数形结合求最值

1、四川师范大学本科毕业论文最值的常用求解方法学生姓名张明杰院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班 级2006级 3 班学 号2006063048指导教师李红梅四川师范大学教务处二一年五月最值的常用求解方法学生：张明杰 指导教师：李红梅内容摘要 : 最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点，作为反映实践数量关系、几何图形性质的数学中，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各知识点，各个知识水平层面，以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思

2、维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。本文就为大家简单、笼统介绍几种求函数最值、极值的常用方法：配方法、均值不等式法、数形结合法、函数的单调性法、判别式法、导数法、利用复数的模、三角代换法、借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法。关键词 : 最值 极值 解法The most common solution method of the valueAbstract: The most value problem over the algebra, trigonometry, solid geometry and analytic geometry subjects ，in th

3、e production of practice also has a wide range of applications. The most value standing problem is the hot various types of examinations for the long，As reflected in practice, the quantitative relationship between the nature of mathematical geometry, the most value problem is an important part of se

4、condary school mathematics, which are located in various knowledge points, all knowledge levels. The most value as a carrier, you can examine all the knowledge of secondary school mathematics point, examine of the classification discussion, Shuxingjiehe, conversion and of return, and many other math

5、ematical ideas also methods, you can also examine the students thinking, practice and innovation. Therefore, it occupies a more important in the entrance position. Then the following, it is all simple, general description is a function of several seeking the best value for the common method of extre

6、me .the method of completing square，Mean Inequality Method，Monotonic function of the Law，Discriminant method，derivative method，Triangular substitution method，With the concept of geometric or physical skills to find a special solutionKey words: Extreme Value Extreme Solution目录1、 配方法.12、均值不等式法 .1 3、数形

7、结合法24、函数的单调性法25、判别式法 .36、导数法37、观察法.48、利用复数的模59、三角代换法59.1、利用三角函数的有界性69.2、巧用换元法69.3、运用重要不等式69.4、巧用判别式79.5、利用向量710、借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法8参考文献. .9最值的常用求解方法最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点，它所涉及的知识层面也是较多的。对学生的综合素质、知识掌握是很大的考验。中学数学求解最值的方法出现于不同的阶段和知识点上。那么以下，就为大家简单、笼统介绍几种求函数最值、极值的常用方法。1 配方法

8、主要是运用于二次函数或可转化为二次函数的函数。利用二次函数的性质求最值时，要注意到自变量的取值范围，还有对称轴与区间的相对位置关系。下面我们结合具体的例子来谈谈配方法的操作过程。例1 已知函数，求函数的最小值。1分析:联系二次函数的形式，我们可以将函数表达式按配方,转化为关于变量的一个二次函数。解： 令,的定义域抛物线的对称轴为,当且时, 当时, 。 2 均值不等式法若当是定值，则当且仅当时， 有最小值；当是定值，则当且仅当时有最大值。利用均值不等式的这个特性，我们可以求解某些题型的最值，具体做法，我们还是举例来联系解说一下。例2 求函数的最值。2解：易知函数定义域为，= ，当，即时

9、，有。需要指出的是，在利用均值不等式法求解时，若无使等号成立，也就是说不存在有意义的使表达式成立。则此法无效，应改用其它方法。3 数形结合法将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷，也是解决最值问题的一种常用方法。例3 已知实数、 满足等式，求的最值。3 分析：如果把等式看成圆的一般式，那么就有点在圆上，那么表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线、（为切点），则的最值分别是直线、的斜率。 解：设，即，整理为 ：,解得,。例4 求函数的最小值。4解：在几何上求

10、的最小值等价于“求动点到,距离之和的最小值”，即的最小值。 ，当且仅当在线段上时，等号成立。故的最小值为。即原函数的最小值为。4 函数的单调性法先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值。例5 已知函数定义域为,对任意的都且时, 。试判断在区间 上是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值和最小值,如果没有请说明理由。解:令,则, 令则, 为奇函数。设,且,则, , ,在上为减函数。又又在上为减函数,故当时, ,当 时,。5 判别式法这种方法主要适用于可化为关于的二次方程的函数,当的范围是时,仅考虑维塔判别式即可,当的范围非时,还需要结合图形另解不等式。例6求函数的最大值和最小值。

11、解:函数的定义域为这是因为的判别式故对一切均成立。函数表达式可化为当时,上面的一元二次方程必须有实根。 解得:,当时, 。故。例7 求函数的最大值和最小值。5解:两边平方整理得: 是实数解之得此外由可得，又 故 那么。需要注意到，此题在求解的过程中历经平方变形,从而扩大了的取值范围,所以利用判别式求出的范围后，应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。以免求出的最值不在原函数的取值范围之内，造成错解！6 导数法针对我们中学所拥有的知识而言，我们最基本的求解函数最值的方法是定义法、求导法。具体的做法是，按照定义：极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，

12、 是极大值点。极小值：一般地，设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有。就说是函数的一个极小值， 是极小值点。那么我们判别是极大、极小值的方法就是，若满足，且在的两侧异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。因此，我们可以归结出求函数的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数（2）求方程的根（3）用函数的导数为的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符

13、号即都为正或都为负，则在这个根处无极值。另外我们利用导数求函数的最值步骤：求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值。例8 动点是抛物线上的点,为原点, 当时取得极小值,求的最小值。6解: 令 则令得:, ,。以下列出函数单调变化表：表一 - +-+极小值极大值极小值因为函数定义域为,故所求最小值为两个极小值中较小的那一个,比较，,所以的最小值即的最小值：。     7 观察法对于一些简单的函数，可由已知的解析式将其适当变形后，直接求出它的最值。这里简单的提一下：例9 函数的最值。7 当时，时，。例10 求函数的最值。解：由解析式及正弦函数的有界

14、性得：当时， ；当时，。8 利用复数的模这种思想是将无理数看成复数的模，然后利用复数模的概念及复数模的不等式。这也是解决某些无理函数最值的有效方法。但要注意的是必须满足所有复数和的模为常数。具体结合例题说明一下。 例11 求函数的最小值。8解：设，则有：（常数）。当与、共线且同向时，等号成立.即，得当时。例12 求函数的最小值。 解： ，设，则有： （常数）。当、共线且同向时，等号成立.即，得，当时。9 三角代换法span对于某些函数的最值，可利用三角代换巧妙地求解.span在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换。例如： ，可令； 又如：，可令（）； 对，我们可令等等。例13 求函数的

15、最值 。9解：设，则 ，当取时，有最小值。当取时，有最大值，。故。9.1 利用三角函数的有界性 10 例14 求函数的最值。 解：由已知变形得： 所以由于，得：所以原式的最小值是；最大值是。9.2 巧用换元法例15 求函数的最值。11 解：设，则因此， 在这里，虽然不是的二次函数，但通过换元后可化为的二次函数，再按照二次函数求最值的方法求最值。但应注意换元后新变量的取值范围。 9.3 运用重要不等式例16 求函数的最值。12 解：由题设可得，则 当且仅当=即tan=时，等号成立。 需要注意的是，运用重要不等式求函数的值域或最大值时一定要注意不等式成立的条件，包括等号成立的条件。 9.4 巧用判

16、别式例17 若，求的最大值。 解：设，则 构造方程=，即 ，于是有 (此时9.5 利用向量13例18 已知 ，求函数的最小值。 解：由题设知且，构造向量由得： ，即当且仅当 ，即时等号成立 当时，函数取得最小值为。10 借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法现实生活中的某些题，我们可以借助相关物理知识来构建数学模型求最值。例如利用物理中光的折射定律来求最短路程问题就是其中一种。所谓光的折射定律是指：当光从一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。因此我们可以将实际中不同的两个速度看成光在不同介质中的传播速度，然后按光学知识来求相应的最短路程问题。二者的具

17、体等价性，我们在此举例求证说明。设有一质点从点运动到点，该质点的运动速度在上半平面为常数，下半平面为常数。此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短?14 显然该质点的轨迹在上半平面和下半平面都应是直线。故从到应为折线，只需求出折点即可。 设与轴的夹角分别为， 我们来证明当 (*时，所花费的时间短。证明：法一：我们再任取另一路径, 质点经路径所花时间为 ， 经所花时间为只需证当 (*式成立时, 即可。图1如图过作、轴垂线与的延长线以及线段相交线段和,则 法二：设折点的坐标为，则质点经所花时间 等价于， 这与(*等价。 作为反映实践数量关系、几何图形性质的数学中，最值问题是中学

18、数学的重要内容之一，它分布在各知识点，各个知识水平层面，以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 从近几年的高考题型来看，最值问题大多数是一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右15；从考查内容的热点来看，越来越多地将最值问题蕴含在立体几何、解析几何中考查。由此看来，最值问题虽然是个老问题，但一直十分活跃，尤其是导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。因此，能够灵活运用各种求最值的方法十分重要。参考文献1 张国祥，一元二次求最值，晋中师范专科学校学报，1999年第4期。2 黄利众，不等式应用，广西