第5节 动量定理及应用

1、第5节 动量定理及应用一 动量定理物体质量与运动速度的积称为动量。按牛顿定律，物体受到外力的作用，必然产生加速度，物体运动速度就要产生改变：即作用于物体的外力等于该物体在力作用方向上的动量改变率，称动量定理。用动量定理分析流体质点系统与接触它的周界之间的相互作用是比较方便的。所谓流体质点系统是所选定的控制界面内的流体质点的集合。流场中某确定的空间区域称控制体，这个区域的周界称为控制面(Control surface)。一旦选定之后，它的形状就不随流体的流动而改变。若控制体的位置相对坐标系是固定的，称固定控制体；否则称运动控制体。前者如一段固定安装的管道；后者如滑阀开启或关闭的过程，火箭升空过程

2、。控制体控制面(c)控制表面(b)瞬间(a)t瞬间图 4-13 固定控制体参看图4-13(a)，在时刻取控制体const，控制体内任意位置上的速度为，密度为，点质量为，则时刻动量为，经过时间，即在时，控制体内的流体运动到图4-13(b)中虚线位置；流体系统在时刻有三部分组成；(1) 时刻控制体内的所有质点（包括新流入控制体和尚留在控制体的部分）总动量；(2) 流出控制体表面（图4-13(c)、与外法线成角小于）的动量；(3) 流入控制体表面(与内法线成角小于)的动量。即在时刻，流体系统的动量为 (4.5-1)按动量定理对流体系统的作用力为 (4.5-2)其中在中，为控制体内任意一点的流速，在中

3、，A为控制表面，为矢量微面，为法线方向单位矢量，为表面出流速度。规定流出时为“”的原因是与外法线成锐角，流入为“”的原因是与内法线成锐角。对于定常流，控制体内各点流速仅为坐标的函数与时间t无关，即，则有 (4.5-3)即对流体的作用力等于流出和流入控制体表面的动量的代数和；或流出动量和流入动量之差。一维管流为常见的流动，对定常一维管流，取流动方向为自然坐标，则上式可简化为 (4.5-4)图 4-14 一维管流在向投影为 (4.5-5)二 动量定理的应用图4-15 变径弯管1 流体对弯管的作用力一维流变径弯管如图4-15所示，液体密度为，流量为Q，确定流体对弯管的作用力和。弯管承受的作用力有两部

4、分，其一为静压力，其二为动压力流体流动的动量变化引起的作用力，参看图4-16，将和面上的静压力和分解成向的分力，记弯管上与和相应的支撑力为和，按力平衡原理，则有 (a)图 4-16 弯管上的静压力按动量定理，弯管对流体作用力，而流体对弯管的作用力，故有 (b)联立式(a)和(b)则有 (c)图4-15中的弯管为一段变径弯管，特例情况如下：(a) ，；(b) ， ；(c) ，； (d) （水平管），；(e) ，读者可自行分析。2 射流对固体壁面的冲击力液体自管嘴喷出，形成射流；若不计重力，则作用在流体上的力，只有固体壁面对流体的阻力，其反作用力则为射流对固体壁面的作用力。如图4-17所示，射流自

5、断面的管嘴以水平速度射向与水平面成倾角为的平板后，分成两股，其动量分别为和。取射流为分离体，平板沿其法向对射流作用力为，射流所受的相对压力为零，按动量定理则有 (4.5-6)以平板法线方向为x轴方向，向右为正；上式各量在x轴上的投影为即 (4.5-7)射流对倾角平板（壁面）的冲击力；当，即射流垂直射向平板时，即为液流对平板的冲击力。 图 4-17 射流冲击平板 图 4-18 射流反推力若平面沿射流方向以速度移动时，则液流对平板的冲击力为 (4.5-8)参看图4-18，容器侧壁开有面积为的小孔，液体以速度自小孔泻出。设出流量甚小，在很短的时间内可看成定常流。则液体沿x轴（方向）的动量变化率为 (

6、4.5-9)按动量定理，这个量为容器对液体在x向的作用力；同时液体对容器的反作用力为 (4.5-10)如果容器可在向x向自由移动，由于的作用，容器将朝得把反方向运动，这就是射流的反推力。若容器上的压强不是大气压强，而是恒定的压力p，则小孔中流体速度。3 动量矩定理 动量矩定理在流体机械（如燃气轮机、水轮泵等）中得到广泛应用。动量矩定理可根据动量定理和矢量叉积运算理论导出。 在式（4.5-2）中，是作用在控制体上的外力（合力，矢量），是控制体内动量（矢量）对时间的变化率；是通过控制面的净动量（矢量）。式中，为任意的速度（矢量）。如果用表示该点在坐标系中的矢径，对式（4.5-2）作叉积运算，则有 （4.5-11）式中 即是控制面上合外力（矢量）对坐标原点的合力矩，用表示，对于稳定流，式（4.5-11）等号右侧第一项为零，则有 （4.5-12）其中 为流入面，为流出面，这就是常用于叶轮机的定常流动矩方程。 由于矢量叉积，的大小可表示为 （4.5-13）式中 矢量与流体质点的绝对速度所成的角。 这样式（4.5-13）可以改写为 （4.5-14）式中 流体流出控制体的半径，单位为m；流体流入控制体的半径，单位为m