复习小结-机械系统动力学汇总

1、机械系统动力学复习小结第一章 绪论1. 机械系统动力学课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法） 主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学单自由度刚体动力学：等效力学模型；刚体动力学二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；、固受迫振动） 、单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动） 有频率计算、 Duhamel 积分； 两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器； 机械振动学 多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法； 弹性体振动： 杆的纵向振动、 轴的扭转振动、 梁的横向自由振动 几种边界条件下的频率方程；2. 机械系统的一些基本概念 系统、机械系

2、统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。3. 机械振动的概念及其分类简谐振动： x Asin t 复数形式 x Aei t4. 谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。a0Fourier 级数： F t 0an cos nt bn sin nt2 n 15. 机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势第二章 单自由度刚体系统动力学1 驱动力工作阻力的分类机械特性的概念三相异步电动机的机械特性分析；输出力矩与角速度之间的关系： M a b c 2 。2等效力学模型 原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。通常取做定轴转动或直线平动的构件

3、为等效构件。mFkk1vk cos knMjj1mFeFkk1vk cos kvnMj1Jemjj1Jjnmej1mjJj与传动速比有关，与机构的运动速度无关。运动方程用动能定理确定。12E WJe2 222 e2 212Je1 12M edd221 dJe d 2dt P Je dt 2 2 d dt M e等效构件运动方程的基本形式如 p22 例题 1、 p23 例题 2 及课后思考题3等效转动惯量等效转动惯量导数的计算1)假设等效构件做匀速转动，即令 1, 0 ；2)3)对机构进行运动分析，求出各构件对应的角速度和角加速度以及各构件质心的速度和 加速度 求出相应的传动速比及其导数； 利用

4、公式计算等效转动惯量等效转动惯量导数：Jemjj1dJe dn2j1dvsjd jm vJmjvsj dJ j j d4运动方程的求解方法1）等效力矩是等效构件转角的函数时运动方程的求解，即数值积分方法（梯形法）W M e，即2）等效转动惯量是常数，等效力矩是等效构件角速度函数时运动方程的求解Je const ， M e M e ：分离变量法dt M e d3）等效力矩是等效构件转角角速度的函数时运动方程的求解，即Je Je ：欧拉法、龙格库塔法ddf ,4）等效力矩是等效构件转角、角速度和时间的函数时运动方程的求解，即M e M e , ,t ：d四阶龙格库塔法dtddt f t, ,机械运

5、转不均匀数：maxminmax min5飞轮转动惯量的计算由达朗贝尔原理Fk mkrkrk 0Qi ddtEqiEqimax min通常用具有较大转动惯量的飞轮以减小机械运转时的周期性速度波动；为什么飞轮具有储能作用？（飞轮调节作用的原理分析）第三章 两自由度刚体系统动力学1. 自由度、广义坐标、虚位移的定义2. 虚位移原理在理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是所有主动力在虚位移上所作的元功之和WFFk rk 0k3.广义力的计算 1）利用公式直接计算： QiFkrkkqi2）利用求虚功的方法计算：令 qi 0，其他（ n1）个广义虚位移均等于零，则系统中所有主动力在相应虚位移上所作的虚

6、功之和 WF ' Qi qi对两自由度系统， WF Q1 q1 Q2 q2 或 P Q1q1 Q2q2如 p41 例题 13）利用虚功率的方法计算4. 拉格朗日方程5. 用拉格朗日方程建立运动微分方程的步骤1）选取广义坐标，判断系统的自由度数；2）计算系统的动能 EEEd E， ， ； qiqidt qi3) 计算广义力 Qi ；4)E ， E ，dE将最后求的qiqi dt qi，Qi 代入拉格朗日方程中，进行简化计算，最终得到运动微分方程组。6.二自由度刚体系统动力学方程的建立 以平面运动的机构为典型构件进行分析。1)确定系统的动能a. 位移分析通过几何位置关系的分析，将各个构件的

7、角位移j 以及各构件上相关的点k 的坐2)a.标用广义坐标 q1、 q2 表示。b. 速度分析将 j 、 xk、 yk分别对时间求导数，可得到各个构件的角速度xk、j 及有关点k 的速度投影 xk、 ykc. 求出系统的动能d. 求等效转动惯量 确定广义力 Q1、 Q2令 q2Q1b. 令 q1各构件质心的速度。xsjxsjq1q2q1q21 2 12 J11q1 J12q1q2 2J222q2J11、J12、J220 ，求系统在虚位移q1下所有主动力所做的虚功总和W1W1q10，求系统在虚位移q2 下所有主动力所做的虚功总和W2Q2W2q23) 根据拉格朗日方程写出系统的运动微分方程E ，

8、E， dE， E ， E ， dEq1 q1 dtq1q2 q2 dtq2写出拉格朗日方程：先求出4J11q1J12q1J12q2J22q21J112 q1q111q1q212q2121 J11221J222 q12q2 Q12 q2q1q1q21J222 q22q1 Q24) 求解运动微分方程 根据给定的初始条件，用四阶龙格 - 库塔法的递推公式，求出各构件的相应位置及 角速度。如 p51 例题 3 7. 二自由度机械手动力学的求解(类似双摆)第四章 单自由度系统振动1 单自由度无阻尼自由振动1) 动力学模型mx kx 0 x Asin ntx2x0x02n其中， Ax， arctg nx0

9、x02)振动特性分析振动频率： fn振动圆频率： nn23)固有频率的计算方法 a. 系数法： meqx keq xb. 静变形法： nc. 能量法： ddt T U0或Tmax Umaxd. Rayleigh 法： meq m msTmaxUmax如 p70 例题 2、p71 例题 3、p74 例题 54）等效质量和等效刚度a. 分布质量简化为一个等效质量unj jiJjuej 1 juenmeqmii1b. 等效刚度串联（“共力”）：keqk1 k211k3并联（“共位移”）：keq k1 k2 k32 单自由度有阻尼自由振动1）动力学模型mx cx kx 02 k c 2令 n2， 2

10、x 2 xn2x 0mmt 2 n2 t2 n2tx e C1en C2en弱阻尼状态： x Ae t sin dt，其中 dn2强阻尼状态：非周期性蠕动； 临界阻尼状态：逐渐回到平衡位置的非周期振动；2）振动特性阻尼比：振幅比：Aie TdlnTdAi 1d频率比：n已知振幅比求阻尼系数：TdTdd c 2 mk3 单自由度系统的强迫振动1) 简谐强迫振动mx cx kx P0 sin t通解：自由振动 +稳态振动，即 x Ae t sin dt Bsin t2) 位移干扰引起的强迫振动mx cx kx kxs cxs复数法求解：令 xs a ei t ， x B ei t3) 周期激振力引

11、起的强迫振动a. 非简谐周期激振力引起b. 非简谐周期性支承运动引起谐波分析法：P t a20naj cosj t bj sin j t j1nxsa j cosj t bj sin j tj14) 任意激振力引起的强迫振动 Duhamel 积分法 任意激振力的响应：mdsin d t d若忽略阻尼， x1mnt0 P sin n t d如 p94 例题 9、P95 例题 105) 强迫振动理论的应用振动的隔离按振源的不同，分为两类a. 主动隔振：设备本身是振源；隔振系数：PTP0b. 被动隔振：支承的垂直振动xs U ei t 为振源；第五章 两自由度系统的振动1 两自由度系统的自由振动 1

12、) 动力学模型m1x1 k1 k2 x1 k2 x2 0m2 x2 k2x1 k2x2 0矩阵形式： M x K x 02) 固有频率及主振型的求解x1A1 sinnta. 假设解为简谐振动：11nx2A2 sinntb. 得到系统的特征矩阵方程：Kn2 M A 0c. 非零解的充要条件是行列式等于零： det Kn2 M02d. 解方程得固有频率：n21,2 b b 4acn1,2 2aA21A22e. 将固有频率带入特征矩阵方程得主振型： 1 21 ， 2 221 A11 2 A123) 系统的动力响应x1 A11 sin n1t 1A12 sin n2t2x21A11 sin n1t12

13、 A12 sin n2t22 两自由度系统的强迫振动 1) 动力学模型：主系统 +副系统m1x1 k1x1 k2 x2 x1P0 sin tm2 x2 k2 x2 x1 0其通解由两部分组成：自由振动 +稳态振动x1 A11 sin n1t1 A1 2 sin n2t2自由振动：x21 A11 sin n1t 12A12 sin n2t2x1 B1 sin t稳态振动：B1 、 B2x2 B2 sin t2) 振动特性 用共振法测定系统的固有频率，根据测出的振型来判定固有频率的阶次3 动力减振器 原理：用弹性元件(或加阻尼元件)把一个辅助质量联系到振动系统。m1x1 c x2 x1 k1 k2

14、 x k2x2 P0ei t m2 x2 c x2 x1 k2x1 k2x2 0B1 ei tB2特解：x1x2ei tB1若无阻尼，B1221 2 2 2 2 2 2无阻尼减振器的实质：使系统的共振频率发生变化，其本身并没有消除共振。st第六章 多自由度系统的振动1 多自由度系统运动方程的建立方法1) 拉格朗日法dTTUdt qiqiqiDqiQi用矩阵形式表示的系统运动微分方程m x cC x k x P2) 影响系数法 刚度影响系数、阻尼影响系数、惯性影响系数、柔度影响系数k 1, k 1互为逆矩阵位移方程：x P m x c x2 多自由度系统的固有频率和主振型的求解1) 固有频率多自

15、由度无阻尼系统自由振动的一般形式： 假设解为： x A e主振型方程： kn2 m A 010频率方程： det kn2 m 0n 阶固有频率： 0 n1 n2 nn2) 主振型求出固有频率后，将其中一阶固有频率 nr 代入主振型方程第r 阶主振型 ArA1r A2r Anr计算主振型时，往往规定其中某一阶振幅Ai r 1，再求其它的。3) 主振型的正交性 几何意义：系统的主振型互相垂直； 物理意义：从能量观点出发，各阶主振型之间能量不能相互转化，彼此独立； 假设对应于固有频率 nr 、 ns 的两个主振型为 A r 、 A s ： r s 时As T m Ar 0即主振型对质量矩阵的正交性A

16、s T k Ar 0即主振型对刚度矩阵的正交性3 模态分析法 概念： 应用由系统的各阶主振型组成的模态矩阵作为变化矩阵， 对原系统运动方程进行 坐标变换，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化(即消除惯性耦合和弹性耦合) ，得 到一组独立的互相耦合的模态方程。即可以用单自由度系统的求解方法分别求解 每一个方程，从而得到多自由度系统的动力响应。运动方程： m x k x P求解步骤：1) 求出系统的各阶固有频率n1 nn以及相应的主振型 A1 A n模态矩阵：A1 A2 A n正则模态矩阵： N2) 用 、 N 对原方程作坐标变换：x q M q K q Qx N qNqNn2 qNQN3) 按单自由度

17、系统的求解方法分别求解每一个方程；得到一组以模态坐标 q (正则坐标 qN )表示的系统的动力响应。114) 利用线性变换，得到原系统运动方程的解；如 p122 例题 2、P129 例题 3 4 多自由度系统的数值方法1) Rayleigh 法：最低阶固有频率n1 的上限2) Dunkerly 法：最低阶固有频率n1 的下限3) 矩阵迭代法 假设一个振动的振型，经过逐次迭代，使其收敛到某一阶主振型，从而求出系统的 固有频率和主振型第七章 弹性体的振动1 杆的纵向自由振动等截面杆纵向自由振动的运动方程：，其中 a1 2ua2 t 2边界条件为自由端时，0，u xxll杆纵向自由振动的频率方程： sin n 0 a1l两端为自由端，应力为零2l两端固定，位移为零3lm左端位移为零，右端力平衡4lk左端位移为零，右端力