附加题速成教材2

1、高三理科班数学附加题速成教材（一）基础知识 参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，。2.常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：正弦定理，；（2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；3.参数方程：（1）圆的参数方程： （2）椭圆的参数方程：（3）直线过点M,倾斜角为的参数方程：即， 即注：，据锐角三角函数定义， 的几何意义是有向线段的数量；如：将参数方程为参数化为普通方程为 将代入即可，但是；如：直线为参数被圆截得的弦长为_ 直线为，弦长.4. 极坐标和直角坐标互化公式： 或，的象限

2、由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合. （2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5. 极坐标的几个注意点：（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点) 如：已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点， 以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。 答案：（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为。 （1）将上述曲线方程化为普通方程； （2）若点是该曲线上任意点，求的取值范围。 （二）基本计算1.求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径

3、，叫极角； 如：点的直角坐标是，则点的极坐标为 提示：都是点的极坐标.2. 求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式； （4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。 如：长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为， 求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角坐标方程.解：设点的极坐标为，则，且， ，点的轨迹的极坐标方程为.由可得，其直角坐标方程为.3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回

4、方程代入法(相关点法或转移法). 如：从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程. 解:设所求曲线上的动点的极坐标为, 圆上的动点的极坐标为由题设可知, 将其代入圆的方程得:.定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；几何意义是有向线段的数量；如：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于A B两点，则AB最小值为 答案：提示：设倾斜角为，则或AB=， 则， 令， 所以， 注

5、意：本题可以取倾斜角的补角为 5.参数方程的应用-求最值： 如：已知点是圆上的动点，（1） 求的取值范围；（2） 若恒成立，求实数的取值范围。答案（1）. （2） .如：在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，此时所求点为.典型例题1O1和O2的极坐标方程分别为（1）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解（1）O1的直角坐标方程为；O2的直角坐标方程为（2）2求直线被圆截得的弦长解 23在极坐标系中，直线的方程为，求点到直线的距离解 2说明 设计极坐标的问题，一般采取首先将极坐标转化为直角坐标，得出结论后再转化为极坐标4已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和C的位置关系解（1）直线的普通方程为；C的直角坐标方程为（2）直线和C相交5已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求点，到直线的距离之和.解（1）直线普通方程为；曲线的普通方程为 （2）6已知M椭圆（a>b>0）上在第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值。解说明 重点掌握极坐标方程与直角坐标方程