第二节 二重积分(极坐标部分的计算09-4-8

1、第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或（3）常见曲线的极坐标方程（从极点出发的射线）；（直线）；（圆）；（圆）；（圆）.2极坐标系中的面积元素. 见图知: .上式取，推出 .3用极坐标系计算二重积分. 其中: .证明： .4用二次累次积分公式计算二重积分(1)若(极点在外的极扇环),则. (2) 若(极点在边界上的极扇形),则.补图(3) 若(极点在内部的极扇形),则.例18 计算，其中是由中心在原

2、点，半径为的圆周所围成的闭区域.（此积分无法用实积分计算）.解: 令, 于是, 则.例19 计算积分 .()（与下题图形类似上半部）例20(1)(96.3) 累次积分可以写成(A) (B)(C) (D)答(D).因为积分区域的边界可以表示成且于是 故累次积分可写成或.(2),是圆域解区域可表示为,例21 化下列二重积分为极坐标形式（1）.（2）.（3）.（4）.5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .例22（1）(98.5) 设,求.解令,则.（2

3、）(00.6) 计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.解积分区域可表示为 ,于是,令，得 .（3）(03.8) 计算二重积分,其中积分区域 .解作极坐标变换令,则.令,则.记,由于,故解得.从而.（4）(04.8) 求,其中是由圆和所围成的平面区域(如图).解将积分区域分为大圆 , 与小圆之差.由对称性知 . ,（）所以 .（5）(05.9) 计算二重积分,其中.解将分成与两部分,其中,则 ，其中 ,故 .例（6）计算积分 ，为圆环与直线所围城的第一象限内的区域.解 ， .（7）(99.7) 计算二重积分,其中是由,以及曲线 所围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .令,则,.另解：设为

4、矩形区域，为半圆形区域；则；，.三、广义二重积分以下举例说明常见的广义二重积分例23 求,是整个平面.解：令,由于，当时,原积分收敛,且;而当时,原积分发散.例24证明，.（泊松积分），证明:因为.所以 .另证：设，且一方面 ；另一方面 由.证法三：设，.则由得，将上式取求极限得，即.例25(90.5) 计算二重积分,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.解积分区域可表示为，.例26 设 ，其中 ，求.解 ；.注意 ，在 上讨论：(1)当即时， ，所以 .(2)当即时，. 补图(3)当即时，.(4)当即时， ，所以 .综上所述 例27 (97.6) 设函数在上连续,且满足方程求.解 由于 ,所

5、以.令,有 ,于是,满足积分关系式 ,易知,将上式两端求导 ,这是一阶线性方程,由通解公式得,其中为任意常数,由,知,所以 .练习1.( ).(a) (b) (c) (d)答(d).因为积分区域为 ,积分区域还可以表示为 ,所以选(d).小结：1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，以简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化.2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用.3.1)若，则 2)若且，则4.极坐标形式计算二重积分的公式5.下列两种情况用极坐标计算简便.（1） 当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边（2） 界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为