整式的运算法则

1、整式的运算法则整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。整式的乘法：am?an am n（m,n都是正整数）整式的除法：am an am n（m, n都是正整数,a 0）【注意】（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式 的项数相同。（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同 时还要注意单项式的符号。（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。1a01（a0）;a p -（a 0, p为正整数）（6）ap（7）多项式除以单项式，先把这个

2、多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。一、选择(每题2分，共24分)1. 下列计算正确的是().A. 2X 3x3=6x3B. 2x2+3x3=5x5C. (-3X2) (-3x2) =9x5D. 5xn 2xm= 1 Xm+n4522. 一个多项式加上3y2- 2y- 5得到多项式5y3- 4y- 6,则原来的多项式为().A. 5y3+3?+2y 1B. 5y3- 3y2 2y- 6C. 5y3+3y2- 2y- 1D. 5y3 3y2- 2y- 13. 下列运算正确的是().A. a2 a3=a5B. (a2) 3=a5C. a6 a2=a3D

3、. a6 a2=a44. 下列运算中正确的是().A. 1a+1a=1aB. 3a2+2a3=5a5C. 3x2y+4yx2=7D.- mn+mn=023办 ' 5二、填空(每题2分，共28分)6.- xy2的系数是，次数是.8. x=£+1; (m+n) () =n2-m2; (a2) 3 (a3) 2=.9. 月球距离地球约为3.84X 105千米，一架飞机速度为8X 102千米/时，？若坐飞机飞行这么远的距离需.10. a2+b2+= (a+b) 2a2+b2+= (a b)(a b) 2+= (a+b) 211. 若x2 3x+a是完全平方式，则a=:12 .多项式5

4、x2 7x 3是次式.三、计算(每题3分，共24分)13. (2x2y 3xy2) (6x2y 3x0 14. ( 3 ax43)(害 axy) 8a2y17. (x 2) (x+2)-(x+1) (x 3) 18. (1 3y) (1+3y) (1+9019. (ab+1)2(ab 1)2四、运用乘法公式简便计算(每题 2分，共4分)20. (998) 221. 197X 203五、先化简，再求值(每题4分，共8分)22. (x+4) (x 2) (x4),其中 x= 1.23. (xy+2) (xy 2) 2x2y2+4，其中 x=10, y= 1 .25六、解答题(每题4分，共12分)2

5、4 .已知 2x+5y=3,求 4x 32y 的值.25.已知 a2+2a+b2 4b+5=0,求 a, b 的值.幕的运算一、同底数幕的乘法（重点）1.运算法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加用式子表示为：mnm na a a （m n是正整数）2同底数幕的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幕相乘，即注意点：（1）同底数幕的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加, 所得的和作为积的指数（2）在进行同底数幕的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再 按法则进行计算【典型例题】1. 计算（2 ） 2007+ （- 2 ） 2008 的结果是（）A. 22

6、015B.2D. 220082 .当a<0，n为正整数时，（一a） 5 （ a） 2n的值为（）A.正数B.负数C.非正数D.非负数3. （一题多解题）计算：（a b） 2m1 （b a） 2m （a b） 2m+1，其中m为正整数.4. （一题多变题）（1）已知 xm=3，xn=5，求 X+n.（2）一变：已知 xm=3, xn=5，求 严;（3）二变：已知 xm=3, xn=15,求 xn.二、同底数幕的除法（重点）1、同底数幕的除法同底数幕相除，底数不变，指数相减公式表示为：am an amn a 0,m n是正整数，且m n .2、零指数幕的意义任何不等于0的数的0次幕都等于1.

7、用公式表示为：a0 1 a 0 .3、负整数指数幕的意义任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，用公式表示为1a n n a 0, n是正整数a4、绝对值小于1的数的科学计数法对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成a 10n的形式，其中1 a 10,n是负整数.注意点：（1）底数a不能为0,若a为0,则除数为0,除法就没有意义了；（2）a 0,m n是正整数，且m n是法则的一部分，不要漏掉.（3）只要底数不为0,则任何数的零次方都等于1.【典型例题】一、选择1. 在下列运算中，正确的是（）A. a2 a=fe. （ a） 6-a= （ a） 3二一a3C. a

8、2 2=a2 2=0D. （ a） 3 2= a2. 在下列运算中，错误的是（）A. a2m + m +a=am3B. am+nT=amC. ( a2) 3宁(一a3) 2二一1D. am+2宁3=am 1二、填空题1. ( x2) 3+( x) 3=. 2. (y2) n3 +y3) n2=.3. 104-0- 10=. 4. ( 3.14) 0=.三、解答1. (一题多解题)计算：(a b) 6 + (b a) 3.2. (巧题妙解题)计算：21+22+2 3+22008.3. 已知 am=6, an=2,求 a2m 3n 的值.4. (科外交叉题)某种植物的花粉的直径约为 3.5 X 1

9、0米，用小数把它表示出来.三、幕的乘方(重点)幕的乘方，底数不变，指数相乘.> z ：/x J J公式表示为：amamn(m、n都是正整数).注意点：(1)幕的乘方的底数是指幕的底数，而不是指乘方的底数.(2)指数相乘是指幕的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幕相乘中“指数相加”区分 开.【典型例题】1. 计算(-a2) 5+ (-a5) 2的结果是()精心整理A. OB. 2a10C. -2a10D. 2a72. 下列各式成立的是()A.(a3)x=(ax)3B.(an)3=an+3C.(a+b)3=a2+b2D.(-a)m=-am3 .如果(9n) 2=312,则n的值是()A

10、. 4B. 3C. 2D. 14 .已知/+3x+5的值为乙那么3x2+9x-2的值是()A. 0B. 2C. 4D. 66.计算：(1) a2 a4 a3 a3 (a3)2 (2) 2 (a2)4 a4 (a2)2补充：同底数幕的乘法与幕的乘方性质比较:幕的运算指数运算种类同底数幕乘法乘法加法幂的乘方乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。用式子表示为：a b n an bn（n是正整数）扩展精心整理mnpmnpmnpmp. npa a a aa b a b (m n、p是正整数)注意点：(1)运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果；(2)运用

11、积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.【典型例题】1. 化简(a2m尹1)2 (-2a2)3所得的结果为 2. ()5=(8 x 8x 8x 8x a)(aa - a - a)3. 如果 ab 且(ap)3bp+q=a9b5成立，贝H p=，q=。4若 am 1bn 2 a2n 1b2m a3b5，则 m+n 的值为()A. 1B. 2C. 3D. -32 25.2x3y2 ? 1 2003 ? 3x2y3 的结果等于()2A. 3x10y10B. 3x10y10C. 9x10y10D. 9x10y107. 如果单项式3x4a by2与；x3ya b是同类项，那么

12、这两个单项式的积进()3、辿/J643 283264A x y B x y C.3x y D. x y8. (科内交叉题)已知(x y) - (xy) 3 - (x y) m= (x y) 12，求(4m2+2m+1)2 (2m2 m 5)的值.课后作业一.选择题(共13小题)0.51 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为纳米的碳纳米管，1纳米=0.000000001米，贝U 0.5纳米用科学记数法表示为（）A. 0.5 X 米B. 5X 108米C. 5X 109米D. 5X 1O10米2 . - 2.040 X 5表示的原数为（）A.-

13、 204000B.- 0.000204C.- 204.000D.- 204003. （2007?十堰）下列运算正确的是（）A. a6?a3=a18B. （a3） 2a2=a5C. a6-3=a2D. a3+a3=2a3'I4. （2007?眉山）下列计算错误的是（）A. （- 2x） 3=- 2x3B.- a2?a=- a3C. （- x） 9-（ - x） 3=x6D. （- 2a3） 2=4a65. 下列计算中，正确的是（）A. x3?x4=x12B. a6-a=a3C. （a2） 3=a5D. （- ab） 3=- a3b36. （2004?三明）下列运算正确的是（）A. x2?

14、x3=X6B. （- x2） 3=x6C. （x- 1） 0=1D. 6x5十 2x=3X丄212A. x AC. x w8.在（-1）7 .若（2x+1） 0=1 则（ ）B. x 2 1D. x七0=1;（-1） 3=- 1 ; 3a - 2=;（-x） 5-（ - x） 3=- x2 中，正确的式子有（3 a210.通讯卫星的高度是 3.6 X 1（米，电磁波在空中的传播速度是3X 10米/秒，从地面发射的电磁波被通讯卫星接受并同时反射给地面需要（)A. 3.6 X 10 秒B. 1.2 X 101 秒C. 2.4 X 1(?秒D. 2.4 X 101 秒11 下列计算，结果正确的个数(

15、)A.B.C.D.9 若 a=（-专）2, b=(-1)1, c=(A. a> b> cB.a > c> bC. c > a> bD.c> b > a今）。，则a, b,c的大小关系是（）、； I . I(1)(2)丄-3 ; ( 2) 23=- 8; ( 3)(-斗)占;(4) ( n- 3.14) 0=1 349A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个12.下列算式,计算正确的有 103=0.0001(0.0001 )0=1; 3a2=2 ；(-x)3 a3r- x) 5-x-2A. 1个C. 3个B. 2个D. 4个13.计算：（半）2

16、008 xn 4A.虽B.-4C.的结果是（D.二.填空题1 -214. （2005?常州）砲）°=；身）=15. 已知（a-3） a+2=1，则整数 a=.16如果（x- 1） x+4=i成立，那么满足它的所有整数x的值是.17. 下雨时，常常是 先见闪电，后听雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故.已知光在空气中的传播速度约为3X 10米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4 X 10米/秒，则光速是声速的 倍.（结果保留两个有效数字）131，其浓度为18. （2011?连云港）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘-0.0000963贝克/立方米.数据

17、“ 0.0000963用科学记数法可表示为 .19 .若 3x+2=36,则丄=.2 20. 已知 a3n=4，则 a6n= .21. 多项式-5 （ab） 2+ab+1是次项式.三.解答填空题'? I'”厂一:/22. 计算:（1）（1三2）（-护）片-* 7= _;(2) (4ab2)3=23. 已知：2x=4y+1, 27y=3x-1，则 x-y=.24. (2010?西宁)计算：(专)7 - (Z14-兀)° + 0. 25 4 X 44=/./ / /j J25. 计算:(1) (- 2.5x3) 2 (- 4x3) =;L I(2) (- 104) ( 5

18、X 10) ( 3X 10) =26. 计算下列各题：(用简便方法计算)(1)- 102nx 100 X- 10) 2n-1=; (2) ( a) (- b) 2?a2b3c2=(3) (x3) 2十2 十 x+x( x)2? ( x2) =；( 4)(一9)勺敦(一彳)x (吉)'=27. 把下式化成(a - b) p 的形式：15 (a- b) 3 - 6 (a - b) p+5 (b- a) 2 45( b - a) 5= _一28. 如果 xm=5, xn=25,贝U x5m2n 的值为 _ 29 .已知：an=2, am=3, ak=4,则 a2n+m2k 的值为 _ .30

19、.比较 2100与 375 的大小 2100 _ 375.因式分解教学目标：1. 知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分 解解决问题的能力.2. 过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的 自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.知识详解知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫做把这个多项式分解因式.【说明】

20、（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形X2因式分斛整或乘法如:因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式？知识点2提公因式法多项式ma+mb+m(中的各项都有一个公共的因式 m，我们把因式m叫做这个多项 式的公因式.ma+mb+mc二na+b+c)就是把na+mb+m分解成两个因式乘积的形式，其中 一个因式是各项的公因式 m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+m除以m所得的商，像这 种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1) , 8a2b-4ab+2a=2a(4 ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？2 2 2 2(1)

21、3x y-xy+y=y(3x -x) ； (2)x -2x+3=(x-1) +2；(3)x 2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x 2-x+1)=x n+2-x n+1+xn.典例剖析例1用提公因式法将下列各式因式分解.(1)-x 3z+x4y ； (2)3x( a-b)+2y(b- a)；分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把 b-a化 成-(a-b)，然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分精心整理解.(2) 如果出现像小题需统一时，首先统一

22、，尽可能使统一的个数少。这时注 意到(a-b) n=(b- a) n(n 为偶数).(3) 因式分解最后如果有同底数幕，要写成幕的形式.学生做一做把下列各式分解因式.3 2(1)(2 a+b)(2 a-3b)+(2 a+5b)(2 a+b) ； (2)4p(1-q)+2(q-1)知识点3公式法(1) 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这 个数的差的积.例如：4x2-9=(2x) 2-32=(2x+3)(2x-3).(2) 完全平方公式：a2士 2ab+b2=(a士 b)2.其中，a2士 2ab+b2叫做完全平方式.即两 个数的平方和加上(或减去)

23、这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例如：4x2-12xy+9y2=(2x) 2-2 2x 3y+(3y) 2=(2x-3y) 2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x 2-3y2=(x+3y)(x-3y) ; (2)4x 2-6xy+9y2=(2x-3y) ; (3)x 2-2x-1=(x-1)例2把下列各式分解因式.(1)( a+b)2-4a2; (2)1-10x+25x 2; (3)(m+n) 2-6(m+n)+9.分析：本题旨在考查用完全平方公式分解因式.精心整理学生做一做把下列各式分解因式.(1)(x +4) -2(x +4)+1 ;(2)(x+y) 2-4(

24、x+y-1).综合运用例3分解因式.3 2 2 2(1)x -2X+X；(2) x (x-y)+y (y-x)；分析：本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.小结解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没 y I |、7/ /1.I有公因式是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式，最后，直到每一个因式都不能再分解为止.探索与创新题例4若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=.分析：完全平方式是形如：a2士 2ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的 2倍的 和(或差).学生做一做若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=.L I课堂

25、小结用提公因式法和公式法分解因式，会运用因式分解解决计算问题.各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏“ T ,括号里面分到自我评价知识巩固1. 若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于()A.3B.-5C.7.D.7 或-12. 若(2x) n-81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则 n 的值是()A.2B.4C.6D.83. 分解因式：4x2-9y2二.4. 已知 x-y=1,xy=2，求 x3y-2x 2y2+xy3 的值.5. 把多项式1-x2+2xy-y 2分解因式思考题分解因式(x4+x2-4)(x 4+x2+3)+10.考点课标要求知识与技能

26、目标了解理解掌握灵活应用代数式定义V会列代数式VV会求代数式的值1. 1VV会归纳公式、应用公式整式概念整式、单项式、多项式、同类项概念V单项式的系数、次数，多项式的项数、次数V整式加减合并同类项VV去括号与添括号法则VV整式 的乘 法幕的运算性质VV单项式乘以单项式；多项式乘以单项式；多项式乘 以多项式的法则VV乘法公式VV【知识考点】1代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把连接而成表示的式子叫做代数式2代数式的值：用代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的叫做代数式的值 3.整式.单项式中的叫做这个(1) 单项式：由数与字母的组成的代数式叫做单项式(单独一个数或

27、也是单项式) 单项式的系数；单项式中的所有字母的叫做这个单项式的次数(2) 多项式：几个单项式的叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的，其中次数最高的项的叫做这个多项式的次数不含字母的项叫做(3) 整式：与统称整式合并同类项的法则是相加,4同类项：在一个多项式中，所含相同并且相同字母的也分别相等的项叫做同类项 所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数。5幕的运算性质:am an=；(am)n=； am+ an =; (ab)n=.6.乘法公式：(1)(a b)(c d) ； (2) (a+ b) (a- b)=；严.、%；小j(a + b)2=; (4)(a- b)2= 7整式的除法

28、单项式除以单项式的法则：把、分别相除后，作为商的因式；对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指 数一起作为商的一个因式.多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以，再把所得的商.因式分解因式分解的意义V与整式乘法的区别与联系V因式分解方法提公因式法VV运用公式法VV【知识考点】1.因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.2. 因式分解的方法:,，3. 提公因式法： ma mb me .4. 公式法：a2 b2a2 2ab b2， a2 2ab b2.25十字相乘法：x p q x pq 6 因式分解的一般步骤：一 “提”（取公因式

29、），二“套”（公式）.三“十字”四“查”7 易错知识辨析注意因式分解与整式乘法的关系；一、选择题（第小题4分，共24分）1 下列计算中正确的是（）A. a2 b32a5 B. a4 a a4C. a2 a4 a8D.2.x a x2 ax a2的计算结果是（）典32A. x2ax33a B. x33a C. x2332a x a D. x2 22ax 2a3 下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（）3x32x26x5 : 4a3b2a2b2a ； a3 2 a5 ； ® a 3 a a2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 若x2是一个正整数的平方，则比x大1的整数的平方是（）2 2 2A. x 1B. x 1C. x 2x 1D. x 2x 15. 下列分解因式错误的是（）A. x3 x x x2 1 B