第6章 常微分方程的数值解法课堂讲义

1、第六章 常微分方程的数值解法问题：一阶常微分方程初值问题 （6.1）其解析解记为 ，即例如： 其解析解为 。另如： 其解析解为 。上述2个例子，都是极其简单的情形，皆能用高数方法求出其解析解。但是，大多数实际问题中得到的常微分方程是复杂的，其解析解一般难以求出。在数值方法中，我们只能求得在的某些离散点上的近似值。具体如下：从出发，选取一个合适的步长，则的某些离散点为我们的目的是求出这些点上解析解的近似值这里的是已知的，且当作是准确的。求解这些的过程一般是步进式的，步进过程如下图所示：在公式推导之前，有必要把高数中函数的Taylor级数展开来复述一下，这是本章所有公式推导的基础。函数在点作Tay

2、lor级数展开：这里,都可以是任意一点。例如，若取为, 为，记，代入Taylor级数展开式可得： (6.2再如，若取为, 为，记，代入Taylor级数展开式可得： (6.3又如，若取为, 为,记，代入Taylor级数展开式可得：(6.4如果以上式子中代之以，则有 (6.2.1 (6.3.1等等，都是应用Taylor级数展开得到，这里不一一列举。注意到，一般地，对以上各式，随着的增大，累加式中后面的各项将越来越小；此外，如果取得比较小，譬如或或等等，则随着的增大也将越来越小。§6.1 Euler法1. Euler公式对问题(6.1，最基本的公式是Euler公式，它可以简单地由对(6.2

3、式的近似得到。设已经计算出，则 (6.5取的近似值 (6.6则从开始，取,就可步进地计算出；这就是著名的Euler公式。在(6.5式中，我们做了二次近似，第一次近似的误差，对照(6.2式，为这一部分误差叫做公式(6.6的局部截断误差。第二次近似，是由有误差引起的，对这一误差我们一般不好作准确估计。二次近似引起的总误差叫全局截断误差，即由(6.6式计算得到的近似的误差，它是由每步的局部截断误差在计算过程中不断向后传播与累积起来的，所以我们一般只需考察一个公式的局部截断误差大小。对一个已知公式，例如公式(6.6，我们常常以这样的过程来推导其局部截断误差：在公式(6.6中，设，这称之为局部性假定，则

4、再由公式(6.6来计算时的误差就是前面描述的公式(6.6的局部截断误差如果一个公式的局部截断误差为，则称该公式是阶的，或者说具有阶精度。故Euler公式只具有1阶精度。2. 后退的Euler公式由方程知 ，由(6.4式得： 取 (6.7这就是后退的Euler公式。在这一公式中，待求的包含在公式的右边，这样的公式称作隐式公式，而前面的Euler公式就是显式公式。直接使用隐式公式时，或者把从这一公式中显式地求解出来，或者通过迭代的方法来求解。但人们对隐式公式的使用经常是间接的，例如在后面的预估-校正系统中用作校正公式。3. 梯形公式(6.6 式和 (6.7式左右相加得则有 (6.8这一公式叫梯形公

5、式。可以验证梯形公式的精度是2阶的。那么为什么叫梯形公式呢？与数值积分中的梯形公式有什么联系？因为，故如果右边的积分项用梯形公式来近似计算，则取即为梯形公式。4. 改进的Euler公式（6.6）式和（6.8）式组合使用，则叫做改进的Euler法(或公式:前一个公式叫预估，后一个公式叫校正。理论和实践证明这样的组合使用能提高计算精度。5. Euler二步法( 6.2减去(6.3得：取即为Euler二步法(或公式。用这一公式计算时，起动时必须已知，。6. 一个比改进Euler法更复杂的组合公式这就是所谓的预估-改进-校正-改进系统。在改进Euler法中，用作预估的Euler公式是1阶精度，而梯形公

6、式是2阶精度，二者不是很相配。我们用同样具有二阶精度的Euler二步公式作为预估公式。则有作为预估的Euler二步公式的局部截断误差为 (6.9梯形公式的局部截断误差为 (6.10二式相除，有由此式可推导出下列2个误差事后估计式子：第一个式子表示的近似误差，第二个式子表示的近似误差，而误差可以通过等式右边式子事后计算出来，那么，我们如果把误差加进去，则有 这里的第二个式子中，因为此时的还没有计算出来，所以不得不用上一步的二者之间误差来近似，另外开始时取，即第一步计算时不做改进。此外公式起动计算之前还要用别的方法先算出。§6.2 线性多步法考察Euler公式，其步进式计算过程为 。再考

7、察Euler二步公式，其步进式计算过程为自然，我们可以想到，利用前面更多个值来计算。设取个，则步进式计算过程可表示为这里有二点说明，一是记，也是已知的；二是是未知的，如果在公式右边出现，则公式就是一个隐式公式。仿照Euler公式和Euler二步公式，取 (6.11显然，如果，则是显式公式，反之，是隐式公式，这类公式称之为Adams公式。现在，来确定待定系数和，使公式(6.11是一个阶公式。(6.11改写为 (6.12先作局部性假设，即设；，则由Taylor级数展开得代入(6.12，合并得要使公式为p阶，即局部截断误差为，则只要上式与的Taylor级数展开式中的前p+1项对应相同，即如果，即待定

8、系数个数小于方程个数，则事先确定其中个系数后，解出其它系数（这让我们有可能找到稳定性较好的公式）。公式起动计算时，需要用其它方法先计算出。例1 确定下列公式中的待定系数，使公式具有3阶精度。解：我们可以代入以上一般公式来求解出。但这里，我们就用一般公式的推导过程，直接用Taylor级数展开的方法。先作局部性假定，即假设公式等式右边中所有及导数都是准确值：则 由于 欲使只需 即解得则有公式具有3阶精度，但可以进一步验证公式具有4阶精度，这一公式叫Simpson公式，即同样可以用数值积分的方法推导。例2 确定下列公式中的待定系数，使公式具有4阶精度：。解：可以用代入一般公式得到，或直接应用Tayl

9、or级数展开的方法可得7个待定系数，5个方程。取，则可解得则这是一个4阶Adams公式。至于选取，我们是希望所求公式有较好的稳定性。§6.3 Runge-Kutta（龙格-库塔）法1. 基本思想因为，则由微分中值定理知其中，如下图所示 因此 (其实，这就是Talor展开公式只取2项时的情形这里表示在区间上函数的平均斜率。在Euler公式中简单地取平均斜率。对改进Euler公式，可以改写为如下形式即取与2点上斜率的算术平均，而由来预测。那么还有没有其它更好的办法来近似计算平均斜率呢?2. 2阶Runge-Kutta法对照改正Euler法，在此，仍取为点的斜率，但取为在区间上某一点的斜率

10、，记这一点为即其中，即步长取为时的Euler公式。最后，取平均斜率 。则有如下的计算公式 (6.2.1进一步，确定3个待定系数，使公式具有2阶精度。我们同样使用Taylor级数展开的方法。方程，记为，则记 (二元函数Taylor展开，取前2项则 （由局部性假设）对照 欲使 只要在三个参数中自定一个，再用上式解出其余二个，则就是一个具体的Runge-Kutta法的2阶公式。故6.2.1是一簇公式。例如，取，则，此时所得公式就是改正的Euler公式。3. 3阶Runge-Kutta法在2阶Runge-Kutta法中，所取2点为 。在上再多取一点 ，这里记为这三点上函数的斜率，则取作为平均斜率。则可

11、设定下列形式的三阶公式确定待定参数，使公式具有3阶精度。这里的计算中用到二阶Runge-Kutta公式。类似2阶Runge-Kutta法，但是推导过程要复杂一些，最后可得只要给出7个参数中的2个，再由以上式子解出剩下的5个，就得到一个具体的3阶Runge-Kutta公式。故以上公式是一簇公式。下列公式是三阶公式中的一个典型例子：4. 4阶Runge-Kutta法4阶Runge-Kutta法的推导过程更加复杂，这里给出4阶的一个经典公式：因为是4阶公式，故其局部截断误差为。§4 一些计算例子例1 分别用Euler公式，改进的Euler公式，经典4阶Runge-Kutta公式计算一阶常微

12、分方程初值问题并与准备解比较。解：Euler公式, 改进的Euler公式取步长, 经典4阶Runge-Kutta公式取步长。Euler公式：改进的Euler公式：4阶Runge-Kutta公式：计算结果见下表：XEuler公式改进Euler公式4阶R-K公式准确值0.01.00001.00001.00001.00000.11.10001.09591.09540.21.19181.18411.18321.18320.31.27741.26621.26490.41.35821.34341.34171.34160.51.43511.41641.41420.61.50901.48601.48331.48320.71.58031.55251.54920.81.64981.61531.61251.61250.91.71781.67821.67331.01.78481.73791.73211.7321对这一问题，4阶R-K公式的效果是很好的。§5 收敛性与稳定性的讨论§6 高阶常微分方程和方程组的数值求解§7 边值问题的数值求解练习题1 对，分别导出Euler公式和改进的Euler公式的近似解表达式，并与准确解相比较。2分别用Euler公式和改进的Euler公式求解取步长,并与准确解相比较。3分别用Euler公式和