常见的个离散动态系统模型

1、常见的三个离散动态系统模型要理解并预测由差分方程 X" =Axn所描述的动态系统的长期行为或演化,关键在于掌握矩阵A的特征值与特征向量在本节中，我们将通过应用实例来介绍矩阵对角化在离散动 态系统模型中的应用这些应用实例主要针对生态问题，是因为相对于物理问题或工程问题 它们更容易说明和解释，但实际上动态系统在许多科学领域中都会出现分布图示引言教师职业转换预测问题区域人口迁移预测问题捕食者与被捕食者系统内容小结课堂练习习题4-5例题选讲例1(E01)(教师职业转换预测问题)某城市有15万人具有本科以上学历，其中有 1.5万人是教师，据调查，平均每年有10%的人从教师职业转为其他职业，只有

2、1%的人从其他职业转为教师职业，试预测10年以后这15万人中还有多少人在从事教育职业。用Xn表示第n年后做教师职业和其他职业的人数，则X0 =1.513.5 '用矩阵A=(aj)=卩.9° 0.01 j表示教师职业和其他职业间的转移，其中电.10 0.99 丿=0.90表示每年有 90%的人原来是教师现在还是教师；a?" =0.10表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。显然0.011.5 1.485 1D (=I0,99 AJ3.5 丿 *3.515 丿即一年以后，从事教师职业和其他职业的人数分别为1.485万和13.515万。又2八nX2 二 AX1 =A

3、X0 ,Xn = Xn 4 = A X0 ,所以X10二A10X0,为计算A10先需要把A对角化。x1 =Ax00.90©.10E -a = -0.9-0.1-0.01九一0.99一0.9)( ' 0.99) 0.001 二 2 1.89 0.8 9 10.0 0 1Y2 -1.89，0.890 =0/'1 =1, j.2 =0.89 ,'1 = /-2，故A可对角化.P2令 P =（Pl, p2）=广11 ,一11IP-*AP =A =0.89，A”P，A10”0p，而 p A-1们11=11、111101 丿 11Q0-1丿_ 10 111 丫10 丫11

4、 丫1.5、X10 =PA P-X0:|一火101 1-UJ3.5 J11Q00.89 丿 *0-10 0.311817 1011 QO1 Y 1.51.5425 ii i=i1 丿Q3.5 丿 Q3.4575 丿所以10年后，15万人中有1.54万人仍是教师，有13.45万人从事其他职业。例2 （区域人口迁移预测问题）使用§ 3.7中的人口迁移模型的数据，忽略其它因素对人口规模 的影响，计算2022年的人口分布.解迁移矩阵M*0.95©050.12、的全部特征值是 人=1, ?吃=0.83,其对应的特征向量0.88 丿分别是2.4，p2 =2.41 ''1

5、 0 '1 0、-令 P =（P1, P2 ）=，有 PJMP =，则 M = PPU T0.83 丿,0 0.83 丿因为='2,故M可对角化.因2002年的初始人口为X0_ 5000000-7800000,故对2022年,有x20 =Mx19 -=M20xPM20P4x02.41 丫1T八0°20 24 1 ' 500000089381450.83201-178000003861855将I =1代入（E A） x=0，得其对应特征向量将j =0.89代入（E _A） x=0，得其对应特征向量例3 （捕食者与被捕食者系统）某森林中，猫头鹰以鼠为食记猫头鹰和鼠

6、在时间 n的数量为Xn = n ，其中n是以月份为单位的时间，On是研究区域中的猫头鹰，Mn是鼠的Z丿数量（单位：千）假定生态学家已建立了猫头鹰与鼠的自然系统模型：O 卅=0.4On +0.3MM书=pOn +1.2M其中p是一个待定的正参数第一个方程中的0.4On表明，如果没有鼠做食物，每个月只有40%的猫头鹰可以存活，第二个方程中的1.2M n表明，如果没有猫头鹰捕食，鼠的数量每个月会增加20%.如果鼠充足，猫头鹰的数量将会增加0.3Mn，负项- pOn用以表示猫头鹰1000 p只）.当捕的捕食所导致野鼠的死亡数（事实上，平均每个月一只猫头鹰吃掉鼠约Xn 二 PAP 如。'2<

7、;160.55n1301.051x°c10.55nc21.05n'6 '<13j假定c20，则对总够大的n , 0.55n趋于0，进而Xn:c2p2 = C2 1.05n食参数p =0.325时，则两个种群都会增长.估计这个长期增长率及猫头鹰与鼠的最终比值0.40.3、解 当p =0.325时，（1）的系数矩阵 A =，求得A的全部特征值c 0.325 1.2 y2%、0.55，花=1.05，其对应的特征向量分别是pi =,P2 =<13,'26、初始向量 X0 =C1P1 +C2P2 .令 P=（P1,P2 ）=，当n H0时，贝yJ 13n越大（2）式的近似程度越高，故对于充分大的nXn十秃 01.05=1.05Xn订3丿（3）式的近似表明，最后Xn的每个元素（猫头鹰和鼠的数量）几乎每个月都近似地增长了0.05倍，即有5%的月增长率.由式知，Xn约为6,13 -的倍数，所以Xn中元素的比值约为6: 13,即每6只猫头鹰对应着约 13