二维光子晶体透射特性的FDTD数值研究

1、 收稿日期:2005-06-24. 基金项目:江苏省自然科学基金资助课题(B K2004059 .材料、结构及工艺二维光子晶体透射特性的FDTD 数值研究汤炳书1, 沈廷根2(1. 连云港师范高等专科学校物理系, 江苏连云港222006; 2. 江苏大学物理系, 江苏镇江212003摘要:把时域有限差分方法(FD TD , 光子晶体的晶格结构和介电常数等因素有关, , , 降低结构的对称性, 禁带宽度增大。关键词:; 透射系数; 禁带:A 文章编号:1001-5868(2006 01-0045-04Numerical Analysis on T ransmissionProperties of

2、 Tw o 2dimensional Photonic Crystal Using FDT DTAN G Bing 2shu 1, SH EN Tin 2gen 2(1. Department of Physics ,Lianyungang T eacher s College ,Lianyungang 222006,CHN;2. Department of Physics ,Jiangsu U niversity , Zhenjiang 212003,CHN Abstract :transmission coefficient versus frequency of t he inciden

3、t wave for two 2dimensional p hotonic crystal is investigated by using finite difference time domain (FD TD met hod. The calculated result s obviously show t hat band gap widt h and positions are related to lattice struct ure and dielect ric constant of two 2dimensional p hotonic crystal. Wit h t he

4、 increase of t he radius of crystal cylinder ,t he band gap is widened and t he cent ral f requency is enhanced. The large differences between t he dielect ric constant s of t he cylinders and t he background materials are usef ul to form t he band gap ,to reduce t he struct ure symmet ry and to wid

5、en t he band gap ,etc.K ey w ords :two 2dimensional p hotonic crystal ; finite difference time domain met hod ; t ransmission coefficient ; band gap1引言近年来, 介质周期结构中的电磁波行为引起了人们广泛的研究。介质周期结构, 即所谓光子晶体, 可以存在光子禁带(在该频率区域光子晶体将禁止任何光或电磁波的传播 。光子晶体的出现展示了许多重要的应用前景, 如高效率激光器、光电子器件、新型波导等, 这些应用都是基于光子晶体的禁带特征。虽然三维光子晶体具

6、有更广泛的应用潜力,但是在可见光和红外波段制作这样的微结构, 还是困难重重。相比较而言, 二维(2D 光子晶体既存在着众多的应用1, 又相对比较容易制造。目前研究光子晶体能带结构和光传输特性的方法主要有:平面波展开法(PWE 2,3、有限时域差分法(FD TD 4,5、转移(传输 矩阵法(TMM 6,7、多重散射法(Order 2N 8等。本文用FD TD 对二维光子晶体透射系数进行数值研究, 研究其中完全禁带的特点及影响禁带的主要因素, 为实验制作和应用提供理论依据。本文把FD TD 法用于二维光子晶体透射特性54半导体光电2006年2月第27卷第1期汤炳书等:二维光子晶体透射特性的FD T

7、D 数值研究 的研究, 计算后得到多种情况下二维光子晶体的透射系数与入射光频率的关系曲线, 结果表明禁带的宽度及位置与组成二维光子晶体的晶格结构和介电常数等因素有关, 并形成一定规律, 即半径变大则禁带变宽且禁带的中心频率变大, 介质柱的介电常数与本底材料的介电常数相差越显著越有利于形成禁带, 降低结构的对称性, 禁带宽度增大等等。2基本理论与计算公式2. 1介质中的Maxw ell 方程设二维光子晶体在(x , y 面内周期排列, 本底介电常数为1(折射率为n 1 介电常数为2(折射率为n 2 直径为d 的另一种介质柱, 沿z y 常数为a , 电磁波(光场在Maxwell (t =-t(1

8、 ×H (r , t =-(r t(2TEM 波有两种偏振状态:TE 模(M 偏振 , H 与z轴平行, 电磁分量分别是(E x , E y ,0 , (0,0, H z 。代入式(1 和(2 得到Maxwell 方程(标量式 :x =(r t (3 y =(r t (4 x -y =-t(5 对TM 模(E 偏振 可以得到与式(3 (5 类似的方程, 在此从略。本文采用E 偏振研究。2. 2时域有限差分法(FDT D时域有限差分法是用对空间和时间的差分代替微分, 采用Yee 最早提出的二维时域有限差分方法9, 将光子晶体单元网格化(E 偏振分布见图1 , 用x 表示y 方向的空间步

9、长, t 表示时间步长, nt 表示时间。采用中心差分代替式(3 (5 中的微分, 就可将Maxwell 方程转化为迭代形式的FD TD 方程:E n+1x(i , j =E n x (i , j +H n+2zi , j +-H n+2zi , j -y(i , j (6E n+1y(i , j =E n y (i , j +H n+2zi +, j -H n+2zi -, j x(i , j (7H n+2z(i , j =H n-2z(i , j +E nx i , j +-E nx i , j -y-nx i +, j -x i , j x(8 H x , H y , E z 电磁场的

10、初始分布, 就可以根据离散了的FD TD 时间离散步长公式(6 (8 获得电磁场的时间演化规律。为了保证迭代收敛得到稳定解, x , y , t 的选择必需满足稳定条件9:t 1/cx -2+(y -2(92. 3边界条件与初始场选择用时域有限差分法研究光子晶体的传输特性时, 关心的计算区域是有限的, 就是光子晶体的体积所占有的空间, 当然也可以将所关心的计算区域通过一定的方式无限扩展, 形成一个无限的空间, 但是, 计算机的存储空间和计算速度却不是无限的, 要处理的问题空间是有限的, 是有边界的。而用时域有限差分求解电磁场问题时假定问题空间是无限大的, 即是开放的系统。为了解决这种矛盾, 让

11、这种有限的空间和无限的空间等效, 需要对有限空间的周围边界作特殊处理, 使得向边界行进的波在边界处保持“外向行进”的特征, 无明显的反射, 就象被一个巨大的“黑洞”吸收一样。具有这种功能的边界条件, 称之为吸收边界条件(ABC 。在计算程序中, 我们采用完全匹配层(PML 边界条件10。对单个元胞进行20×20分割离散, 对每个面元上的介电常数作平均取样。在TE 模的演化计算中采用满足H z 的零散度要求与周期性(Bloch 定理 的初始场为4H z =-exp -(5x/a +12-(5y/a 2/3+3(1-5x/a 2exp -(5x/a 2-(5y/a +1 2-10x/a

12、-(5x/a 3-(5y/a 5exp -(5x/a 2-(5y/a 2 (10E x =E y =0(1164SEMICON DUCT OR OPT OE LECTR ONICS V ol. 27No. 1Feb. 2006 3模型与计算结果分析3. 1计算模型开始计算时建立图2所示模型, 线光源向y 轴正向入射, y 方向16行, 圆柱在z 方向无限长, x 方向同样取16列, 正方晶格。本底介电常数为1=10. 5(InP/GaInAsP 折射率n 1=3. 24 , 介质柱是无损耗的空气柱, 介电常数取1. 0。为了不失一般性, 在数据处理作图时横轴采用归一化频率, 纵轴采用归一化透射

13、系数, 程序设计时长度以晶格常数a 为基准。x , y 方向步长设定为x =y =0. 05a , t =0. 95 。图1二维时域有限差分计算网络3. 2影响透射特性的主要因素3. 2. 1介质柱直径采用上述计算模型可以数值研究透射系数与组成光子晶体介质柱粗细之间的关系。计算中本底材料选介电常数为10. 5无损耗介质, 由圆柱形状的空气柱组成正方晶格结构的二维光子晶体(即在本底材料中按正方晶格挖空即可 , 介电常数为1. 0。改变空气柱的直径就可以得到不同的填充率d /a 。计算结果如图2所示, 从图中看出空气柱型光子晶体中当空气柱半径R =0. 36a 时有明显的两禁带, 当半径减小时禁带

14、变窄R =0. 26a 时完全禁带几乎没有, 半径变大则禁带变宽且禁带的中心频率变大 。图2不同半径空气柱时的透射谱3. 2. 2介质柱介电常数同样用上述模型可以研究透射系数与组成光子晶体介质柱介电常数或折射率之间的关系。将空气圆柱换成不同介电常数的介质圆柱, 我们分别计算了介电常数为2. 56(n =1. 6 与5. 76(n =2. 4 两种情况, 结果见图3。从图中看出介质柱的介电常数与本底材料的介电常数相差越显著越有利于形成禁带 。图3不同介电常数介质柱时的透射谱3. 2. 3介质柱形状把原来的圆空气柱换成不同形状的柱, 如三角形、正方形、椭圆形等。我们计算了三角形空气柱与正方形空气柱

15、的情况, 具体结果见图4。三角形是半径为R =0. 36a 圆内接等边三角形, 正方形以半径为R =0. 36a 圆直径为边长, 边长是0. 76a 。从图中看出正方柱更易形成禁带, 三角形几乎不出现完全禁带。三种形状柱体中正方形的填充比最大, 三角形的最小 。图4不同形状柱体时的透射谱3. 2. 4晶格结构为了研究透射系数与组成光子晶体晶格结构之间的关系, 本文计算了对称性依次降低的三种晶格类型:正方形晶格、蜂窝形晶格、六边形晶格。后两种结构见图5, 图中圆形单元代表空气柱, 空气周围74半导体光电2006年2月第27卷第1期汤炳书等:二维光子晶体透射特性的FD TD 数值研究 是介电常数为

16、10. 5的高介电材料。空气圆柱半径不变, 只改变晶格结构时计算结果见图6。从图中可看出降低结构的对称性, 禁带宽度增大, 正方形晶格的禁带最小, 六角形最宽 。图5 蜂窝形和六角形晶格结构二维光子晶体图6晶格结构不同时的透射谱4结论用时域有限差分法对常见的影响二维光子晶体透射系数的因素进行了详细的数值分析与研究。从以上计算结果与分析可以得出如下结论:二维光子晶体的透射特性与组成光子晶体的介质柱的粗细、形状有关, 在相同晶格结构下空气介质柱半径越大、填充比d /a 越大则禁带越宽。二维光子晶体的透射特性与组成光子晶体的介质柱的介电常数、晶格结构有关, 在同一晶格结构下, 介质柱的介电常数与背景

17、材料的介电常数相差越大越易形成禁带。晶格结构的对称性会影响禁带的宽度与位置, 六角形晶格结构与正方形、蜂窝形相比具有更宽禁带。 同时图7背景与柱体介电常数交换后的透射谱我们研究了TM 模下的正方晶格空气圆柱型二维光子晶体的透射特性, 背景材料与介质柱介电常数交换后的透射特性, 结果见图7。结果表明TE 模比TM 模相比更易得到禁带, 空气作为背景材料禁带更显著, 这与文献11的结果一致, 所以相关研究中大多采用TE 模, 背景材料选空气。参考文献:1万钧, 张淳, 王灵俊, J.物理,1999(7 2, E W C. Layer 2by 2layer2structure with a larg

18、e photonic .Appl. Phys. Lett. ,2004,84:3622364. , 戴丽莉. 二维复合介质构成的光子晶体能带结构J.吉首大学学报(自然科学版 ,2001,22(4 :63266.4Qiu M B ,J askorzynska M ,Benisty H. Time 2domain 2Dmodeling of slab 2waveguide based photonic 2crystal devices in the presence of out 2of 2plane radiation losses J.Microwave Opt. Technol. Lett. ,2002,34(5 :3872393.5庄飞, 肖三水. 二维正方各向异性碲圆柱光子晶体完全禁带中缺陷模的FD TD 计算分析