圆心角定理讲解

1、圆心角定理（弧、弦、圆心角关系定理 ）基本内容:1、在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦也相等。2、在同圆或等圆中,3、在同圆或等圆中,如果两条弧相等，则它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等。如果两条弦相等，则它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等。在理解时要注意:前提：在同圆或等圆中；条件与结论：在 两条弧相等；两条弦相等；两个圆心角相等中，只要有一个成立, 则有另外两个成立。基本概念理解:1在同圆或等圆中，若的长度=的长度，则下列说法正确的个数是（）f 的度数等于门；山所对的圆心角等于门所对的圆心角；和是等弧;；所对的弦心距等于匸口所对的弦心距。A . 1个 B. 2个 C

2、. 3个 D . 4个2.如图，在两半径不同的同心圆中,.AOB 二.A OB =60 ，则()（2题图）C.D. V的长度：的长度3. 下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.(C) 3 个 (D) 4 个4. 已知弦AB把圆周分成1: 5的两部分，这弦 AB所对应的圆心角的度数为5.在O O中，上的度数240，则的长是圆周的份.概念的延伸及其基本应用：1. 在同圆或等圆中，如果圆心角 BOA等于另一圆心角 COD的2倍，则下列式子中能 成立的是（）A. AB = 2CD B.

3、Sb C A<2D*XS = CD2. 在同圆或等圆中，如果 川：门，贝U AB与CD的关系是（）A . AB 2CD B . AB=2CD C . AB ： 2CD D . AB = CD3.在O O中，圆心角.AOB=90，点0到弦AB的距离为4,则O O的直径的长为（）A. 4 ._2 B. 8.2 C. 24 D. 164.在O 0 中,两弦 AB : CD，0M，ON分别为这两条弦的弦心距，则0M，ON的关A . OM ON B . OM =0N C. OM : ON D .无法确定 15已知：O 0的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的一，则弦AB的长为3AB的弦心距为 cm

4、.6.如图，在O 0中，AB / CD，:的度数为45°,则/ COD的度数为.典型例题精析:例题1、如图，已知：在O 0中，0A丄OB ,Z A=35 解：连结0C,在 Rt AOB 中，/ A=35 °:丄 B=55。，又 I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70 °,.的度数为 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20 I的度数为20° .说明：连结 OC,通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识例题2、如图，已知：在O O中，- =2

5、 ，试判断Z AOB与Z COD , AB与2CD之间的关系，并说明理由分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：ZAOB=2 Z COD , AB<2CD ,理由如下：如图，在O O上取一点 C '使=丨/ COD= Z DOC.爲=2& ,住=&+跳 AB=CC . Z AOB= Z CO C =Z COD+ Z DOC =2 Z COD 又在 CD C 中，CD+DC > CC' , CC <2CD,即卩 AB<2CD. 说明：证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在

6、“相等”问题中的不等量.由厂=2丨可得Z AOB=2 Z COD是正确的，但由H =2 得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.例题3、如图，已知：AB是O O直径，M、N分别是 AO、BO的中点，CM丄AB , DN丄AB，求证:分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等证法一：连结 AC、OC、OD、BD ,/ M、N分别是 AO、BO的中点，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD , =一 .证法二：连结OC、OD ,1 1 M、N 分别是 AO、BO 的中点， OM=AO, 0N= BO ,2 2/ OA

7、=OB , OM=ON , Rt COM 也 Rt DON ,/ COA= / DOB ,=Lt .证法三、如图，分别延长/ M、N 分别是 AO、BOCM、DN 交O O 于 E、F,11的中点， OM=AO , ON= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,B又 CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF，一':丄=L匕一=丄=二，L 丄，. i =L.2 2说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活, 活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.培养学生灵例题4、如图，C是O O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD = CO ,若、的度数为40&#

8、176;,求匸的度数.分折：要求的度数，可求它所对的圆心角/BOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果.解： 连OE、OD并延长DO交O O于F./ CD = CO ,/ OD = OE ,/ EOF= / E+ / ODE=80/ ODE = Z AOD = 40°./ E= / ODE = 40°.，/ BOF= / AOD = 40°,（例题4图）B则/ BOE= / EOF + / BOF =80 ° +40 ° =120°,二的度数为120°.说明：此题充分体现了圆中的等量转换 以及圆中角度的灵活变换. 例题

9、5、如图，在O O中，直径 AB垂直于CD并交CD于E;直径MN交CD于F，且FO =FD =20E，求的度数.解连结0D .AB _CD 于 E，且 OF =20E./ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD ,EFO =30 , EOF =60 , 又 OF =FD.FDO = FOD =15AOD =75 ,/ AND = AC.LU的度数是150 .（例题6图）说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以 求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题 例题6、已知：如图，M、N分别是O O的弦AB、CD的中点，AB = CD，求证：一

10、AMN = . CNM .分析：由弦 AB=CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连结OM ,ON，则有 OM = ON , OM _ AB , ON _ CD，故易得结论证明 连结OM、ON ,O为圆心，M、N分别为弦 AB、CD的中点,OM _ AB,ON _ CD .AB 二 CDOM =ON.OMN = ONMAMN =90'-/OMN, CNM =90"/ONMAMN "CNMD说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理 来证题.例题7、如图，已知O O中，& -眈-（

11、"V , OB、OC分别交AC、DB于点M , N，求证：OMN是等腰三角形.分析：由川攻，攻'应得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要证明 AC二BD就可以证明 MON是等腰三角形迁阴 T ABBC= CD.二 ABC = BCD 有 AC - BD.V B J&AC的中点，二 OR丄AC于M，OM为弦心距.T C是BD的中点，:* OC丄RD于N ON为弦心距.二 OM= ONf即AOMNM腰三角形.说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用例题8、如图，已知 AB为O O的弦，从圆上任一点引弦 CD _ AB，作.OCD的平分线交O O于

12、P点，连接PA,PB.求证：PA 二 PB.证明：连结0P./ CO =OP, OCP r/OPC ./ CP是.DCO的平分线，DCP =/OCP. OP / CD. CD _ AB, OP _ AB PA = PB.PA=PB说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结 OP，证OP _ AB .易错点是囿于用全等三角形的办法证明PA与PB相等而使思维受阻或证明繁杂.作业:1已知O O的半径为R，弦AB的长也为R，则NAOB=，弦心距是 12.在O O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，则AB=33圆的一条弦把圆分为度数的比为1:5的两条弧，如果圆的半径为

13、 R，则弦长为 ,该弦的弦心距为4 .如图，直径AB _ CD，垂足为E ,-AOC =130则川的度数为, CSD的度数为5 在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有 条对称轴的几何图形是 6.O O中弦AB是半径OC的垂直平分线，则 屁片的度数为7 已知O O的半径为5cm，乔的度数是120*，则弦AB的长是&如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为3:1，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度的比是9. 已知：在直径是 10的O O中，-的度数是60°.求弦AB的弦心距.10. 已知：如图，O O中，AB是直径，CCLAB D是CO的中点，DE/ AB

14、求证：=2 '.11. 如图，O O内两条相等的弦 AB与CD相交于P，求证：PB = PD12.如图，O O1和O 02是等圆，M是两圆心O1O2的中点，过 M任作一直线分别交O O1于A, B，交O O2于C , D，求证:上C13.如图，已知OO的直径AC为20cm，匸'的度数为60 ,求弦AB的弦心距的长。例 如图，已知：在O O中，用=2 I，试判断/ AOB与/ COD , AB与2CD之间的关系,并说明理由BCOC'分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中解：/ A0B=2 / COD, AB<

15、;2CD，理由如下：如图，在O 0上取一点C '使辰丄& / COD= / DOC ' -丄=2 丨，二=I +2 =二；. AB=CC ' / AOB= / CO C'=/ COD+ / DOC '2 / COD 又在 CD C '中，CD+DC '>CC', CC' 2CD，即 AB<2CD.说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件,在“相等”问题中的不等量由=2丨可BEFB得/ AOB=2 / COD是正确的，但由.上=2 1得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力例 如图，已知：

16、 AB是O O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM丄AB , DN丄AB ,求证：4 = L上.分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等 证法一：连结 AC、OC、OD、BD ,/ M、N分别是 AO、BO的中点，CM丄AB , DN丄AB , AC= OC、OD=BD又 OC=OD , AC= BD ,=一 .证法二：连结OC、OD ,11T M、N 分别是 AO、BO 的中点， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,/ CM 丄 AB , DN 丄 AB , OC=OD , Rt COM 也 Rt DON，/ COA= / DOB=LL.

17、证法三、如图，分别延长 CM、DN交O O于E、F ,11T M、N 分别是 AO、BO 的中点， OM=AO, 0N= BO ,22/ OA=OB , OM=ON ,又t CM 丄AB , DN 丄AB , CE=DF , 一'：丄=匕tJS =丄風 DB=1F .id 庞? ? 2 2说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.例 如图，已知：在O O中，OA丄OB，/ A=35。，求 丨和乩'的度数.分析：连结OC ,通过求圆心角的度数求解 解：连结OC,在 Rt AOB 中，/ A=35 °

18、;/ B=55。，又I OC=OB ,/ COB=180 ° -2/B=70的度数为 70°,/ COD=90 ° -Z COB=90 ° -70° =20° ,I的度数为20° .说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识例 如图，C是O O直径AB上一点，过 C点作弦DE,使CD = CO,若亠 的度数为40求力的度数.分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角ZBOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果.解： 连OE、OD并延长DO交O O于F.丄的度数为 40°,.Z AOD=4O ° ./ CD

19、 = CO ,/ ODE = Z AOD = 40°./ OD = OE ,/ E= Z ODE = 40°. Z EOF= Z E+ Z ODE=80 ° ,Z BOF= Z AOD = 40DOAC则Z BOE= Z EOF + Z BOF =80 ° +40 ° =120°,二：的度数为 120°说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换典型例题五例(北京市朝阳区试题，2002)已知：如图，- ABC内接于O O , AD是O O的直径，点E、F分别在AB、AC的延长线上，EF交O O于点M、N，交AD于

20、点H , H是0D3的中点，加-小，EH -HF =2，设.ACB=，tan, EH和HF是方程42x - k 2 x 40的两个实数根D(1 )求EH和HF的长;(2)求BC的长解:(1)依题意，有一元二次方程根与系数关系，得.: - I- k 1 4 4k 0，EH HF =k 2,EH HF = 4k 0,又 EH -HF =2.由、得 k =12.当k =12时，成立.把k =12代入原方程解得捲=8, x2 = 6 EH -8, HF =6.(2 )解法一：连结 BD , . 1./ AD 是O O 的直径， . ABD =90 .劇-贏, AD _ EF .即.AHE - AHF

21、二 90 .一 E = 1 _ .AH3在 Rt AEH 中，tan E = = tan ：=，又 EH = 8.EH4 AH =6.由勾股定理得AE =10.在 Rt AHF 中，AH 二 HF =6,由勾股定理得AF -6. 2 .AB3在 Rt ABD 中，tan 1tanBD4设AB =3m，贝U BD =4m，由勾股定理得 AD =5m.3 H 是 OD 的中点， AH AD.444- AD AH 6=8.3 38 5m = 8 .解得 m524八- AB = 3m . 11 分5 E =: , BAC "FAE , ABC s . ：AFE . BC ABEF 一 AF

22、.6,2AFAF6.2514分解法二：同解法一求出 AE=10 , AD =8.连结CD ./ AH -HF，且 AH _ HF ,HAF F = 45 AD为。O直径， . ACD = 90 , . ADC 二 45 . AC = AD sin ADC = AD sin 45 = 4 . 2 . 11 分说明：这是一道综合性较强的题目， 主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。典型例题六例 如图，在O O中，直径 AB垂直于CD并交CD于E ;直径MN交CD于F，且hfFO = FD = 2OE，求门4厂的度数.解连结OD .AB _CD 于 E，且 OF =2OE.EFO =30 ,

23、 EOF =60 , 又 OF =FD.FDO "FOD =15AOD 二 75 ,打 AND = AC-W"的度数是150 .说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题典型例题七例 如图，已知O O中，皿-RU -, OB、OC分别交AC、DB于点M , N , 求证：OMN是等腰三角形分析：由川以，笊应得：OM _ AC , ON _ BD ,因此，只要证明AC二BD 就可以证明.MON是等腰三角形证明/ AB = BC= CD.严* M f二 ABC = BCD 有 AC- BD.V

24、B >AC的中点，二 OR丄AC于仏 OM为弦心距.T C是BD的中点，:* OC丄BD于N, ON为弦心距”二 OAf = ONt即厶OA4N>¥腰三角僭.说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用典型例题八例 已知：如图， M、N分别是O O的弦AB、CD的中点， AB二CD，求证： AMN = CNM .分析：由弦AB二CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理， 又M、N 分别为AB、CD的中点，如连结OM , ON，则有OM = ON , OM _ AB, ON _ CD , 故易得结论cBOAB、CD的中点,D pPA=PBOP，证PA与PB

25、相等而使思维受阻或证明繁证明 连结OM、ON ,O为圆心，M、N分别为弦OM _ AB,ON _CD .AB 二 CDOM =ON.OMN =/ONM.AMN =90 - OMN,. CNM =90 - ONM.AMN CNM说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来 证题.典型例题九例 如图，已知AB为。O的弦，从圆上任一点引弦 CD _ AB，作.OCD的平分线交O O于P点，连接PA, PB.求证：PA 二 PB.证明：连结OP. CO =OP, . OCP =/OPC ./ CP是.DCO的平分线，DCP = OCP二 OP / CD.CD _ AB,

26、 OP _ AB .PA 二 PB.说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结 OP AB .易错点是囿于用全等三角形的办法证明杂.典型例题十例 如图1,四边形ABCD内接于O O , AB =9,BC =1,CD =DA =8. (1)若把和交换了位置， DAB的大小是否变化？为什么？( 2)求证：.DAB =60° 。解(1)由圆的旋转不变性知：与交换位置后，它们的和仍等于，故 化。.DAB的大小不发生变(2)当交换位置以后(如图 2), AB = 9, AD = BC = 8, DC = 1,则四边形ABCD变为上底为1,下底为9，两腰为8的等腰梯形。

27、作 DE _ AB于E， CF _ AB 于 F。91则 AE=BF4。2AE 在 Rt AED 中，cosA =-AD.A = 60°。即.DAB =600。A图2n FB说明：本题考查了圆的旋转不变性，解题关键是透彻理解题意并正确画出变化后 的图形，易错点是画错或画不出变化后的图形。选择题1、如图在BOC=(A) 140ABC).(C) 130°2、下列语句中，(1)相等的圆心角所对的弧相等;(3)长度相等的两条弧是等弧；(A) 1 个中，/ A=70OC(B) 135 °(D) 125 °正确的有(B) 2 个(C)(2)平分弦的直径垂直于弦；(4

28、)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.3个(D) 4个3在同圆或等圆中,立的是()如果圆心角 BOA等于另一圆心角 COD的2倍，则下列式子中能成A. AB=2CDB.乔=2 衍 G A&<2 EbD AB = CDSi4在同圆或等圆中，如果门，则AB与CD的关系是()C . AB：2CD D . AB=CDAB的距离为4,则O O的直径的长为()A. AB 2CD B . AB =2CD5在O O中，圆心角 AOB =90，点O到弦6在同圆或等圆中，若的长度='八的长度,则下列说法正确的个数是()匸的度数等于 皿；"所对的圆心角等于口所对的圆心角；和匸口是等弧

29、；A . 4 . 2 B . 8、2 C . 24 D . 16，l 所对的弦心距等于 丄口所对的弦心距。C. 3个7在O O中，两弦AB : CD , OM , ON分别为这两条弦的弦心距，贝U OM , ON的关系 是（）A. OM ON B. OM =0N C. OM ： ON D无法确定8如图，在两半径不同的同心圆中，.AOB =/AOB"=：6O，则（）C.二的度数八的度数 D J二的长度 的长度答案:1、D ;2、A ;3. B 4. C 5. B 6. D7. A 8. C填空题1、已知弦AB把圆周分成1: 5的两部分,这弦 AB所对应的圆心角的度数为2、在O O中，的度数240 °，则一的长是圆周的3、已知：O O的半径为4cm,1AB所对的劣弧为圆的 一，则弦AB的长为3cm,AB的弦心距为cm.4、如图，在O O中，AB / CD,为5、如图在BOC=(A) 140ABC)(C) 130°(B)(D)6.已知O O的半径为C中,''的度数为 45 °，则/ C