第3章 静定梁和静定平面刚架

1、第一节单跨静定梁计算工程中常见的由单个杆件构成的静定梁有简支梁、伸臂梁和悬臂梁三种型式。因其受力分析是多跨梁和刚架等结构受力分析的基础，故有必要在本节中加以叙述，使读者熟练掌握单个杆件的内力分析方法。以便于进步结合几何组成分析去研究杆件结构的内力计算。(a)(b)(c)图3-1一、用截面法求指定截面的内力在平面杆件的任一截面上，一般有三个内力分量：轴力FN，剪力FQ，弯矩M。计算杆件内力的基本方法是截面法，即将杆件沿拟求内力的截面切开，取截面以左(或以右)部分为研究对象(称为隔离体)。此时，截面上的内力就转化为所取隔离体上的外力，它与该隔离体上的其它外力(包括荷载和约束力)构成一个平面平衡力系

2、，当该隔离体的约束力为已知时。则此指定截面上的内力就可由隔离体的平衡条件确定。梁的内力符号规定如下：轴力以拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转为正，对常用的水平梁弯矩以使梁的下边纤维受拉为正。下面举例说明用截面法求内力的方法和应注意的事项。图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支架。试求截面C处左、右两截面的内力。（1）计算梁的支座反力(a)(c)LMByåF=0:åMB=0:åF=0:xyFAx=60kN(¬)FAy=40kN(­)FBy=40kN(­)（2）计算点C左右截面的内力L NC(b)LFNC=60kNFLLMFQ=40kN

3、C=80kN×mC40kNRFNC=0FRQC=-40kNM=80kN×mRC退出图3-2二、内力图形状特征FNAFNB若x轴以向右为正，y轴以向下为正取梁段AB中的微段为隔离体，由静力平衡条件可得：dFQdx=-qdFN=-pdx(a)FQNQ+dFQdM=FQ-mdxdM=-q2dx2(b)图3-3上述微分关系的几何意义：(1)轴力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度q，但二者正负号相反。(2)剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度p，但二者正负号相反。(3)弯矩图在某点的切线斜率等于该点的剪力与均布力偶集度之差。(4)弯矩图在某点的二阶导数(斜率的变化率)等于该点的

4、荷载集度q，但二者正负号相反。退出由上可归纳得到一般荷载作用下直杆内力图的形状特征如下：(1) 在p=0 的区段，FN图为水平线，但在p为非零常数的区段，FN图为斜直线。(2)在q=0的区段，FQ图为水平线，M图为斜直线。(3) 在q为非零常数的区段，FQ图为斜直线，M图为二次抛物线，当荷载向下时，M曲线向下凸。当荷载为集中荷载时，在集中荷载处的内力增量关系为M+dMNFQ+dFQFQDFN=-FPxDFQ=-FPyDM=-M0图3-4退出由上可归纳得到集中荷载作用下直杆内力图的形状特征如下：(1)当只有水平集中力FPx 时，集中力作用点两侧截面轴力有突变，其突变数值等于集中力大小。但剪力、弯

5、矩是连续的。(2)当只有竖向集中力FPy时，集中力作用点两侧截面剪力有突变，其突变数值等于集中力大小。但轴力、弯矩是连续的。(3)当只有竖向集中力偶M0时，集中力偶作用点两侧截面弯矩有突变，其突变数值等于集中力偶大小。但剪力、轴力是连续的。例题(a)q(bFPblFQ图FPal图3-5图M图Pl退出8M图M图(b)(a)图3-6(a)FPlM图FPlFP(b)FPlFPlM图退出图3-7三、用“拟简支梁法”绘弯矩图均布荷载作用区段应用截面法计算各控制截面的弯矩，如计算得到MJK和MKJ，下面绘制JK段的弯矩图。MFMKJMFKJMFKJqF+拟简支梁退出图3-8MFKJMKJJMJKKMKJM

6、KJJ+FKy2=FMJK8K退出8图3-9集中荷载作用区段应用截面法计算各控制截面的弯矩，如计算得到MJK和MKJ，下面绘制JK段的弯矩图。MKJMJKJFQJK=FQKJ图3-10退出拟简支梁MMJKMKJK图3-11退出例3-1: 试绘制图示简支梁的内力图。（1）计算梁的支座反力(aFAy(b)A(c)By=50kNåF=0:åMB=0:åF=0:xyFAx=0FAy=70kN(­)FBy=50kN(­)（2）作剪力图BFQ图（单位kN）FQAC=FAy=70kNFQDB=-FBy=-50kNFQCA=FQCD=-10kNM图（单位kN.

7、m）（3）作弯矩图11122.5120MAC=MBD=0MCA=MCD=120kN×mMDC=MDB=100kN×m退出图3-12例3-2: 试绘制图示简支梁的弯矩图。qql22(a) 结构及荷载M1M1ql2/32M1ql2/16ql2/16ql2/32退出M2M2(b) M1和M2作用(c) q作用ql2/43ql2/4M2(d) ql2作用图3-13四、斜梁的内力计算计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的法向、切向投影。工程中，斜梁和斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。(a)图

8、3-14退出斜梁受均布荷载时有两种表示方法：（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用q表示。（2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用q表示。退出q与q间的转换关系：Qqdx=q¢dsq=q¢cosa 图3-15例3-3试绘制图示斜梁内力图。q(a)By(b)qql2Nn图3-16qlq2M=x-x(0£x£l)22qlFQ=(-qx)cosa(0£x£l)2qlFN=-(-qx)sina(0£x£l)2退出M图8ql2FQ图=sina FN图qlcosa22图3-17退出第二节多跨静定梁的计算多

9、跨静定梁是由若干根梁用铰联接而成的静定结构，它常用来跨越几个相连的跨度，除了在桥梁上较常采用这种结构型式外，房屋建筑中的檩条有时也采用这种形式。引道板木檩条屋架上弦退出图3-18一、多跨静定梁的特征(1)多跨静定梁的几何组成特点从多跨静定梁的几何组成来看，它的各个部分可以区分为基本部分和附属部分。其中不依赖于其它部分的存在，独立地与基础组成几何不变并能独立承担荷载的部分称为基本部分；而需依靠基本部分才能保持其几何不变性的部分，故称为附属部分。(a) 仅一个基本部分(b) 竖向荷载下二个基本部分(c) 中间一个基本部分(d) 竖向荷载下二个基本部分图3-19退出(2)多跨静定梁的静力学特点当荷载

10、作用在基本部分时，附属部分的内力与反力为零，但仍存在牵连变形及位移。FFy=0当荷载作用在附属部分时，基本部分的同样仍承受内力与反力。退出图3-21二、多跨静定梁的解题思路与过程从多跨静定梁的组成可知，其部件都是单跨梁，因此，只要注意部件间的相互作用和反作用关系，根据各单跨梁所受荷载和单跨梁作内力图的知识，按组成相反顺序：“先附属部分，后基本部分”。先求支座反力和支座截面控制弯矩，然后用内力图形状特征及等效简支梁方法即可作出多跨静定梁的内力图。退出三、多跨静定梁的计算示例例3-4 试作图示多跨静定梁的内力图。(a)原结构基本部分(b)ABCFDEG层叠图附属部分附属部分(f)(c)附属部分MA

11、FAxFAy20(g)A2020G5 M图（单位kN.m)FBCDE(h)10+10+ F图QABCD_10EF_G10（单位kN)图3-24退出例3-5 图示三跨静定粱，全长承受集度为q的均布荷载，各跨跨度均为l，试调整铰C、D的位置，使AB跨及EF跨的跨中截面正弯矩与支座B、E处的负弯矩的绝对值相等。(a)AB跨跨中截面G的正弯矩qql2MBMG=-82按题意(b)MG=MB故有ql(c)G2qlM=12B2ME=ql2MB2ql2=12于是有qx(l-x)ql2=2123-3x=l=0.2113l退出图3-25例3-6试作图示多跨静定梁的内力图。(a) 结构及所受荷载(b) “先附属、后

12、基本”求反力6(c) 由控制弯矩和微分关系作弯矩图(d) 由控制剪力作剪力图退出图3-26第三节静定平面刚架计算刚架常由梁和柱互相刚接而组成，它的优点是把梁柱形成一个刚性整体，增大了结构的刚度并使内力分布比较均匀。此外，它还具有较大的净空便于使用。刚架也称框架，是工程中最常见的结构形式之一，一般都是超静定的。但也有如下图所示的雨棚中所用的悬臂刚架和小型厂房所用的三铰刚架等。(a)(b)(a)(b)图3-27退出雨棚图3-28小型厂房静定平面刚架按组成方式有“简单刚架”、“三铰刚架”和具有“基本-附属关系”的主从刚架，分别如下图所示简支刚架悬臂刚架其他刚架图3-29简单刚架退出图3-30三铰刚架

13、图3-31退出主从刚架一、简单刚架的计算关于刚架的受力分析，一般先求得刚架的支座反力和约束力，再计算刚架内力，其基本方法仍是截面法，而绘制刚架内力图的方法则以绘制单根直杆内力图的方法为基础。刚架的内力符号规定如下：轴力以拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转为正，弯矩以使杆件的内侧边纤维受拉为正。下面结合具体示例加以说明。（1）计算刚架的支座反力åF=0:åMo=0:åF=0:xyFAx=80kN(¬)FAy=-20kN(¯)FBy=60kN(­)（2）计算杆端内力将刚架分为二个杆件，退出图3-32(a)FQBAF(b)60kN图3-3

14、3BD杆AB杆MAB=0MBA=160kN×mMBD=160kN×mMDB=0FQAB=80kNFNAB=20kN退出FQBA=0FNBA=20kNFQBD=-20kNFNBD=0FQDB=-60kNFNBD=0（3）作内力图以绘制单根直杆内力图的方法为基础绘制刚架内力图。(b)(c)退出例3-7 试作图示刚架的内力图。By（1）计算刚架的支座反力åF=0:åMA=0:åF=0:xyFAx=-40kN(¬)FBy=10kN(­)FBy=-10kN(¯)退出（2）计算杆端内力：将刚架分为三个杆件，按下图所画隔离体计算

15、其杆端内力如下：图3-35FQCAMNCDQDCFMQDB(a)(c)(d)(b)图3-36AC杆CD杆BD杆FQAC=40kNFQCD=-10kNFNCD=40kNMBD=0FQBD=0FNBD=-10kNFQDB=-10´103´4=-40´103N=-40kNFNAC=10kNMAC=-40kN×mMCD=120kN×mFQCA=40kNFNCA=10kN退出FQDC=-10kNMDC=80kN×mFNDC=40kNFNDB=-10kNMDB=80kN×mMCA=120kN×m（3）作内力图(a)(b)(d4

16、0(c)退出图3-37例3-8 试作图示刚架的内力图。q=4kN/m（1）计算刚架的支座反力2kNåF=0:åMA=0:åF=0:xyFBx=2kN( )FBy=8.75kN( )FAy=7.25kN( )FAy=（2）先作M图先求杆端弯矩MAD=0MDA=-3kN×mMDB=MDA=-3kN×mMBD=0图3-38退出然后分别作各杆M图。（3）作FQ图杆件AD的杆端剪力极易得到为FQAC=0FQDC=-2kN杆件DB的杆端剪力可通过下图隔离体由力矩平衡条件得到为FNDBq=4kN/måMB=0315FQDB-3´10-&#

17、180;4´103´42=02FQDB=7´103N=7KNåMD=03FNDB15FQBD-3´10+´4´103´42=02FQBD=-58´10N=-5.8KN3退出72D+_CA_FQ图（单位 kN）5.8B图3-40（4）作FN图杆件AD的轴力为FNAD=-7.25kN为了计算杆BD两端的轴力，可分别取结点D和结点E为隔离体，应用投影平衡方程求解。设取杆BD的轴线为投影轴则由下图可得退出(a)(b)FNDB图3-41FNDB+2´103cosa-7.25´103sina=03

18、-28FNBD+2´103cosa+8.75´103sina=0FNBD=-2´103cosa-8.75´103sina=-2´103´0.8-8.75´103´0.63=-6.85´10N=-8.85kNFNDB=-2´103cosa+7.25´103sina=-2´103´0.8+7.25´103´0.6=2.75´103N=2.75kN2.75图3-42退出例3-9 试作图示刚架的弯矩图。(a)FPl(b)FPlFlFPl M图P

19、l退出F图3-43二、三铰刚架的计算三铰刚架是由两个简单刚架用三个铰组成的静定结构。因为杆轴都是直线，因此分析过程比较简单。关键在求反力：首先以整体为平衡对象，对底铰取矩；以部分为平衡对象时，对顶铰取矩，即可解决反力计算。三铰刚架的反力计算完成后，三铰刚架的计算即转化为两简单刚架的计算问题。下面给出了三铰刚架分析过程示例。退出例3-10 试作图示三铰刚架的内力图。8kN/m图3-44FBy（1）计算刚架的支座反力及约束反力åMåMB=0FAy=36kN(­)FBy=12kN(­)再取刚架右半部分BEC为隔离体，由下式åMC=0可得A=0

20、9;F退出x=0FAx=FBxFBx=11.077´103N=11.077kN(¬)åFx=0FCx=11.077kNåFy=0FCy=12kN（2）作M图图示三铰刚架可分为简单刚架ADC和简单刚架CEB分别进行计算，其杆端弯矩分别为MAD=0MDA=MDC=11.077´103´4.5=49.847´103N×m=49.847kN×mMCD=0MBE=0MCE=0MEB=MEC=11.077´103´4.5=49.847´103N×m=49.847kN×

21、m退出图3-45（3）作FQ图杆AD及杆BE的剪力为常数，分别为：FQAD=FQDA=-FAx=-11.077kNFQBE=FQEB=11.077kN斜杆DC的剪力为斜直线，可取如下隔离体，计算得到åM8kN/mFNDCNCD6.325FQDCC=03132-49.847´10-´8´10´6=02FQDC=30.648´103N=30.648kNåM6.325FQDCD=01+´8´103´62-49.847´103=02FQCD=-14.886´103N=-14.886k

22、N同理可得图3-46退出FQEC=FQCE=-7.881kN（4）作FN图杆AD及杆BE的剪力为常数，分别为：FNAD=FNDA=-36kNFNBE=FNEB=-12kN杆CD的杆端轴力及杆CE的轴力可通过取结点D、杆件CD和铰C为隔离体由静力平衡条件来计算。退出(a)sina=cosa=(b8kN/mNCDFNDCFNDCa1333åFx=0FNCD-FNDC-8´103´6sina=0FNDCcosa+30.648´10sina+11.077´10=0FNDC=-21.892kNFNCD=-6.731kN(c)FNEC=-14.303kNF

23、NCE=-14.303kN图3-48退出36图3-49退出12例3-11 试作图示三铰刚架的弯矩图。(a)(b)F4cosa=5sina=35图3-50（1）计算刚架的支座反力及约束反力åMåM退出A¢B¢=0=0FB¢y=1kN(­)FA¢y=3kN(­)åFx=0FA¢x=FB¢x16m3F再取刚架右半部分CHB为隔离体，由下式=0可得5FB¢x-4FB¢y=03故有FB¢x=2.4kN(¬)于是有FA¢x=2.4kN(®)根据静力等效原则，可建立结点A及结点B的静力等效方程分别为FNEDsina=FA¢xFNED=4kNFAy-FNEDcosa=FA¢yFNFDsi