第二章系统的数学模型ppt课件

1、第二章 系统的数学模型本章内容提纲2.0 基本概念基本概念2.1 系统的微分方程系统的微分方程2.2 Laplace 变换与反变换变换与反变换2.3 系统的传递函数系统的传递函数2.4 系统的传递函数方框图及其简化系统的传递函数方框图及其简化2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数2.6 相似原理相似原理2.7 系统的状态空间模型系统的状态空间模型2.8 数学模型的数学模型的Matlab描述描述2.0 2.0 基本概念基本概念1)1)建立数学模型的意义建立数学模型的意义(1)(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性可定性地了解系统的工作原理及其特性; ;(2)(2)更能定量地描述系

2、统的动态性能更能定量地描述系统的动态性能; ;(3)(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。间的关系。2)2)系统数学模型的形式系统数学模型的形式（1 1最基本形式是微分方程最基本形式是微分方程, ,它在时域中描述系它在时域中描述系统统( (或元件或元件) )动态特性；动态特性；（2 2传递函数形式，它极有利于对系统在复数传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合域及频域进行深入的研究、分析与综合 。3) 3) 数学模型的建立方法数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法建立系统数学模型有两种方法：

3、分析法和实验法, ,本章仅本章仅就分析法进行讨论。就分析法进行讨论。(1)(1)分析法分析法: :根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。学表达式，从而建立数学模型。(2)(2)实验法实验法: :对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。据，拟合出比较接近实际系统的数学模型。 4) 4)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程 如果系数如果系数 均为常数，均

4、为常数，则式则式(2-1)(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属应的动态系统称为线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重点。于这一类，这是我们研究的重点。 假设假设 是时间是时间t t的函数，则该方程为线性时变的，相的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系应的系统也称为线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重

5、力也在飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。发生变化。 ()( )( ).1010( )( )( )( )( ) 2.0.1mnnooomiiia xta x ta x tb xtb x tb x t (0,1,2, ),(0,1,2,)ija in bjm,ijab假设假设 中有系数依赖于中有系数依赖于 或它们的导函或它们的导函数，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为数，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为非线性系统，下面模型非线性系统，下面模型是非线性的。是非线性的。 , ija b( ),( )ix tx t2( )( )( )( )( )ooooixtxtxtx

6、txt 线性及非线性是系统本线性及非线性是系统本身的固有特性。身的固有特性。 线性系统最重要的特性线性系统最重要的特性是满足叠加原理。是满足叠加原理。2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程一用分析法解析法列写微分方程的一般方法一用分析法解析法列写微分方程的一般方法(1)(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；是输出量；(2)(2)进行适当的简化，忽略次要因素；进行适当的简化，忽略次要因素；(3) (3) 从系统的输入端开始，按照信

7、号的传递顺序，根据从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；注意：负载效应，非线性项个环节的动态微分方程；注意：负载效应，非线性项的线性化。的线性化。(4)(4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；程；(5)(5)标准化。整理所得微分方程，标准化。整理所得微分方程，输出量降幂排列输入量降幂排列输出量降幂排列输入量降幂排列一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项

8、放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。 例例2.1 2.1 图示为图示为RCRC电路串联滤波网电路串联滤波网络，试写出以输出电压和输络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的入电压为变量的滤波网络的微分方程。微分方程。 解：列写系统微分方程解：列写系统微分方程输入输入: :电压电压 输出输出: :电压电压 中间变量中间变量简化简化根据基尔霍夫定律，可写出下列根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式：原始方程式：1, 2i i2u1u222122111()i Ri dtiidtCC2221i dtuC (4) (4)消去中间变量消去中间变量 2

9、221122112212212()(2.1.1)d uduR C R CR CR CR Cuudtdt1112111()i RiidtuC式式2.1.12.1.1就是系统的微分方程。就是系统的微分方程。 注意n虽然电路又两个虽然电路又两个RC电路所组成，但不能把它看作两个电路所组成，但不能把它看作两个独立的独立的RC电路的连接。因为第二级电路的电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响第要影响第一级电路的一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种后一，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必级对前一级的影响叫做负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件

10、作为整体加以考虑。须把全部元件作为整体加以考虑。n本例如果不考虑负载效应时，有：本例如果不考虑负载效应时，有：n第一级：第一级：n第二级：第二级：n消去中间变量得到：消去中间变量得到：n显然与前面得到的结果不同。显然与前面得到的结果不同。 例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中为 电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。 auLMauLMaiM (1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变

11、量 ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即 式中， 为反电势常数。这样2.1.5式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为aadadiLi Reudt(2.1.5)(2.1.5)ddekaadadiLi RkudtLdJMMdt(2.1.6)(2.1.6)(2.1.7)(2.1.7)deaLuM、adie、dk 式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数（3消除中间变量将2.1.8式代入2.1.7式得上式略去了与

12、转速成正比的阻尼力矩。应用2.1.6式和2.1.9式消去中间变量ia，可得令 ，则上式为 式2.1.11即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。m aMk i(2.1.8)m aLdJk iMdt(2.1.9)221LaLdmdmddmdmdMddLJRJLRuMk kk kkk kk kdtdtdt (2.1.10),(),1,admmddmmL RT RJk kTkC TJC22LammdamamLdMddT TTC uC TC Mdtdtdt (2.1.11)二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程

13、实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有 这就是系统的稳态。 damLC uC M（2.1.122.1.12） 0aauu0LLMM0000damLC uC M（2.1.13）n （2系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为：n 则式2.1.11可记为：n 考虑到 ，上式可变为n 2.14 为在某一平衡状态附近的增量化表示。与式2.11不同的是将变量的原点设在平衡点上，把初始条件变为零，求解及分析时方便了许多。n 000damLC

14、 uC M22LammdamamLd MddT TTCuC TCMdtdtdt (2.1.14)(2.1.14)20000002()()()()()()LLa mmdaam amLLddd MMTTTC uuCTC MMdtdtdt0aaauuu0LLLMMM0三非线性微分方程的线性化三非线性微分方程的线性化 某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。下图是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。 (1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系 mycyAppq、qAy( , )q

15、q x p(2.1.15)(2.1.15) (2.1.16) (2.1.17) (2.1.17)（3线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有： 式中 那么(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故2.1.19可以写为0000( , )(,)()()oox xx xppppqqqq x pq xpxpxp (2.1.18)(2.1.18)0 xxx 0ppp qcqKxKp (2.1.19)00(,)0q xp00 x 00p ,qxpqcqK xK p (2.1.20)0000 (

16、); ()qx xcx xppppqqKKxp 其中 （4消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：1()qcpK xqK2()qccAKAmycyxKK(2.1.21)(2.1.21)(2.1.22)(2.1.22) 图图2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者线性关系三者线性关系 小偏差线性化时要注意以下几点：小偏差线性化时要注意以下几点： （1必须明确系统工作点，因为不同的工作必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零预定工作点的值均为零 （2如果变量在较大范围内

17、变化，则用这种如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。小。 （3如果非线性函数是不连续的即非线性如果非线性函数是不连续的即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化这类非到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化这类非线性称为本质非线性。线性称为本质非线性。 （4线性化后的微分方程是以增量为

18、基础的增线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。量方程。 2.2 拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 时域 f(t) 称为原函数，复频域 F(s) 称为象函数拉氏变换基本定理线性定理 终值定理初值定理dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()()()()()(22112211sFasFatfatfaL)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfstn微分定理n n积分定理 )0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdLsfssFd

19、ttfL)0()()(1sfsfssFdttfL)0()0()()(2212常用拉普拉斯变换 拉氏反变换拉氏反变换定义：定义：求法：求法：F(s)F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式： F(s)F(s)中具有不同的极点时，可展开为中具有不同的极点时，可展开为原函数为：原函数为：11 ( )( )( )2jstjLF sf tF s e dsj )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()( nitsiiektf1)(用拉氏变换解线性常微分方程步骤：1.将系统的微分方程进行

20、拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程；2.解变换方程，求出系统输出变量的象函数的表达式；3.将输出变量的象函数表达式展开成部分分式；4.对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的全解。222222( )56 ( )6 (0)2, (0)2, ( ). 6( )(0)(0)5( )(0)6( )(0)2, (0)22126154( )(56)23( )1 5td x tdxx tdtdtxxx ts X ssxxsX sxX ssxxssX ss sssssx te 并设求系统的输出解 对微分方程进行拉氏变换得将代入上式，并整理得对上式拉氏反变换，得 34te例：已知系统的微分方程 传

21、递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传递函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计算工作量。2.传递函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计. 一. 定义 输入、输出的初始条件为零，线性定常系统环节或元件的输出 的Laplace变换 与输入 的Laplace变换 之比，称为该系统环节或元件的传递函数G(S)。( )ix t0( )Xs0( )x t( )iX s2.3 系统的传递函数系统的传递函数 数学说明：线性定常系统微分方程如下： 输入、输出的初始条件均为零时，作Laplace变换可得： 由定义可得： 将式2.2.3画成方框图，如图

22、2.2.1所示。 图2.2.1 系统框图 那么： ( 2.2.4)1111011011()( )() ( ),nnmmnnomminnmmddddddaaaa x tbbbb x tdtdtdtdtdtdt(2.2.1)(2.2.1)111100110()( )()( )nnmmnnmmia sasa saXsb sbsbsbX s(2.2.2)110101110( )( )( ),. ( )( )mmmmsnniinnsL x tb sbsbbXsG snmL x tX sa sasaa(2.2.3)( )G s( )iX s( )oXs( )( )( )iXsG s X s二二. .传递函

23、数的特点传递函数的特点n传递函数是关于副变量s的复变函数；n传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函数的分子反映系统与外界的联系；n当输入确定时，系统的输出完全取决于系统的传递函数n （零初始条件）n物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数相似系统）。)()()()(11sXsGLsXLtxioo三三. .零点、极点和放大系数零点、极点和放大系数 G(s)因式分解： K为常数当 时，均能使Gs）=0,故称 为G(s)的零点。当 时，均能使Gs取极值： 故称 为G(s)的极点 1.G(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一

24、致的，极点即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。1212()().()( )( ),( )()().()mink szszszX sG snmX sspspsp(1,2,.,)jszjm(1,2,.,)jzjm(1,2,., )isp inlim( )ispG s (1,2,., )ip in 放大系数是系统稳态时输出与输入之比。当输入为单位阶跃函数 由终值定理可求得系统稳态输出为： G(0)分别由定义及分解式得： 放大系数为G(0) ，它由微分方程的常数项决定。 系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉

25、氏反变换求得。( )1ix t ( )1/iX ss则有000lim( )lim( )lim( )( )lim( )(0)ooitsssx tsXssG s X sG sG001212()().()(0)()().()bmankzzzGppp例例 求系统的传递函数求系统的传递函数 解：列写系统微分方程解：列写系统微分方程输入输入: :电压电压 输出输出: :电压电压 列写微分方程列写微分方程零初始条件下，拉氏变换零初始条件下，拉氏变换消中间变量，并整理消中间变量，并整理2u1u四典型环节的传递函数四典型环节的传递函数典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，典型环节：比例环节、惯性环节

26、、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。成。 下面介绍这些环节的传递函数及其推导：下面介绍这些环节的传递函数及其推导： 1比例环节或称放大环节，无惯性环节，零阶环节）输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节称为比例环节，其动力学方程为：称为比例环节，其动力学方程为：K K为环节的放大系数或增益。其传递函数为：为环节的放大系数或增益。其传递函数为：( )( ),ix tkx t( )( ).( )iX sG sKX s （2.2.52.2.5） 运算放大器齿轮传动副例如 2. 2

27、.惯性环节或一阶惯性环节）惯性环节或一阶惯性环节） 动力学方程为一阶微分方程动力学方程为一阶微分方程 的环节为惯性环节，其传递函数为：的环节为惯性环节，其传递函数为： 式中，式中，K K为放大系数；为放大系数；T T为惯性环节时间常数，惯性环节为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图的方框图如图2.2.42.2.4所示。所示。特点：存在储能与耗能元件；在阶跃输入下，系统不能立特点：存在储能与耗能元件；在阶跃输入下，系统不能立即达到稳态值即达到稳态值例如：无源滤波电路；弹簧例如：无源滤波电路；弹簧- -阻尼系统；阻尼系统；iTxxKx( ),1KG sTs（2.2.62.2.6） 图2.2.4惯

28、性环节3 3微分环节微分环节 具有输出正比于输入的微分，即具有 的环节称为微分环节，显然，其传递函数为： 式中，T为微分环节的时间常数，微分环节的方框图如图2.2.7所示( )( )oix tTx t( )( )( )oiXsG sTsX s（2.2.72.2.7）图2.2.7微分环节其控制作用：使输其控制作用：使输出提前；增加系统出提前；增加系统阻尼；强化噪声的阻尼；强化噪声的作用。作用。4.积分环节 具有输出正比于输入对时间的积分，即具有 的环节称为积分环节，显然，其传递函数为： 式中，T为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图2.3.13所示。特点：输出累加特性；输出的滞后作用；记忆功能。1( )( )oix tx t dtT( )1( )( )oiXsG sX sTs图2.2.13 积分环节（2.2.82.2.8） 5.5.振荡环节或称二阶振荡环节）振荡环节或称二阶振荡环节） 振荡环节是二阶环节，其传递函数为： 或写成 为无阻尼固有频率；T为振荡环节的时间常数， 为阻尼比。方框图见图2.2.17。 阶跃输入时，输出有两种情况： （1当01G s G s H s1|( )( )|1G s H s22oN12121( )( )X( )N(s)N(s)1( )( )( )( )( )( )1