复数的概念与运算-理科

1、第二节复数的概念与运算一、课标考纲要求1. 复数的概念（ 1）理解复数的基本概念（ 2）理解复数相等的充要条件（ 3）了解复数的代数表示法及其几何意义2. 复数的四则运算（ 1）会进行复数代数形式的四则运算（ 2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1复数的基本概念(1).概念：形如 abi （ a，b R ）的数，称为复数 . 所有复数构成的集合称复数集. 通常用 C表示 .(2).虚数单位为 i ： i 21 . i 和实数在一起，服从实数的运算律(3) 复平面 : 建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面 , x轴称为实轴， y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数 , 除原点

2、外 , 虚轴上的点都表示纯虚数 ; 各象限内的点都表示虚数 .(4). 复数的几种形式： . 代数形式：zabi （ a， bR ），其中 a 叫实部记作 Re(z) ， b 叫虚部记作Im(z) ；几何形式 :将 ( a, b) 作为复平面内点的坐标，那么z 与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射; 因此复数可以用点来表示,点称为复数的几何形式.即 z (ab,)将 (a,b)作为向量的坐标， 复数 z 又对应唯一一个向量, 因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式 . 即 zOZ(5). 复数的分类：. 实数b = 0,即 z

3、a. 虚数b0. 纯虚数a = 0 且 b0 , 即 zbi, 复数 z 的(6). 共轭复数 :若两个复数的实部相等, 虚部互为相反数, 则称这两个复数叫做互为共轭复数共轭复数用 z 表示 , 即 z abi （ a，bR ） , 则 z abi （ a，bR ）(7). 两个复数相等的定义：a bi c dia c且b d（其中a， b， c， d， R）a bi 0 a b 0; 特别地2. 复数的基本运算(1). 复数的运算法则：代数形式 : 运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意: 复数的除法运算, 运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分化为实数；即 :abicdiacb

4、d i ;abicdi(acbd)(adbc)iabiabicdi( acbd)(bcad)icdicdicdic2d 2向量形式运算定律: 加、减法满足平行四边形和三角形法则, 若为坐标满足向量的坐标运算.复数的加法满足交换律、结合律;即z1, z2 , z3C , 都有 z1 z2 z2z1;z1 z2Z3 z1z2z3复数的乘法满足交换律、结合律、分配律;即z1, z2 , z3C , z1 z2 z2 z1;z1 z2Z3z1 z2 z3 ;z1z2 Z3 z1 z3 z2 z3(3) 距离 : 模 : za2 b2 ; 复平面内的两点间距离公式： d z1 z2 .3、复数的性质(1

5、).共轭复数的性质：zzz1z2zz21z z2a ， zz 2bi （ za + bi ）z z| z |2| z |2z1z2z1z2z1 z 2z1 z2z1z1 （ z20）zn(z)nz2z2特别地 :zRzz;非零复数 z是纯虚数z z0注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×） 之差可能为零，此时两个复数是相等的(2).模运算的性质zz ;z1 z2z1z2 ;z1z1(z20);znnz 1z z 1;z2z2z ;特别地 :22z22zzzzz(3).复数的乘方：znz z. (n N);z zn对任何 z ， z , z2C 及 m, nN有 z m znzm n ,(

6、 zm )nzm n, (z1 z2 ) nzn1 z 2n111注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如 i 21,i 41若由 i 2(i 4 ) 212 1就会得到11 的错误结论 .(4).绝对值不等式：设 z1 ，z2 是不等于零的复数，则 z1z 2z1 z 2z1z2 .左边取等号的条件是zz（，且0）zz（R，0）2R，右边取等号的条件是211. z1z2z1z2zz2.1左边取等号的条件是z2z1（，0）z2z1 （R，0）.R，右边取等号的条件是注： z1 z 2z 2 z3z3 z4zn 1 znz1 zn .4. 复数常用的结论：(1).in周期

7、为 4; 即 i 4 n 1 i, i 4 n 21,i 4n 3i ,i 4 n1 ;i ni n 1 i n 2 i n 30, (nZ )(2).(1i)22i,1ii ,1ii1i1i(3).若是 1 的立方虚数根，即13 i ，则 31, 2,1,12 0, nn 1n 20(nZ )225. 易错点(1).两个复数不能比较大小; 当且仅当两个复数全为实数时, 才能比较大小 .注：若 z1 , z2 为复数，则1若 z1z20 ，则 z1z2 . （×） z1 , z2 为复数，而不是实数2若 z1z2 ，则 z1z20.（）若 a, b, cC ，则 ( ab) 2(b

8、c) 2(ca)20 是 abc 的必要不充分条件 .（当 ( ab) 2i 2 ， (bc) 21, (ca) 20 时，上式成立）(2). 在实数集成立的 | x |x2 . 当 x 为虚数时， | x | x 2 ，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于 x 的一元二次方程ax 2bxc 0(a0) 时，应注意下述问题：当 a,b, cR 时，若 0，则有二不等实数根x1,2b；若=0，则有二相等实数根x1, 2b ；2a2a若 0，则有二相等复数根x1,2b| |i2a（ x1, 2 为共轭复数） .当 a, b,c 不全为实数时，不能用方

9、程根的情况 .不论 a, b, c 为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.三、高考真题在线题型一、复数的概念例 1 (2009 ·福建理13) 复数 i 2 (1i ) 的实部是.【解析】 i 2 (1i )1i , 所以实部是 -1【答案】 -1例 2 ( 2007·广东 )若复数 (1bi )(2i) 是纯虚数（ i 是虚数单位， b 为实数），则 b =A. 2B.1C. -1D. -222【解析】 (1bi )(2i )2b(12b)i ，而复数 (1bi )(2i ) 是纯虚数，那么由 2 b0且 12b0得 b=2，故选 A。【答案】 A方法总结：

10、求解复数概念方面的题目，关键在于将复数化为代数形式后，利用相关概念，找到充要条件进行求解 .过关测试1.（ 2006 年福建卷）设a,b, c, dR ，则复数 (abi )(cdi ) 为实数的充要条件是A. adbc0B.acbd0C.acbd0D.adbc02. （2005年北京卷）若z1a2i ,z234i ，且 z1为纯虚数，则实数a 的值为z2题型二、复数相等例 3. （ 2012高考江苏 3）设 a ，bR ， abi117i （ i 为虚数单位），则 ab 的值为12i【解析】由 abi117i 得 abi117i117i(12i )1515i53i所以 a5, b3, a b

11、 8(12i )(1+ 2i)12i12i5【答案】 8例 4（ 2010 辽宁理数） (2) 设 a,b 为实数，若复数12i1 i，则abiA a3 , b1B.a3,b1C.a1 ,b3D.a1,b32222【解析】由 12i1i 得 12i(ab)(aab13 ,b1，故选 Ab)i 所以b，解得 aabia222【答案】 A方法总结： 复数相等问题关键抓住定义，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等， 建立方程求得相关参数 .复数不能比较大小，当且仅当复数为实数的时候，才能比较大小.过关测试3. （2010江西理数） 1. 已知 (xi )(1i)y ，则实数 x, y 分别为A. x1

12、, y1B.x1, y2C.x1, y1D.x1, y 24. （2006年浙江卷）已知m1ni，其中 m， n是实数， i 是虚数单位，则 mni1iA. 12iB.1 2iC.2iD.2 i题型三、复数的几何意义例 5(2011 年高考山东卷理科2) 复数 z2i ( i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点所在象限为2iA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 z2i(2i )234i34 i 故坐标为 ( 3 ,4 ) ，第四象限 .2i555555【答案】 D例 6（ 2010 北京理数）在复平面内，复数2i对应的点的坐标为.1i【解析】2ii(1 i )1 i 故坐

13、标为（ -1,1 ）1i【答案】（ -1,1 ）方法总结 ：复数的三种形式间的转化，代数形式zabi复平面内的点 Z (a, b)复平面内的向量OZ (a,b)过关测试5. （2006 年北京卷 ）在复平面内，复数1 i 对应的点位于iA第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. （2010 ·北京文数）在复平面内，复数65i , 2 3i 对应的点分别为A, B 若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是A. 48iB.8 2iC.24iD.4 i题型四、复数的模例 7(2011年高考辽宁卷理科1)a 为正实数， i为虚数单位，a i2 ，则 a =iA 2B.3C

14、.2D.1【解析】a i|1ai |1a22 , a0，故 a3 .i【答案】： B例 8（ 2010 江苏卷）设复数z 满足 z(23i )64i（其中 i为虚数单位），则 z 的模为 _.【解析】考查复数运算、模的性质；法1 ：先求z64i，故z 2 法 2: 由复数模的性质由22i3iz(2 3i )2(32i ) ,2 3i 与 3 2i 的模相等，得z2 .【答案】： 2方法总结： 复数的模，常伴随着复数的运算，即常规方法是先求出所求复数的代数形式，然后利用复数模计算公式求解. 也可以利用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解.过关测试7（2008·广东）已知0 a2

15、，复数 z 的实部为 a ，虚部为1，则 z 的取值范围是A (15)，B (13)，C (1，5)D (1， 3)8. （2010 山东质检）设复数z 满足关系式zz2i ，则 z 等于3iB.3i3iD.3A.4C.i444题型五、复数的运算例 9（ 2012 高考真题四川理2）复数 (1i) 22iA 1B.1C.iD.i【解析】直接化简为代数形式：(1 i )21 2i i 22i1 .2i2i2i【答案】 B例 10（ 2012 高考真题山东理1）若复数 z 满足 z(2 i)117i （ i为虚数单位） ，则 z 为A. 35iB.35iC.3 5iD.117i(117i)( 2i

16、 )15 25i5i . 故选 A.【解析】 zi(2i )(2i )325【答案】 A例 11(2011年高考湖北卷理科1) i为虚数单位，则 (1i )2011 =1iA. iB.1C.iD.35i11i12011【解析】因为21ii2011i25051i , 法 1：利用 i，即ii i ；i12011法 2：利用 i n 是以 4 为周期的，则有1ii 2011i 4 502 3i 3i 所以选 A.1i【答案】 A方法总结 :复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：加减法按合并同类项法则进行；乘法展开、除法须分母实数化. 乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次

17、数较高时常常隐含着周期，利用周期进行转化. 如： i n 的周期为4. 运算结果都必须为复数的代数形式，因此，一些复数问题只需设z a bi（ab,R可以将复数问题化归为实数问题来解决.）代入原式后，就过关测试9. (2012 高考真题安徽理1) 复数 z 满足： ( zi )(2 i )5 ；则 zA. 22iB.2 2iC.iD.i10. （ 2010 天津理数） i 是虚数单位，复数13i2i1A. 1 iB.5 5iC.55iD.1 i11. (2009 ·广东理 2) 设 z 是复数， a(z) 表示满足 zn1 的最小正整数n ，则对虚数单位i ， a(i )A 8B 6

18、C 4D.2题型六：共轭复数例 12(2011浙江卷理科2) 把复数 z 的共轭复数记作z ，若 z1i ， i 为虚数单位，则(1z) z =A.3 iB.3iC.13iD.3【解析】 (1z) zzzz1 i(1i )(1 i )1i 23i故选 A【答案】 A例 13（ 2008 山东）设 z 的共轭复数是z ，且 z+ z =4, z· z 8，则 z 等于zA 1B.iC.1Di【解析】本题考查共轭复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式，由z+ z =42则 z 2 bi , z 2bi ，由 z z8 得 4b28 ，则 b2 ， z z (2 2i )2iz88【

19、答案】 D方法总结：法1：利用共轭复数的定义，常先计算出z abi的形式，再用定义得到zabi，最后直接计算相关问题，法 2：共轭复数的性质解题过关测试12.(2011年高考全国新课标卷理科1) 复数2i 的共轭复数是3i3 i12iA.B.C.iD.i5513.(2011年高考江西卷理科1) 若zii，则复数 zA.iB.iC.iD.i题型七、复数与其它知识的综合例 14(2012高考真题新课标理3) 下面是关于复数 z2的四个命题：其中的真命题为1ip1 : z2p2 : z22ip3 : z的共轭复数为1ip4 : z 的虚部为1A. p2 , p3B.p1 , p2C.p , pD.

20、p , p【解析】因为z22( 1i )i )1i ，所以 z2， z2( 1 i )22i ，共轭复数为1i( 1i )(1z1i , z 的虚部为1，所以证明题为p2 , p4 ，故选 C.【答案】 C例 15(2012高考真题陕西理3) 设 a,bR ， i 是虚数单位，则“ab0 ”是“复数 ab为纯虚数”的iA. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】ab0 a0 或 b0，而复数babi 是纯虚数a且b 0，baab 0 ai0i是纯虚数，故选B.【答案】 B方法总结： 复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景，利用其它章节的知识来来解

21、决. 关键在于知识的综合性和关联性 .过关测试14. (2007年山东 ) 若 zcosi sin（ i 为虚数单位），则使 z21的值可能是A.B.4C.3D.2615. (2009湖北理 ) 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和 n , 则复数 (mni )(nmi ) 为实数的概率为A.1B.3四、重庆9 年高考111C.6D.4121.（ 2012 重庆理11）若 (1i )(2i )abi ，其中 a,bR,i 为虚数单位， 则 a b；2. （ 2011重庆理1）复数 i 2i 3i 41iA1 1 iB.1 1 iC.1 1 iD.1 1 i222222223. （ 201

22、0重庆理数11）已知复数 z1i ，则 2z =_.z2，则 5i4. （ 2009重庆理数2）已知复数 z 的实部为1，虚部为=A 2 iB 2 iC 2 izD 2 i5. （ 2008重庆理数1）复数1+2=i3A. 12iB.12iC.1D.36. （ 2007重庆理数11）复数2i的虚部为 _.2i 37. (2006重庆 11) 复数 12i的值是 _.3i 38.(2005 重庆卷 1) (1i ) 20051iA iB iC 22005D. 220059.(2004 重庆卷 ) 设复数 Z12i, 则Z22Z( )A.3B.3C.3iD.3i五、 2014 权威预测复数的重点是复数的概念及代数形式的运算. 难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点；复数的概念，要搞清楚实部与虚部，i 21 ，共轭复数等概念，及复数的运算. 从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以选择、填空题出现，分值为5分，在高考试卷中属于必考题，应引起注意.六、