金融工程练习题

1、1 .一客户向某银行预约在 6个月后存入一笔6个月期100万元的款项。银行发现金融市场上 即期利率水平是：6个月的利率为9% （年利率，单利），12个月的利率为11%。如果定为 10%,银行能否套利？如果能，如何套利？（要求分析各时刻的现金流量）根据无套利定价思想，银行对这笔远期存款支付的利率是多少？套利头寸即时现金流羊年后现金流一年后现金流借入6个月 期贷款+00/(1+9%/2) -95,69-1G06个月后吸 收6个月期 存款+ 100-1 0+= 105+W火1 + 11 %)=106.22借出一年期贷款如 桢净现金流0所以，无套利均衡价格为96*1-I 1%） x 1244%2 .假

2、设存在两种风险证券 A和B,其价格变化情况如图。市场的无风险利率为6% （连续复利）。若不考虑交易成本的话，请问证券B的合理价格为多少？如果证券 B的市场价格为120元，是否有套利机会？如果有，如何套利？试分别用状态价格定价法和风险中性定价法 计算。（要求分析各时刻的现金流量）解：构建一个组合： A份证券A和现值为L的无风险证券，使该组合未来的损益与 B的 损益完全相同。无风险证券现在的价值为 L , 1年后的价值为Le0.06=1.0618L。令一年后该组合的损益与 B的损益完全相同，有以下两个方程：1101.0618L 130901.0618L 110 册A =1, A LB, 84 06

3、） o LNjliJ 由1 份lit券A 和田A任£力1-出4 是的无风 】瀚诃£券构成的分L介, 凡未来的损靛与LE挣H未 来的捌益完全和I司, J所以i正学UB 邙JWL价成 等于该到L4现在的价格.U|J,Pr= 1 X 1（）（+ L 8- 84=1 1 «. 84己） 如I果1正券已 现,在价格为H2O 元， 高和了 证券 R- 闪此存在食利月L会。美阳证券买进i正券 B的更例组合，就可获得无风lift套利利淮U套利头寸现在一年后状本1伏磊工卖幸证舞H份120*130买入UE挣A 一份-1OO1 1O90毋款项18.84亡20净现金流1ld<>

4、;O10(<1301 1()解法二：设未来状态1出现的概率为p,则状态2出现的概率为l-p。 现在的均衡价格应该等于未来预期值的贴现值。 证券 A：pxu0+ap)x%m，=io« 解得t p=0,809=xl30+(l-71)x110=009x130+0,191 xllOJe =1184与状态定价法结果相同1.假定所有期限的无风险年利率为 10% (连续复利)。当一种不支付红利的股票价格为40美元/股时，签订一份1年期的基于该股票的远期合约。问：(1)远期价格为多少?远期合约的初始价格为多少？(2) 6个月后，股票价格为 45美元，6个月的远期价格为多少？上述远期合约的价值

5、为多少？(1)现价40美元，不支付红利，1年后应售价，即1年期的远期价格:如果远期合约的交割价定为 44.21美元，则远期合约的初始价值为(2)6个月后，股价为45美元，半年后应售价，即6个月期的远期价格:合约多头半年后履行远期合约一一以44.21买入股票，并在市场卖出，价格预计为47.31。为此，现在为了成为合约多头，愿意付出代价：/三(47.31 -4421)2=2.952.XX的现货价格为9美元/盎司。储藏成本为每年 0.24美元/盎司，按季度在每季度初 支付。假设所有期限的利率均为 10% (连续复利)。计算在9月30日起9个月后交割 的XX的远期价格。远/ = 0.06+0.U&am

6、p; °从°十o.o&w=0756/' = (9 + OJ756)e°-lx05 = 9.893.某年9月3日星期一，1个月和4个月的即期利率分别为 订立一份1X4的远期利率协议，面额为 100万英镑。( (2)到了当年的10月3日星期三的基准日，市场利率为 付方。(1)4.0% (单利，下同)和4.2% ,1)请计算协议利率5%。请计算交割额，确定支4.0%9 弓5日 1050起算日9月5日星期三，结算日10月5日星期五，到期日 日1月5日星期六，顺延至 1(1 + 4.2%- -) = (1+ 4%- -)(13653654.25%046%-4

7、.25% *1。一交割额=3651 + s- 94365(2)方须补偿买方市场利率大于协议利率，买方借贷成本提高,1.假设现在是2010年7月30日，2010年9月的长期国债期货合约的最合算交割债券为息 票率为13%的债券，预期在 2010年9月30日进行交割。该债券的息票利息在每年的4日和8月4日支付。所有期限的无风险年利率为12% (以半年计复利)，债券的转换因子为1.5,债券的现价为110美元。计算该合约的期货报价。176天5天 57天127天2.47.309.30现在8 4 到期日2.4债券当前现金价兴口。+1期子、彘=132,与n%半年复利等价的连续复利率"m=2刖+12%

8、2 ) = 041658月4日利息现值 =10013%x-4101165(5/365- jgn上=6.4896债券期货现金价格 =(11&32-6489。艺。西陋365 = 11203债券报价= 112.03 lOOxix = 110.02257+127标准券报价=利空=7335 12.布莱克先生管理着 ABC公司一笔价值为 60000000美元，3系数为1.5的股票投资组合。8月7日，ABC公司宣布大面积裁员，预计在未来4个月内，将会从该笔股票投资组合中支出10000000美元用于补偿所裁员工的损失。布莱克先生担心未来股价下跌，决定利用S&P 指数期货进行套期保值。12月份交

9、割的S&P指数期货的当前价格为1088,每份合约的乘数为250美元。请问，风险最小的套期保值策略是什么？如果他希望将组合的3降到0.5,他应该如何做？假如不出所料，到了 12月10日，12月份的S&P指数期货合约彳格下跌为1058,股票组合的总价值下跌了 4.2% ,分析其套期保值的总盈亏。风险最小的套期保值策略是对冲所有的系统风险，目标3*=0.所需合约份数-嗫/忆=1x10 (0 15)/(1088x500) -27.6-28因为3 *< 3 ,所以卖出期货套期保值。如果3 *=0.5,所需合约份数I1N* =("/g = 1 x 1°；-15)

10、/(1088 x 500)二.jgj « 19还是空头套期保值保值12月10日盈亏现货市场期货市场107卖出1。7义95 8%-420000+28X1088X500-+15232000-28X1058X500=- 14812000+4200001 .假设某投资者以协定价格 1.6元/股分别买入1份某股票看涨期权和 2份该股票看跌期权, 期权费分别是0.04元/股和0.03元/股。数额都为10万股/份。试用图形和数学式分析该投 资者的损益情况。买入买权买入实权资产价格范圉买入买权的损益买入实权的损益组合的损益-0.04ST-L 6-0.042XL6-St-0,Q3J-2X0.03当ST

11、 <1.55时，收益大于0,且ST越小，收益越大，为（3.1 2ST）X105美元；当ST >1.7 时，收益大于0,且ST越大，收益越大，为 （ST1.7） X 105美元；当1.55<ST<1.7时，有损失；当 ST =1.6时，损失最大，为 0.1 X 105美元当ST=1.55或ST= 1.7时，盈亏平衡，损益为 02 .已知一期限为3个月的、执行价格为 50美元/股的欧式股票卖权价格为11美元/股。另一基于同一股票的、 执行价格相同的、 期限也相同的欧式买权价格为 2美元/股。期权标的资 产股票现价为40美元/股。无风险利率为 6% （连续复利）。请问是否存在

12、套利机会？如果 存在，应怎样套利？欧式买权和欧式卖权之间应遵循平价关系：Ct+K ?e-r（T-t尸St+Ptc +7T) = 2 4=51.26St+Pt =40 + 11=51二者不等，存在套利机会。AB增加的收益工%103%-x, + y；套利组合：卖出一份买权，借入 3个月期50f门田美元,买入一股股票，买入一份卖权。套利头寸t时刻T时刻5505T450卖出一份买权250-StQ借入4生25美元5Clg49.25VO-50买入一份实权-11SO-ST买入一股股票StSt净现金流0. 2600第五章：互换合约 练习题4答案工公司£公司利差圉定利率12.9%14%2%浮动利率LI

13、BOR+2.5%LIBORS%1%就较优势固定浮动A公司在固定利率贷款上更有优势，B公司在浮动利率贷款上有优势。先贷款再互换却 A公司1.银行Jk H公司1.1BOR+V1LIBOR+y,12%1L1BOK+35%1良公司B公司实际成本72%" 卡力必L+3.5%+ Jf? -L-y；蝮本成本L+Z5% 74%方劲成矛xryr-9.5%TO. 5%”产於 -n节约成本=原本成本-实际成本银行收益L 卜X= 0.1%* x, -y2 = 10J4%、厂 Yi =19.04%有多个解如果 y1 和 y2 都等于 0.06%,则 x1=10.1%, x2=10.2%10.2%A公司j银行； 1半司rIBOR+OQ6% LIBOR+O.06%1LIBOR+33%练习题6如果收到浮动利率利息第4个月第10个月k*=1 X 109 X 9.6% X 6/12,贴现率均为 10%Br =(L + k )ef。= (lxlO9+lxlO9x9.6%x6/12