtdt消去中间变量消去中间变量 ，则有，则有:i举例举例一、电气网络系统一、电气网络系统图图2-2 R-C滤波网络滤波网络例例2-2. 2-2. 试写出图试写出图2-22-2电路的微分方程电路的微分方程解解 由基尔霍夫定律列出下列方程组由基尔霍夫定律列出下列方程组121112221221221()11()1rciidti RuCi dti RiidtCCi dtuC1i212121122122cccrd uduR R

4、C CR CR CR Cuudtdt消去中间变量消去中间变量i1 、 i2 得得或写作或写作2211232cccrd uduTTTTTuudtdt图图2-3 弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统22( )( )( )( )dy td y tF tky tfmdtdt22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdtdtdyf二、机械位移系统二、机械位移系统例例2-4. 试写出图试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式所示直流调速系统的微分方程式图图2-4 G-M 直流调速系统原理图直流调速系统原理图三、直流调速系统三、直流调速系统图图2-5 G-M 直流调速系统的框

5、图直流调速系统的框图列写元件和系统方程式前列写元件和系统方程式前, ,首先要明确谁是输入量和输出量，把与首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式写微分方程式的一般步骤：写微分方程式的一般步骤：放大器放大器图图2-6 直流他励发电机电路图直流他励发电机电路图11euKu(2-4) 假设驱动发电机的转

6、速假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发恒定不变，发电电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线化曲线为一直线 ，即，即/iB =L。直流他励发电机直流他励发电机由电机学原理得：由电机学原理得：图图2-7 直流他励电动机电路图直流他励电动机电路图把式把式2-6代入代入2-5），则得），则得（2-5）（2-6）12 ; GC LLKRR21GGGdEEK Udt（2-7）式中式中1112BBGBBdiLi RUdtECC LiC i 2375aaeGeLeuadii RLC nEdtG DdnTTdtTC i22020 (2-8)028 1 3 5 71Lm

7、amGLaeeumuaLGedTd ndnRnETdtdtCC CdtGDRCLRnTnEC 电时间常数为电动机电时间常数。当时电动机空载运行稳态时蜕化为为电为动机载转速电动机式中，的机；的气，至，式便 （的空） 2-9 （）eaTi和上式中消去中间变量上式中消去中间变量 后得到后得到输入量是电动机的转速输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假，假设测速发电机的磁场恒定不变，则设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与与n成线性关系即有成线性关系即有测速发电机测速发电机 fnegfn (2-10) (2 ua-11n uu -u )系统运动输入引起而的

8、给电压负载转矩动 电动机转速 为系统的输出经gL量是定u 和T(扰),的n量,消元后得323222 (2 1 )1- 2ma GmaGGmeLLgGaaGLeeud nd ndnKa ndtdtdtCd TdTKRU TT CC Cdtd t mG21RRR ,KKK ,式中第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在微偏法微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶

9、以在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们间的，它们间的 关系如图关系如图2-9所示，相应的数学表达式为所示，相应的数学表达式为图图 2-9 非线性特性的线性化非线性特性的线性化y=f(x)（2-13）在给定工作点Ax0,y0附近，将上式展开为泰勒级数 20220000! 21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx00000 , , 0 xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx，式中 或写为

10、，于是得线性化方程其后面的所有的高阶项项及）x（x较小，故可略去式中的xx由于增量x200上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。所示。设发电机原工作于磁化曲线的设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加点，若发电机的励磁电压增加U1，求其增量电动势求其增量电动势EG的变化规律。的变化规律。图图2-10 发电机的磁化曲线发电机的磁化曲线16-2 15-2 010100CEuRiGB若励磁电压增量若励磁电压增量 ，则有，则有1u

11、如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离就较小，这样的偏离就较小，这样就可通过点就可通过点A作一切线作一切线CD，且以此切线，且以此切线CD近似代替原有的曲线近似代替原有的曲线EAF。在平衡点在平衡点A处，直流电机的方程为处，直流电机的方程为）（）（18-2 )( 17-2 )( 0101010CEEuudtdNRiiGGBB11 2 -1 9 2 2 -0BGdi RNud tEC （）（）这写线条直线即电动势BBdi里需要注意的是，在式（2-19）中之所以不作L，dtd而用N表示，其原因是那一段磁化曲不是一，dtd常量，故用反表示。di

12、2000000001-f- (2,- -21)2!BBBBBBBBBBBBBBf if ifiiiiiifiif iiii 线点处开为级数项阶项则简化为写作B0B02BB0把磁化曲f i在平衡, i展泰勒略去上式中 i -i及其后面所有的高，并令，式（2-21）便或0 2 -22BBdfid i（）在实际应用中，常把增量符号在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和省去，这样上述两式显然和2-5）（2-6完全相同完全相同小结小结 随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放和放大大 倍数倍数 是不同的。是不同的。0NRBLfiR2CKR 由线性

13、化引起的误差大小与非线性的程度有关由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关1G20210RNRR 2-23 EC 2-24LN CCBBBBBBBBBd id iddiiNiLudtd idtdtififi 化为（），于是式（2-19）和式（2-10）可式中第三节第三节 传递函数传递函数传递函数的定义传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统或元件输出量的拉传递函数的定义：在零初始条件下，系统或元件输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统或元件的传递氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统或元件的传递函数。函数。设线性定系统的微分方程式为设线性定系统的微分方程式为 10110

14、11111; nmnnnnmmmmmd c tdc tdc td r taaaa c tbdtdtdtdtdr tdr tbbb c t n mdtdtr tc t，系统的输入系统的输出量式中量在零初始条件下，对上式进行拉式变换得在零初始条件下，对上式进行拉式变换得 1101101110111011 G 0 2-3nnmmnnmmmmmmnnnna sa sasaC sb sbsbsbR sC sb sbsbsbsR sa sa sasa（）即 就是系统的传递函数。sG 方框图表示。它们之间的传递关系用其中，tRLsRtCLsC;（1） 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变传递

15、函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量用复变量s表示，表示，把把c(t) 和和r(t)换为相应的象函数换为相应的象函数C(s)和和R(s) ，则就把微分方程转换为，则就把微分方

16、程转换为相应的传递函数。反之亦然。相应的传递函数。反之亦然。根据式根据式(2-30) 111 , 1gC sG s R sr ttR sLttLC sLG sC sG s所以令单位脉冲响应及应用单位脉冲响应及应用小结：小结：dtd如果已知系统的单位脉冲响应如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任则利用卷积积分求解系统在任何输入何输入r(t)作用下的输出响应作用下的输出响应,即即 00 (2-3 )*1ttC tg tr tg trdgr td 下面以一个下面以一个R-C电路电路(图图2-11)为例为例,说明卷积积分的应用说明卷积积分的应用该电路的微分方程为该电路的微分方程

17、为 1 ,TRCccrcrduRCuudtUsG sUsTS t对应的传递函数为图图2-11 R-C电路电路 111 231tTg tLG seT由式得 tur11、 11001222211 sinsin1 sin()1 1ttttTTrtTutedeeTdTTteTT 由于由于11()001( )()( )1ttTTruc tg tudedeT ttur2、 111c0011u tttttTTTtedee dtTTeTT ttursin3、式中式中Tarctan传递函数的性质传递函数的性质 传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外

18、施信号的大小和形式无关无关 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次的最高阶次n总是总是大于或等于其分子多项式大于或等于其分子多项式s的最高阶次的最高阶次m，即，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性内部的特性对于多输入对于

19、多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图例如图2-12所示的系统所示的系统图图2-12 多输入多输出系统多输入多输出系统 由图由图2-12得得 11111222211222111121221222 Y sGs UsGs UsYsGs UsGs UsY sGsGsUsYsGsGsUs或 阵就是该系统的传递函数sG典型环节的传递函数典型环节的传递函数特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化 KGtKrssRsC tC 传递函数方程式比例环节比例环节 环节的输入

20、量环节的输出量tr ,tC 惯性环节惯性环节特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律微分方程微分方程 dc tTdtc tKr t 1G s1 C sR sTs对应的传递函数对应的传递函数环环节节的的时时间间常常数数T积分环节积分环节特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有 G s tcC tKr t dtC sKR sS传递函数图图2-13 积分环节模拟电路图积分环节模拟电路图例如图例如图2-13所示的积分器，其传递函数为所示的积分器，其传递函数为RcssG1 微分环节微分环节理想的微分环节的输出

21、与输入信号对时间的微分成正比，即理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即 CtGsdrtKdtCsK sRs传 递 函 数图2-14 微分环节模拟电路图1实际的微分环节，如图实际的微分环节，如图2-14所示，它的所示，它的传递函数为：传递函数为： 1crUsT SGsUsT S2直流测速发电机。如图直流测速发电机。如图2-15所示，所示， KsssUUdtdKKUfnfnfn , 测速机的输出电压转角图图2-15直流测速发电机直流测速发电机振荡环节振荡环节特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式微分方程微分方程 2

22、2222 2 2 2-331d ctdctTTCtK rtdtdtCsKGsRsTsT s传 递 函 数阻尼比放大系数时间常数式中,TT 22121tanarg11sin111, 10,1, 1tTtCssRKtT则则若令具有式具有式2-33形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如1R-L-C电路的传递函数电路的传递函数 21 1crUsUsLC sRC s2弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统的传递函数阻尼器系统的传递函数 211YsFsm sfs3直流他励电动机在变化时的传递函数直流他励电动机在变化时的传递函数 211 GmamNsEsss 上述三个传

23、递函数在化成式上述三个传递函数在化成式2-33所示的形式时，虽然它们的阻所示的形式时，虽然它们的阻尼比尼比和和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们，则它们都是振荡环节。都是振荡环节。纯滞后环节纯滞后环节图图2-16纯滞后纯滞后 环节模拟电路图环节模拟电路图 测量点处溶液的浓度混合点处溶液的浓度式中tCtrvd, C tr t sC sG seR s那么那么假如假如第四节第四节 系统框图及其等效变换系统框图及其等效变换绘制系统方框图的一般步骤绘制系统方框图的一般步骤1、 写出系统中每一个部件的运动方程式写出系统中每一个部件的运动方程式2、 根据部

24、件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数方框表示在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端例例2-3 绘制图绘制图2-18所示电路的方框图所示电路的方框图1列方程列方程 sICSsURsUsUsIccr1图图2-18 R-C网络网络2画出上述两式对应的方框图画出上述两式对应的方框图3将两方框图按信号的流向依次连接，求得将

25、两方框图按信号的流向依次连接，求得2-19C的系统方框图的系统方框图例例2-4 绘制图绘制图2-2所示所示R-C网络方框图网络方框图1列方程列方程 11212112212, 1 , rcrcccUsUsUsUsIsIsRRIsIsUsUsIsC SC S图图2-19 2-18所示电路系统框图所示电路系统框图2画出上述四式对应的方框图，如图画出上述四式对应的方框图，如图2-20a所示所示3根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2-20b所所示的方框图示的方框图图图2-202-20方框图的等效变换方框图的等效变换1、串联连接、串联连接图

26、图2-23 sGsGsGsGsRsCsRsGsGsGsCsUsGsCsUsGsUsRsGsU3213212312211 i14 G niGs 通式：通式：串联的环节数串联的环节数-n 2、并联连接、并联连接图图-2-24由图由图2-24得得 sGsGsGsGsGsG sGsGsG 321321321321sGsRsCsRsRsRsRsCsCsCsC通式：通式： sGsGnii1并并联联环环节节数数n3、反馈连接、反馈连接图图2-251负反馈连接负反馈连接 39)-(2 1 sHsGsGsRsC2正反馈连接正反馈连接 1 sHsGsGsRsC例如例如4、引出点移动、引出点移动1引出点后移引出点后

27、移图图2-262引出点前移引出点前移5、综合点移动、综合点移动1综合点后移综合点后移2综合点前移综合点前移例例2-27，求图，求图2-27所示系统的传递函数所示系统的传递函数C(s)/R(s)解解 将图中引出点将图中引出点A后移后移,然后从内回路到外回路逐步化简然后从内回路到外回路逐步化简,其过程为图其过程为图2-28所示所示图图2-27图图2-28设系统如图设系统如图2-30所示所示,图中图中R(s)参数输入参数输入, D(s)扰动扰动1、开环传递函数、开环传递函数系统反馈量系统反馈量B(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即的比值称为开环传递函数。即 12 (2-41)

28、B sG s Gs H sE s图图2-302、参改输入作用下的闭环传递函数、参改输入作用下的闭环传递函数令令D(s)=0，则图，则图2-30变为图变为图2-31第五节第五节 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 1212 (2-42)1RGs GsCsRsGs GsHs根据式根据式2-39求得求得图图2-31 1212 (2-41)1RCsGs GsRsGs GsHs系统的输出为系统的输出为如果如果H(s)=1，则图，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为 1212Gs (2-43)11 GsRCsGs GsRsGs Gs 121

29、2 (2-45)1REsGs GsRsGs GsHs 则上式改写为若令其中,sG,sG21sVsUsGsG Gs (2-44)GsGsRCsUsRsVsUs的 分 子的 分 母的 分 子 42)求得所以由式(2因为.21sEsGsGsCRR3、扰动、扰动D(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数令令r(t)=0，把图，把图2-30改画为图改画为图2-32，由该图求得，由该图求得 1212 (2-47)1DGs GsCsDsGs GsHs212 (2-46)1DCsGsDsGsGsHs图图2-33 212 (2-48)1DEsGs HsD sGs Gs Hs当系统同时受到当系统同时受到R(

30、s)和和 D(s)作用时，由叠加原理得系统总的输出为作用时，由叠加原理得系统总的输出为 2RD12121E sEsEs 11 G s H sR sD sG s G s H sG s G s H s 122RD1212C sCsCs 11 G s G sG sR sD sG s G s H sG s G s H s系统总的误差为系统总的误差为第五节第五节 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用信号流图也是一种图示法，将它应用于线性系统时必须先将系统的信号流图也是一种图示法，将它应用于线性系统时必须先将系统的微分方程组变成以微分方程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个方程改写为下为变量

31、的代数方程组，且把每个方程改写为下列的因果形式列的因果形式 1, j1,2,nnjkkkjXsGs Xs信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路节点在图中用节点在图中用“O表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁例一个线性方程为例一个线性方程为是这两个量间的增益输出量输入量,式中1221,axx2121 x

32、a x举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为212 132342452532324343444535345415 - ,xa xa xa xa xxa xxa xa xxa xa xxx输入量输出量式中绘制的步骤如图绘制的步骤如图2-35所示。所示。图图2-35 方程组的信号流程方程组的信号流程信号流图的术语和性质信号流图的术语和性质1、术语、术语1节点节点代表系统中的变量代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。并等于所有流入该节点的信号之和。2支路支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点3输入节点或源点输入节点或源点相当于自变量，它只有输出支路。相当于自变量，它只有输出支路。4输出节点或阱点输出节点或阱点它是只有输入支路的节点，对应于因变量。它是只有输入支路的节点，对应于因变量。5通路通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路开通路通路与任一节点相交不多于一次通路与任一节点相交不多于一次 闭通路闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交