数值计算课后习题答案

1、 习 题 一 解 答1取3.14，3.15，作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差:e(x)=3.143.141592653.140.001590.0016。相对误差：有效数字：因为3.141

2、59265=0.314159265×10，3.140.314×10，m=1。而3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.5×102所以，3.14作为的近似值有3个有效数字。（2）绝对误差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.314159265×10，3.150.315×10，m=1。而3.153.141592653.150.008407所以3.150.0084070.05=0.5×101所以，3.

3、15作为的近似值有2个有效数字。（3）绝对误差:相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作为的近似值有3个有效数字。（4）绝对误差:相对误差：有效数字：因为3.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作为的近似值有7个有效数字。指出：实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。为简单计，本题相对误差没有化为百分数。在求出绝对误差后，按定义求有效数字是基本功，必须掌握。绝对不允许有了定理后就不会根据定义讨论。因此，本类问题的解答应当是两种方法都熟练掌握的。实际上，

4、根据基本概念分析讨论问题始终是最重要的方法，由于不同的作者会提出不同的定理系统，因此，掌握根据最本元的定义讨论问题的方法是非常重要的。 祖冲之（公元429年公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。在世界上最早计算出的真值在3.1415926（朒数）和3.1415927（盈数）之间，相当于精确到小数第7位，这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家阿尔.卡西打破。祖冲之还给出的两个分数形式：（约率）和（密率），其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现，比祖冲之晚了一千多

5、年，数学史学界主张称“密率”为“祖率”。近似数的有效数字只能是有限位。近似数的误差分析中采用近似数x而不是其准确数，准确数是未知的。常出现德错误是，第一，不进行具体计算，结果不可靠；第二，两个分数近似值（尤其第二个）取的数位不够，结果有效数位计算错误；第三，认为分数就是精确数，就有无穷多有效数字。2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。3467854，7000009，00001324580，0600300分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346

6、785434679，700000970000，00001324580000013246，0600300060030。指出：注意0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是有效数字分别有3位、4位、4位、4位。指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，

7、用定义求出相对误差。4.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1。解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1，则 ，而，显然，此时， ，即，也即所以，n=4。此时，。5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数及其相对误差。解：其相对误差分别是。6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：精确计算得：第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。*在机器数系F(10,8,L,U)中

8、，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。解：第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算试比较所得结果。解：从左到右计算得从右到左计算得从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数，估计下列算式的相对误差限分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。解：因为都是有效数，所以则指出:如果简单地用有效数字与

9、误差的关系计算,则不够精确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)；(2) ；(3)或(4)(5)指出：采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。例如试与上例比较。有时候这种方法可以使用，例如因为，当时，在这个计算中

10、，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开，当时，就有，因此和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小（趋于零的变量），因此近似计算是不能采用极限方法的。转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。所以，是错误的。极小的数做除数，实际上是型的不定型，要转

11、化为非不定型。10、用4位三角函数表，怎样算才能保证有较高的精度？解：根据，先查表求出再计算出要求的结果精度较高。指出：用度数就可以。不必化为弧度。11、利用求方程的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解：由方程的求根公式，本方程的根为因为，则如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理，在求出后这样计算：这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分，近似值的稳定算法。解：当n0时，。()。对In运用分部积分法()得由此得到带初值的递推关系式由递推公式In1nIn1 解得，这是逆向的递推公式，对In的值作估计，有 另有

12、 (取e的指数为最小值0，将ex取作 e0 1作为常数即可简化公式）。则 。 那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取 可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)此时，en1=In1*In1=(In*In) en，e0= en，计算是稳定的。实际上，如果我们要求I9，可以先求出I20，这样求出的I9的误差是比I20的误差小得多的，而I20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I9比直接计算出来的精确得多。习 题 二 解 答1用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间3，4内的根，精确到10

13、-3，即误差不超过。分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。解：因为f(3)-100，f(4)=90，所以，方程在区间3，4上有根。由有2n-11000，又为21010241000，所以n11，即只需要二分11次即可。列表讨论如下：nanbnxnf(xn)的符号1343.50023.50043.75033.5003.7503.62543.6253.7503.68853.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.6293.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632

14、x*x11=3.632。指出：（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：nanbnxnf(xn)的符号1343.500023.500043.750033.50003.75003.625043.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.629093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.

15、63103.63203.6315（3）用秦九韶算法计算f(xn)比较简单。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。解：令，则当时，有。函数单调区间列表分析如下：x(-,)2(2,+)y+00+y15因为，所以方程在区间上无根；因为，而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为，函数在(2,+)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。2证明在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，

16、就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令，因为，则，由零点定理，函数f(x)在0,1区间有一个根。 由有2n-110000，又为2101024，2138192<10000，21416384>10000所以n15，即需要二分15次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3试用迭代公式，求方程的根，要求精确到。分析：精确到即误差不超过解：令列表进行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.3

17、70090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881151.36881指出：精确到可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到，当终止计算。本题采用第一种方法。4将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，要求精确到。解：改写为，则，设有在处，因为所以迭代法在的邻域内收敛。列表迭代如下：005107120693069此时。5为求方程在附近的一个根

18、，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。解：（1）因为，所以迭代函数为，则，满足局部收敛性条件，所以迭代公式具有局部收敛性。（2）因为,所以迭代函数为,则,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。（3）因为，所以迭代函数为，则，不满足收敛性条件，所以迭代公式不具有收敛性。用迭代公式列表计算如下：015114442148031457414715146261468714648146791465101466111465所以，方程的近似根为。6设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？解：设C为常数，因为，所以，要使

19、迭代公式具有局部收敛性，需，此时即有，也即。即只要C去满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。指出：下面的讨论是不合适的：因为，所以，所以，所以，由此确定方程的准确值。要明确的是，方程的准确值时不知道并难以获得的，因此才需要迭代法。用解析法确定公式解在讨论在逻辑上是不通的。同时，这里强调的是一类方程的迭代解法的收敛性，也不应局限在具体的求解，关键是确定C的范围。7用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。解: 因为所以有，相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因为,符合计算的精度要求,所以。8用牛顿法解方程，导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。用此公式求