1991考研数学三真题和详解

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1) 设则 _.(2) 设曲线与都通过点且在点有公共切线,则 _, _, _.(3) 设,则在点 _处取极小值 _.(4) 设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 _.(5) 设随机变量的分布函数为则的概率分布为 _.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 设则下列级数中肯定收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设为阶可

2、逆矩阵,是的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一是( )(A) (B) (C) (D) (4) 设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) 与不相容 (B) 与相容 (C) (D) (5) 对于任意两个随机变量和,若,则 ( )(A) (B) (C) 和独立 (D) 和不独立三、(本题满分5分)求极限 ,其中是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分,其中是由轴,轴与曲线所围成的区域,.五、(本题满分5分)求微分方程满足条件的特解.六、(本题满分6分)假设曲线：、轴和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数,试确定的值.七、(本题满分8

3、分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和,总成本函数为试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数在区间内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量问取何值时,(1) 可由线性表示,且表达式唯一?(2) 可由线性表示,且表达式不唯一?(3) 不能由线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型.问取何值时,为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明维列向量组线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信

4、号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布.(1) 求和的相关系数;(2) 问和是否独立?十四、(本题满分5分)设总体的概率密度为其中是未知参数,是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分,所以 .方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算.(2)【答案】

5、,【解析】由于曲线与都通过点则,又曲线与在点有公切线,则,即, 亦即,解之得 ,.(3)【答案】；【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式可知, .对函数求导,并令,得,解之得驻点,且故是函数的极小值点,极小值为.(4)【答案】【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,由对应元素或块相等,即从和均为可逆矩阵知.故应填.(5)【答案】 0.4 0.4 0.2【解析】因为随机变量的分布函数在各区间上的解析式都与自变量无关,所以在的连续点,只有在的间断点处取值的概率才大于零,且,则,因此的概率分布为 0.4 0.4 0.2二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限可知,

6、极限 , .而极限 ,令,则 ,所以 .故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为,由收敛及比较判别法可知绝对收敛.即(D)正确.另外,设,则可知(A) , (C) 都不正确.设,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由为的特征值可知,存在非零向量,使得.两端同时乘以,有 ,由公式得到.于是.按特征值定义知是伴随矩阵的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】,如果,则,即与互不相容；如果,则,即与相容.由于、的任意性,故选项(A

7、)(B)均不正确.任何事件一定可以表示为两个互不相容事件与的和. 又因,从而,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把、互不相容等同于、相互独立而错选(C).,不相容,均不为零,因此,即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,(5)【答案】(B)【解析】由于,因此有故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ；2) ；3) ；4) 和不相关,即和的相关系数.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 型未定式极限. ,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有.所以 .方法二：由于 ,记,则当时,从而.而,所以.又因 .所以 .四、(本

8、题满分5分)【解析】积分区域如图阴影部分所示.由,得.因此 .令,有,故.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为,由此可见原方程是齐次微分方程.令,有将其代入上式,得,化简得,即.积分得 将代入上式,得通解.由条件,即求得.所以所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线和的交点,然后利用定积分求出平面图形面积和,如图： 由 得 所以 ,.又因为,所以,即,解得七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为,总利润函数为 .由极值的必要条件,得方程组即.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为方法2：两个市场的价格函数分

9、别为,总收入函数为,总利润函数为 .由极值的必要条件,得方程组因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当,即时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为.八、(本题满分6分)【解析】因为,所以.,两边对求导,得.令,为证函数为增函数,只需在上成立,即.方法一：利用单调性.由于 ,且,故,所以函数在上单调减少.又,于是有.从而,于是函数在单调增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.令 ,所以在区间存在一点,使得,即.又因为,所以,所以.故对一切,有.函数在单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设将分量代入得到方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有、加到第二行和第三行上,有,

10、再第二行加到第三行上,所以有.若且即且,则,方程组有唯一解,即可由线性表示且表达式唯一.若,则,方程组有无穷多解,可由线性表示,且表达式不唯一.若,则,方程组无解,从而不能由线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向量线表出,亦等同于与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,则(1) 有唯一解 (2) 有无穷多解 (3) 无解 不能由的列向量线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型的矩阵为,其顺序主子式为正定的充分必要

11、条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有.解出其交集为,故时,为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) 其中,称为元二次型,令,则二次型可用矩阵乘法表示为其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵.十一、(本题满分6分)【解析】记,则线性无关的充分必要条件是.由于,从而取行列式,有.由此可见线性无关的充分必要条件是.【相关知识点】个维向量线性相关的充分必要条件是齐次方程组有非零解.特别地,个维向量线性相关的充分必要条件是行列式.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定的可能值是,其次计算取各种可能值的概率.设事件“汽车在第个路口首次遇到红灯”,且相互独立.

12、事件发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为.所以有则的概率分布为 注：此题易犯的一个错误是将计算为,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布的联合密度函数为是区域的面积,所以的联合密度.由连续型随机变量边缘分布的定义,和的概率密度和为.由一维连续型随机变量的数学期望的定义：, 若为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是.故 ,由于被积函数为奇函数,故 .,因为此二重积分区域关于轴对称,被积函数为的奇函数,所以积分式为0.由相关系数计算公式,于是和的相关系数.(2)由于,可见随机变量和不独立.十四、(本题满