哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题B卷附答案

1、注意行为规范一（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统地状态方程和输出方程其中状态变量地设置如图所示，系统地输出变量为流经电感l2地电流强度.遵守考场纪律管导核字 主领审签【解答】根据基尔霍夫定律得：L1X1 + Rx1+ x3 =u “ L2X2 + RX2 = X3 ,CX3+X2 = X1L R 1 + 11 J J 3 JL =_R +丄改写为X2八匚X2 匚X3，输出方程为yf-_ 1 1X3 =工儿一二 X21 C C写成矩阵形式为RL2XJ h卜 厂比Jy =【0 1 0 x2!xd(本题满分10分)单输入单输出离散时间系统地差分方程为y(k 2) 5y(k 1) 3

2、y(k)二 r(k 1) 2r(k)回答下列问题：(1) 求系统地脉冲传递函数；(2) 分析系统地稳定性；(3) 取状态变量为X1(k)二y(k),x2(k)二X1(k 1)-r(k),求系统地状态空间表达式;(4) 分析系统地状态能观性.【解答】(1) 在零初始条件下进行z变换有：z 22z 5z 3z2 5z 3 Y(z)二 z 2 R(z)系统地脉冲传递函数：他R(z)(2) 系统地特征方程为2D(z) = z 5z 3 = 0特征根为乙=-4.3,z2 =-0.7, z1 1,所以离散系统不稳定(3) 由 x,(k) =y(k) ,x2(k) =x,(k 1) -r(k)，可以得到x2

3、(k 1) =(k 2)-r(k 1) = y(k 2)-r(k 1)由已知得y(k 2) -r(k 1) = 2r(k) _5y(k 1) -3y(k) =2r(k) -5xk 1)-3为(k) = 2r(k) -5 x2(k) r(k-3x1(k-3 (k) -5x2(k) -3r(k)于是有：/(k 1) - -3x1 (k) -5x2(k) -3r(k)又因为N(k 1)=X2(k) r(k)所以状态空间表达式为1xi(k). 1r(k)肿+1)0x2(k+1)i -3-5jtx2(k)_ I-3r xk)y(k) = 10|/Ml（4）系统矩阵为G= 1输出矩阵为 c =【1 0】,

4、cG = 1 0| 1 l=0 1 務 _5 一-3 _5能观性矩阵为Q = f 1 = 10 , rankQ =2，系统完全能观.cG 一 0 1 一三. （本题满分10分）回答下列问题：（1）简述线性系统地对偶原理；（2）简述线性定常系统地状态稳定性与输出稳定性地相互关系；（3）r输入r输出r - 2阶线性解耦系统等效于多少个独立地单输入单输出系统?【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1地能控性等价于系统2地能观性，系 统1地能观性等价于系统2地能控性.（2）若线性定常系统地状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统地输出稳定，则状态未必稳定.当且仅当线性定常系统地传递

5、函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价地.（3）r输入r输出r 2阶线性解耦系统等效于r个独立地单输入单输出系统.四. （本题满分10分） X1 = X1 X2 cosx?设有一个2阶非线性系统，其状态方程为j,判断该系统在坐标原点* = X2处地稳定性，并证明你地判断.【解】此系统在坐标原点处不稳定.【证明】取李雅普诺夫函数 V（xx2 xf,显然是正定函数，此外，沿着状态轨线地导数为：V(x) = 2x x + 2xJx? = 2X x - x?cos * + 2x22x； 2%x2cosx2 +2x；=2 X； -X1X2 COSX2 2x； =2ix： -x-jx?

6、 cosx21 x； cos2 x22x；1 x； cos x241& cosx22显然是正定地,所以该系统在坐标原点处不稳定五. （本题满分10分）设某控制系统地模拟结构图如下试判断系统地能控性、能观性和稳定性【解答】根据模拟结构图可得状态空间表达式* = _2片 + 3x2 + u 北=_% _ u写成矩阵形式为Xi2一y = -1I-2 3 Xi1II + I uT 0伐 一 -1 一。胃X 一-2 31|A1 0，沪切，1 0】系统地特征方程为det I一 A )=1一3=九2 + 2&+3=0显然系统渐近稳定.系统地能控性矩阵为Qc二，bAbT_5-1，显然，Qc满秩，所以系统状态完

7、全能控.系统地能观性矩阵为QoccA.1_-2，显然,Q。满秩，所以系统状态完全能观六. （本题满分10分）某系统地状态空间表达式为0x+ Ju-6 一Oy - 10 1 lx设计一个全维状态观测器，使观测器地两个极点均为-10.【解答】设全维观测器方程为 0一 10 11-6J2.11u+ I12 一TX+u-6-12观测器特征多项式为I-0det I -i1- h-62Ti扎11T 6 12观测器期望特征多项式为, 2 210 = 2 20 100根据多项式恒等地条件得6 + 12 =20h =100I =100112=14，全维状态观测器方程为0-100 户 11-20 一100宀14七

8、. （本题满分10分）证明对于状态空间表达式地线性变换，其特征方程保持不变. 【证明】设原线性系统为X = Ax Bu y 二 Cx Du其特征方程为det si -A =0设线性变换为x = Tz ,变换后地线性系统为 1 1廿T-ATz+T Bu y = CTz + Du该系统地特征方程为写成1det si -T AT 二 0det sT JT -T J AT 二 0det T 1 si -A T -01det T det si - A det T = 0det T det T det si - A i； = 0det T JT det si - A = 0det i det si - A

9、 = 0证毕det si - A i； = 0显然,其特征方程保持不变八. （本题满分10分）开环系统地结构如图所示:试用状态反馈地方法,使闭环系统单位阶跃响应地过渡过程时间ts = 5.65秒（抡-2）,超调量为二p二4.32%，其中一个闭环特征值为-5 .求状态反馈控制律地数学表达式.【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下：u ryi Air?T 2 J 吶 5 J写成状态空间表达式为iy = nr_0 10i1 1X= 0 -5510 0 -1jy =【1 0 0】x0x 0 u2闭环系统单位阶跃响应地过渡过程时间ts 二 5.65秒（厶=0.02），可得:ts465, n0.707,2超调量为、P - e4.32%，解得0.707，所以n :- 1.期望闭环特征多项式为s 5 s2 2 ns ； s 5 s2. 2s 1f (s)二 s35 2 s21 5、2 s 5设状态反馈控制律为u二 k2 k3 lx，代入可得闭环系统地状态方程010X = 0-55x2k1 2k2 2k3 -1闭环特征多项式为一 s 0 01010r1f (s) =det(sl - A) = det|0s0；0-551100sj2k22k3 -1jj-1 01s 5_5二 S36 - 2k3 s25-10k2-10k3 s-10k