第8讲多元函数积分学

1、第八章 多元函数积分学§1 曲线积分 曲面积分 重积分I 基本概念与主要结论一 曲线积分1第一型曲线积分的定义背景：求空间某一曲线段物体的质量定义1 设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数，对曲线作分割，它把分成个可求长的小曲线段（），的弧长记为，分割的细度，在上任取一点（）若极限且的值与及点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作第一型曲线积分具有与定积分完全类似的性质2 第一型曲线积分的计算定理1 设有光滑曲线：，函数为定义在上的连续函数，则注1 当曲线方程为，则有注2 当曲线为空间曲线：，则有3 第二型曲线积分的定义背景：变力做功定义2 设函数、定义在平面有向可

2、求长度曲线：上，对的任一分割，它把分成个小曲线段：（），其中，记各小曲线段的弧长为，分割的细度，又设的分点的坐标为，并记，（）在每个小曲线段上任取一点，若极限存在且与分割及点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分，记为或 （1）若为封闭曲线，则记为若记，则（1）式可写为注1 同理可定义空间曲线上的第二型曲线积分；注2 第二型曲线积分与曲线的方向有关；注3 第二型曲线积分关于函数和积分区域的具有线性可加性4 第二型曲线积分计算定理2 设有光滑曲线：，且，的坐标分别为与，又设、为上的连续函数，则沿从到的第二型曲线积分为二 曲面积分1 第一型曲面积分的定义背景：求曲面块的重量定义

3、3 设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数对曲面作出分割，它把分成个小曲面块（），以记小曲面块的面积，分割的细度，在上任取一点（），若极限存在且与分割及（）的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作特别地，当时，（面积）2 第一型曲面积分的计算定理3 设有光滑曲面：，为上的连续函数，则定理4 若光滑曲面由参数方程给出：为上的连续函数，则，其中，这里还要求Jacobi行列式中至少有一个不等于零。3 第二型曲面积分的定义定义4 设为定义在双侧曲面上的函数，在所指定的一侧作分割，它把分成个小曲面，分割的细度，以、分别表示在、和坐标平面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定如的法线正

4、向与轴正向成锐角时，在平面投影区域的面积为正，反之为负在各个小曲面上任取一点，若存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数在曲面的指定的一侧上的第二型曲面积分，记作 （1）若以表示的另一侧，则此外，（1）式可表为4第二型曲面积分的计算计算定理5 设是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线与轴成锐角），则有定理6若光滑曲面由参数方程给出：为上的连续函数，若在上各点它们的Jacobi行列式不同时为零，则分别有，其中正负号分别对应曲面的两个侧：当平面的正方向对应于曲面所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号。三 重积分1 二重积分的定义背景：曲顶柱体的体积定义5 设为平

5、面上可求面积的有界闭区域，为定义在上的函数，用任意曲线把分成个可求面积的小区域，以表示小区域的面积这些小区域构成的一个分割，以表示的直径，为的细度，在每个上任取一点，作和式称为在上属于分割的一个积分和，记为若，且与及的选取无关，则称在上可积，称为在上的二重积分，记为注：二重积分具有与定积分完全类似的性质，且在可积情形下，可选取特殊分割，如平行于坐标轴的直线网分割，则，因此，通常情形下，二重积分常记为2 二重积分的计算定理7 设在上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且关于另一累次积分有相同的结论特别地，当为上连续函数时，则有定义6 称平面点集为型区域；称平面点集为型区域定理8 设在型区

6、域上连续，其中、在上连续，则在型区域上有类似的结果3 二重积分的变量变换定理9 设在有界闭区域上可积，变换：，将平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，则 特别地，对于极坐标变换：，因此有4三重积分的定义背景：空间几何体的质量定义6 设为定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的常数。若，使得对于的任何分割，只要，属于分割的所有积分和都有，则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作， 或 。三重积分和二重积分一样，可建立类似的可积准则和类似的积分性质，这里不再叙述。事实上，定积分，第一型曲线，第一型曲

7、面积分和重积分都可化归为“分割，求和，取极限”，因此它们都是属于同一类型的积分，从而具有相同的积分可积准则和积分性质。5 三重积分的计算定理10 若函数在长方体上的三重积分存在，且对任何，二重积分，存在，其中，则积分，也存在，且。对于一般区域上的三重积分的计算，总是化为累次积分来计算，这时要根据积分区域的形状和被积函数的形式，灵活地采取不同的积分次序，通常情况下化为三次积分，但特别注意，有时化为先一后二或先二后一更简单，即化为以下两种形式：， （1）， （2）第一种情况是：首先将积分区域向轴投影，确定的变化范围；对给定区域内的任一值，积分区域的截面是规范图形（如圆，椭圆，矩形，三角形等）且积分

8、，易于计算；对于（2）式，往往是积分区域向平面的投影区域的面积很容易计算，而且积分，是常数。6 三重积分的变量替换设变换将空间中的区域一对一地映射成空间中的区域，并设函数，及它们的一阶偏导数在内连续，且函数行列式。则有。7 几个常用的坐标变换（1）柱面坐标变换：（2）球面坐标变换： （3）广义球坐标变换：，四 几类积分之间的联系1 两类曲线积分间的联系设为从到的有向光滑曲线，它以弧长为参数，即：，其中为曲线的全长，且，曲线上每一点的切线方向指向弧长增加的方向，以，分别表示切线方向与轴、轴正向的夹角，则在曲线每一点的切线的方向余弦是，若，为上的连续函数，则有 2 两类曲面积分之间的联系设为光滑曲

9、面，并以上侧为正，为上连续函数，曲面积分在的正侧进行，则，其中为曲面的正侧与轴正向的夹角一般地，其中为上的法线的方向余弦函数3 第二型曲线积分与重积分的关系（1）格林（Green）公式定理11 若函数，在闭区域上连续，且有连续的一阶偏函数，则，这里为区域的边界，并取正方向（2）曲线积分与路经的无关性定理12 设是单连通闭区域若，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则下列四个条件等价：10 对内任一按段光滑封闭曲线，有；20 对内任一按段光滑曲线，曲线积分只与的起点及终点有关，而与路线无关；30 是内某一函数的全微分，即在内有；40 在内处处有注：满足条件中的函数，称为。求原函数可用特殊路线4 第二

10、型曲线积分与第二型曲面积分的关系（Stokes公式）定理13 设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线若，在（连同）上连续，且具有一阶连续偏导数，则其中的侧与的方向按右手法则确定定理14 设为空间单连通区域函数、在上连续，且有一阶连续偏导数，则下列四个条件是等价的：（1）对于内任一按段光滑的封闭曲线有：；（2）对于内任一光滑（按段）的曲线上的曲线积分与路线无关；（3）是内某一函数的全微分；（4），在内处处成立5 第二型曲面积分与三重积分之间的联系（高斯公式Gauss）定理15 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成若函数，在上连续，且有一阶连续偏导数，则其中取外侧五、重积分的应用1 曲面的面积设为可求面积的平面有界区域，函数在上具有连续的一阶偏导数，则由方程，所确定的曲面的面积为，为曲面法向量与轴正向夹解的余弦若空间曲面是以参数方程，表示，