北师大版九年级下册数学全册教案完整版教学设计

北师大版九年级下册数学全册教案完整版教学设计第一章直角三角形的边角关系1锐角三角形课时1正切1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．从现实情境中探索直角三角形的边角关系；理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比．用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：问题1：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗？问题2：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决．用多媒体演示如下内容：[师]梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)．(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？[生]梯子AB比梯子EF更陡．[师]你是如何判断的？[生]从图中很容易发现∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡．[生]我觉得是因为AC＝ED，所以只要比较BC，FD的长度即可知哪个梯子陡．BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡．[师]我们再来看一个问题(用多媒体演示)(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？[师]我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了．能不能从第(1)问中得到什么启示呢？[生]在第(1)问的图形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平宽度BC和FD不一样长，由此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大，梯子应该越陡．[师]这位同学的想法很好，的确如此，在第(2)问的图中，哪个梯子更陡，应该从梯子AB和EF的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断．那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡呢？[生]eq\f(AC,BC)＝eq\f(4,1.5)＝eq\f(8,3)，eq\f(ED,FD)＝eq\f(3.5,1.3)＝eq\f(35,13).∵eq\f(8,3)<eq\f(35,13)，∴梯子EF比梯子AB更陡．想一想：如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？(2)eq\f(B1C1,AC1)和eq\f(B2C2,AC2)有什么关系？(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？[师]我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度．下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法．[生]在上图中，我们可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的．因为∠B2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根据相似的条件，得Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]由图还可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2∥B1C1，Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.[生]相似三角形的对应边成比例，得eq\f(B1C1,B2C2)＝eq\f(AC1,AC2)，即eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2).如果改变B2在梯子上的位置，总可以得到Rt△B2C2A∽Rt△B1C1A，仍能得到eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2).因此，无论B2在梯子的什么位置(除A外),eq\f(B1C1,AC1)＝eq\f(B2C2,AC2)总成立．[师]也就是说无论B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的对边与邻边的比值是不会改变的．现在如果改变∠A的大小，∠A的对边与邻边的比值会改变吗？[生]∠A的大小改变，∠A的对边与邻边的比值会改变．[师]你又能得出什么结论呢？[生]∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系，而与它所在直角三角形的大小无关．也就是说，当直角三角形中的一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定．[师]这位同学回答得很棒，现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价？[生]小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B1，B2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关．[生]但我觉得小亮的做法更实际，因为要测量B1C1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成．[师]这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡．我们学习数学就是为了更好地应用数学．由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).注意：(1)tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．(2)tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比．(3)tanA不表示“tan”乘以“A”．(4)初中阶段，我们只学习直角三角形中锐角的正切．思考：(1)∠B的正切如何表示？它的数学意义是什么？(2)前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1—3，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？[生](1)∠B的正切记作tanB，表示∠B的对边与邻边的比值，即tanB＝eq\f(∠B的对边,∠B的邻边).我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，在教材图1—3中，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡．例1(教材示例)如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tanα、tanβ的值，比较大小，越大，扶梯就越陡．解：甲梯中，tanα＝eq\f(∠α的对边,∠α的邻边)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).乙梯中，tanβ＝eq\f(∠β的对边,∠β的邻边)＝eq\f(5,\r(132－52))＝eq\f(5,12).因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡．[师]正切在日常生活中的应用很广泛，例如建筑，工程技术等．正切经常用来描述山坡、堤坝的坡度．如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tanα)就是tanα＝eq\f(60,100)＝eq\f(3,5).这里要注意区分坡度和坡角．坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度．坡度越大，坡面就越陡．例2已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．分析：先证明△ACD≌△BCE，再根据tan∠ADC＝tan∠BEC即可求解．解：根据题意可得AC＝BC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，CD＝CE＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AD＝BE＝5，∴△ACD≌△BCE(SSS)．∴∠ADC＝∠BEC.∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝eq\f(1,3).例3已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶eq\r(3)，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4eq\r(6)m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．分析：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据已知条件求出AE＝DF的值，再根据坡度求出BE，最后根据EF＝BC－BE－FC求出AD.解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E，F.∵CD与BC的夹角为45°，∴∠DCF＝45°，∴∠CDF＝45°.∵CD＝4eq\r(6)m，∴DF＝CF＝eq\f(4\r(6),\r(2))＝4eq\r(3)(m)，∴AE＝DF＝4eq\r(3)m．∵斜坡AB的坡度为3∶eq\r(3)，∴tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴BE＝4m．∵BC＝14m，∴EF＝BC－BE－CF＝14－4－4eq\r(3)＝10－4eq\r(3)(m)．∵AD＝EF，∴AD＝10－4eq\r(3)≈3.1(m)．所以，它的上底的长约为3.1m.本节课经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“直角三角形”中定义了tanA＝.接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的很重要的概念．教材P4“随堂练习”．第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数课时2正弦和余弦1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.探究活动1（出示幻灯片4）：B1B1B2AC1C2（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是；（2）；（3）如果改变B2在斜边上的位置，则；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=______.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为:sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为:sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢?sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的.设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长1.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).2.sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.4.sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.第一章直角三角形的边角关系230°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义．2.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．4.积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；通过“试验—猜想—证明—应用”的数学活动提升科学素养．能够进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算．进一步体会三角函数的意义．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺．请你设计一个测量方案，测出这棵大树的高度．(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)①给学生时间，让学生去思考讨论如何测量大树的高度，让学生感受到数学在生活中的实际应用．②学生展示自己的想法．让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢点C，30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测量出AB的长度，BE的长度．因为DE＝AB，所以只需在Rt△ACD中求出CD的长度即可．③在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a米，则AD＝a米，如何求CD呢？④含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD.根据勾股定理，得(2CD)2＝CD2＋a2，解得CD＝eq\f(\r(3),3)a.则树的高度即可求出．⑤我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在图1－2－10中，tan30°＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,a)，则CD＝atan30°，岂不简单？2．在刚刚过去的双十一(11月11日)活动中，中国人创造了网购的奇迹，书写了世界的传奇．今天是双十二(12月12日)，网上称之为“年末促销全民疯抢购物节”，必将续写网购的传奇．本课老师也准备了几件物美价廉的宝贝，投放进几家商铺进行出售，你们有没有信心抢到呢？很好，我们先看看商铺里面有些什么宝贝吧，看谁能抢到它们！(利用多媒体投影)商铺：图1－2－11生：(积极“抢购订单”)订单1：sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)，cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)，tanA＝eq\f(∠A的对边,∠A的邻边).订单2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.订单3：一副三角尺含有30°，60°和45°三种锐角．【探究1】探究特殊角的三角函数值看样子大家都是网购高手！但刚才大家购得的都是过时的产品，现在老师想研发一些新产品并投放到商铺出售，大家帮助老师研发如何？老师想研发以下几种新产品(利用多媒体投影)：图1－2－12“产品”1：sin30°表示在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．如图1－2－13，我们不妨设30°角所对的边为a，根据“直角三角形中，30°角所“产品”2：在图1－2－13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的邻边为eq\r(（2a）2－a2)＝eq\r(3)a，所以cos30°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).“产品”3：求60°角的三角函数值，可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边，所以sin60°＝eq\f(\r(3)a,2a)＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2)，tan60°＝eq\f(\r(3)a,a)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).“产品”4：求45°角的三角函数值，可以利用另外那个等腰直角三角尺，如图1－2－14.不妨设直角边为a，则斜边长为eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a.所以cos45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，sin45°＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，tan45°＝eq\f(a,a)＝1.图1－2－14【探究2】熟记特殊角的三角函数值仿照上面解决问题的过程，共同求一下30°，45°，60°角的三角函数值，然后填写下表.学生分组求值：三角函数值角αsinαcosαtanα30°eq\f(1,2)eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),3)45°eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(2),2)160°eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)eq\r(3)例1计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.解：(1)sin30°＋cos45°＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(2),2).(2)sin260°＋cos260°－tan45°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－1＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)－1＝0.例2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01m)[解析]引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意画出如图1－2－15所示的示意图.图1－2－15可知∠BOD＝60°，OB＝OA＝OD＝2.5m，∠AOD＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴OC＝OD·cos30°＝2.5×eq\f(\r(3),2)≈2.165(m).∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m．例3计算：(1)sin60°－tan45°；(2)cos60°＋tan60°；(3)eq\f(\r(2),2)sin45°＋sin60°－2cos45°.答：(1)eq\f(\r(3),2)－1(2)eq\f(1,2)＋eq\r(3)(3)eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)－eq\r(2)]例4求适合下列条件的锐角α：(1)eq\r(2)sinα－1＝0；(2)eq\f(2cosα＋1,2)＝1；(3)3tanα＝eq\r(3).分析：这里α是未知数，可以仿照解方程的步骤：去分母、移项.解：(1)由eq\r(2)sinα－1＝0，得sinα＝eq\f(\r(2),2).所以，锐角α＝45°.(2)由eq\f(2cosα＋1,2)＝1，得cosα＝eq\f(1,2).所以，锐角α＝60°.(3)由3tanα＝eq\r(3)，得tanα＝eq\f(\r(3),3).所以，锐角α＝30°.例5图1－2－16为住宅区内的两幢楼，它们的高AE＝CF＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高(精确到0.1m，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73).图1－2－16[解析]根据题意，可将实际问题转化为数学问题．当光线从楼顶E直射到乙楼的点D时，点D以下便接受不到光线，过点D作DB⊥AE(甲楼)．在Rt△BDE中，BD＝AC＝24m，∠EDB＝30°，由此可求出BE.由于甲、乙两楼一样高，所以DF＝BE.解：当光线从楼顶E直射到乙楼上的点D时，点D以下便接受不到光线，过点D作DB⊥AE.在Rt△BDE中，BE＝DB·tan30°＝24×eq\f(\r(3),3)＝8eq\r(3)(m).∵DF＝BE，∴DF＝8eq\r(3)≈8×1.73＝13.84(m)，CD＝CF－DF≈30－13.84≈16.2(m).答：甲楼的影子在乙楼上的高约为16.2m．本节课应掌握：1.能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．2.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小．第一章直角三角形的边角关系3三角函数的计算经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问题的能力．3.能够用计算器进行有关三角函数值的计算．4.积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐，形成实事求是、严谨的学习态度．发现实际问题中的边角关系，提高学生有条理地思考和表达的能力.1.用计算器求已知锐角的三角函数值；2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.如图1－3－5，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？图1－3－5学生：解：在Rt△ABC中，∠α＝16°，AB＝200m，需求出BC.根据正弦的定义，sin16°＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(BC,200)，∴BC＝AB·sin16°＝200sin16°(米).200sin16°米中的“sin16°”是多少呢？我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.对于特殊角30°，45°，60°，可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢？2.随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道(如图1－3－6所示，用多媒体演示)．这条斜道的倾斜角是多少？在Rt△ABC中，BC＝10m，AC＝40m，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,4).可是如何求∠A呢？图1－3－6给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值唯一确定．给定一个锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗？为什么？要解决这个问题，我们可以借助于科学计算器来完成．这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值用科学计算器求三角函数值，要用到eq\x(sin)eq\x(cos)和eq\x(tan)键.例如，求sin16°，cos42°，tan85°和sin72°38′25″的按键顺序如下表所示.按键顺序显示结果sin16°eq\x(sin)eq\x(1)eq\x(6)eq\x(＝)sin16°＝0.275637355cos42°eq\x(cos)eq\x(4)eq\x(2)eq\x(＝)cos42°＝0.743144825tan85°eq\x(tan)eq\x(8)eq\x(5)eq\x(＝)tan85°＝11.4300523sin72°38′25″eq\x(sin)eq\x(7)eq\x(2)eq\x(°′”)eq\x(3)eq\x(8)eq\x(°′”)eq\x(2)eq\x(5)eq\x(°′”)eq\x(＝)sin72°38′25″＝0．954450312同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″，看显示的结果是否和表中显示的结果相同.【探究2】在活动一[课堂引入]的问题中，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？(小组讨论后，学生讲解设计方案)方案一：可以计算缆车从点B到点D垂直上升的高度.方案二：可以计算缆车从点A到点D一共垂直上升的高度、水平移动的距离.下面我们就请三位同学分别就上面的问题用计算器辅助计算出结果．其余同学可在小组内交流、讨论完成.【探究3】(1)如图1－3－7，为了方便行人推自行车过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道．这条斜道的倾斜角是多少？图1－3－7如图1－3－7，在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,4)，那么∠A等于多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器．请与同伴交流你是怎么做的.已知三角函数值求角度，要用到eq\x(sin)eq\x(cos)eq\x(tan)键的第二功能eq\x(sin－1)eq\x(cos－1)eq\x(tan－1)和eq\x(SHIFT)键．例如，已知sinA，cosB，tanC,求∠A，∠B，∠C的度数的按键顺序如下表所示.按键顺序显示结果sinA＝0.9816eq\x(SHIFT)eq\x(sin)eq\x(0)eq\x(.)eq\x(9)eq\x(8)eq\x(1)eq\x(6)eq\x(＝)sin－10.9816＝78．99184039cosB＝0.8607eq\x(SHIFT)eq\x(cos)eq\x(0)eq\x(.)eq\x(8)eq\x(6)eq\x(0)eq\x(7)eq\x(＝)cos－10.8607＝30．60473007tanC＝56.78eq\x(SHIFT)eq\x(tan)eq\x(5)eq\x(6)eq\x(.)eq\x(7)eq\x(8)eq\x(＝) tan－156.78＝88．99102049例1如图1－3－8，工件上有一V形槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm，求V形角(∠ACB)的大小．(结果精确到1°)图1－3－8[解析]根据题意，可知AB＝20mm，CD⊥AB，AC＝BC，CD＝19.2mm，要求∠ACB，只需求出∠ACD(或∠DCB)即可.解：tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(10,19.2)≈0.5208，∴∠ACD≈27.5°，∴∠ACB＝2∠ACD≈2×27.5°＝55°.例2如图1－3－9，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线的入射角度.图1－3－9解：如图1－3－9，在Rt△ABC中，AC＝6.3cm，BC＝9.8cm，∴tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(6.3,9.8)≈0.6429，∴∠ABC≈32°44′13″.因此，射线的入射角度约为32°44′13″.例3一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高．(结果精确到0.1m)解：如图1－3－10，根据题意，可知BC＝300m，BA＝100m，∠C＝40°，∠ABF＝30°.在Rt△CBD中，BD＝BC·sin40°≈300×0.6428≈192.8(m).在Rt△ABF中，AF＝AB·sin30°＝100×eq\f(1,2)＝50(m).所以山高AE＝BD＋AF≈192.8＋50＝242.8(m).图1－3－10图1－3－11例4如图1－3－11，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB＝1.8m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度．(结果精确到0.01m)[解析]根据题意，将实际问题转化为数学问题．在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，即光线应沿CB射入，所以在Rt△ABC中，AB＝1.8m，∠ACB＝80°，求AC的长度.解：tan80°＝eq\f(AB,AC)，AC＝eq\f(AB,tan80°)≈eq\f(1.8,5.671)≈0.32(m).所以水平挡板AC的宽度约为0.32m.学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容，通过本节的学习，可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用．1.课本P14随堂练习2.课本P15习题1.4中T1、T4、T5第一章直角三角形的边角关系4解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运关系解直角三角形.2.通过探究实践，培养分析问题与解决问题的能力与方法.3.通过数形结合的思想方法，培养良好的学习习惯．利用边角关系解直角三角形．三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教师根据图片提出问题：这里有一株折倒的大树，你能测量后，根据测量结果求出大树的原高度吗？例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=，b=，求这个三角形的其他元素．归纳定义：解直角三角形的定义：由直角三角形中已知的元素，求出所未知的元素的过程，叫做解直角三角形．例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=30，∠B=25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．小结：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么三角形的所有元素就都可以确定下来．运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用课时1解直角三角形在方向角，仰角、俯角中的应用1.结合实际问题，弄清方位角的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.通过把实际问题转化为数学问题的过程，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.课前5分钟：学生欣赏电影《泰坦尼克号》3D版预告片视频.如图1－5－6，泰坦尼克号(RMSTitanic)是一艘奥林匹克级游轮，于1912年4月处女航时撞上冰山后沉没．“泰坦尼克号”为Titanic常用的翻译，Titan是希腊神话中的泰坦星，象征着力量和庞大．电影《泰坦尼克号》更是叙述了一段浪漫、凄美的爱情故事．泰坦尼克号的沉没让人感到遗憾，如果舵手能够分清方向、准确计算距离，也许“泰坦尼克号”的结局会是美丽的.同学们，如果你是船长，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们将一起探讨这个问题.【探究1】如图1－5－7，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°方向的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°方向的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°方向的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置．C在B的正东方，即C在B的右边．且在A的南偏东25°方向处，即C在A的“下偏左”25°位置.图1－5－8【探究2】如图1－5－8，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：(自主解决问题)(鼓励学生展示自己的解题过程)例1如图1－5－9，荆河公园管理处计划在公园里建一个以A为喷泉中心，且半径为15m的圆形喷水池．公园里已建有B，C两个休息亭，BC是一条长50m的人行道，已测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.(1)若要在人行道BC上安装喷泉用水控制阀门E，使它到喷泉中心A的距离最短，请你在BC上画出该点E的位置.(2)通过计算，你认为该圆形喷水池会影响人行道的通行吗？图1－5－9(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)变式：如图1－5－10某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01m)图1－5－10图1－5－11处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路．学生书写过程不规范，教师给出规范的步骤．根据图1－5－11回答下列问题：(1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？例2如图1－5－12，水库大坝的截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m，坡底BC＝30m，∠ADC＝135°.图1－5－12(1)求∠ABC的度数；(2)如果坝长100m，那么修筑这个大坝共需多少土石料(结果精确到0.01m3)？(积极思考，先独立完成，后集体交流展示)我们可以按照下面两图所示的方法构造直角三角形解决问题.图1－5－13图1－5－14你能独立完成解答过程吗？如图1－5－14，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，在点C上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？例4如图1－5－15，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时．接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响.(1)B处是否会受到台风的影响？请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？(参考数据：eq\r(,2)≈1.4，eq\r(,3)≈1.7)图1－5－15结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解决实际问题．学生被情境吸引，迫切想获得新知．通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然后再放手让学生自主解决问题．第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用课时2解直角三角形在坡角（坡度）及其他方面的应用1.结合实际问题，弄清坡角和坡度的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.通过把实际问题转化为数学问题的过程，感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力.体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.1、阅读，并完成坡度的概念，坡度与坡角的关系。坡面的_________h和_________的比叫做_________（或叫做坡比），一般用_____表示。常写成ｉ＝（或写成i=1:m）的形式。把坡面与水平面的夹角α叫做_____________．思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？i＝_____________＝____________，显然，坡度越大，坡角___________，坡面_________________。例1、如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求坝底宽AD例2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．弄清坡角和坡度的概念，通过解直角三角形，获得用数学知识解决实际问题的经验．第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.1.在实际生活中，会经常见到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等(多媒体展示如图1－6－7所示的图片)，它们高度较高且顶部不易到达，如果想测量它们的高度，根据所学的知识，大家有哪些测量方案？(1)利用太阳光下的影子测量；(2)利用标杆测量；(3)利用镜子的反射测量.师：我们前面刚学过直角三角形的边角关系，那么能不能用这方面的知识来测量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.2.如图1－6－8，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).图1－6－8(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图；(2)写出计算BD高度的表达式.师：如何设计一个测量建筑物BD高度的方案呢？【探究1】测量倾斜角(仰角或俯角)师：(课件展示)测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1－6－9).图1－6－9使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：如图1－6－10所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.了解了用测倾器测量倾斜角的大小，借助它和皮尺我们就可以测量一些物体的高度.在生活中有些物体的底部可以到达，有些物体的底部不可以直接到达，所以分两类分别探究.【探究2】测量底部可以到达的物体的高度，所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师：如图1－6－11，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？测量AN及AC的长.测量仰角∠MCE.你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.(学生之间讨论后回答)1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.3.量出测倾器的高度AC＝a.根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现.在Rt△MCE中，ME＝EC·tanα＝AN·tanα＝l·tanα，∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tanα＋a.那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？【探究3】测量底部不可以直接到达的物体的高度.所谓“底部不可以到达”，就是在图1－6－12地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如图1－6－12，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：在Rt△MDE中，ED＝eq\f(ME,tanβ).在Rt△MCE中，EC＝eq\f(ME,tanα).∵EC－ED＝CD，∴eq\f(ME,tanα)－eq\f(ME,tanβ)＝b，∴ME＝eq\f(btanαtanβ,tanβ－tanα)，∴MN＝eq\f(btanαtanβ,tanβ－tanα)＋a.【应用举例】师：回过头来，我们再来看活动一中的第2个问题，现在你能解决了吧？生：可以类比测量底部不可以直接到达的物体高度的方法来解决.图1－6－13师：你来说说具体的解决方案.生1(这名学生到黑板前边叙述方案边画出测量示意图)：1.在测点A处安置测倾器，测得B的仰角为α.2.在测点C处安置测倾器，测得B的仰角为β.3.量出测点A，C之间的距离b.利用测得数据就可以计算建筑物BD的高度.其余学生根据学生1的测量方案及数据计算建筑物BD的高度.变式：如图1－6－14，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5m，大门距主楼的距离BC是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度BE是1.4m，求学校主楼的高度(精确到0.01m).(本题先让学生独立完成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)例1如图1－6－15，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200m，求山高AB.图1－6－15例2如图1－6－16，大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度.本节课应掌握：1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．第二章二次函数1二次函数1.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.结合之前的知识，理解并会运用二次函数的关系式.3.注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯.对二次函数概念的理解.由实际问题确定函数表达式和确定自变量的取值范围.请同学们先欣赏几幅图片，如图2－1－2.(教师播放课件)图2－1－2在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线．我们如何用数学方法描述它、研究它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题．师生活动：教师提出以下问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结．1．我们学习过哪些函数呢？试着举例说明一下．2．下列函数哪些是正比例函数？哪些是一次函数？(1)y＝2x＋1；(2)y＝－4x；(3)y＝5x2；(4)y＝eq\f(2,x)；(5)y＝ax＋1.3．学习函数应从哪几方面进行探究呢？[答案]1.学习过的函数是一次函数，如y＝x＋1；正比例函数，如y＝x.其中正比例函数是一次函数的特殊形式．2．正比例函数有(2)，一次函数有(1)(2)．3．学习函数一般是从函数的定义、函数的一般形式、函数的图象及其性质、函数的实际应用等方面进行学习.【探究1】某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．(4)大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？【探究2】银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．(本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存期付给的“报酬”，本息和就是本金与利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间))设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．生1：y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x.生2：y＝100(1＋x)2.生3：y＝100x2＋200x＋100.从我们刚才所推导出的关系式：y＝100x2＋200x＋100中分析出y是x的函数，你能说出它的结构特点吗？请小组内思考探究．生：y是x的函数，而且y关于x的代数式是整式且最高次项的次数是2.师：很好，这就是我们所学的二次函数，你能根据它的特点归纳出二次函数的定义吗？它的一般表达式是怎样的？生：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．师：上述概念中的a为什么不能等于0?生：如果a＝0，就没有二次项了，y也就不是x的二次函数了．师：概念中的b和c可否为0，若b和c有一个为0或b和c均为0，上述表达式可以怎样改写？你认为它们还是二次函数吗？生：b和c可以为0，也可以同时为0，表达式分别为：①y＝ax2＋bx；②y＝ax2＋c；③y＝ax2.它们都还是二次函数．师：同学们分析得很好，二次函数的表达式与我们所学过的什么知识类似？生：与我们所学过的一元二次方程类似，当函数值y＝0时就是我们所学过的一元二次方程了．师：太棒了！从这几个问题我们可以看出，判断一个函数是否是二次函数的关键是：判断二次项系数是否为0.例1下列函数中，哪些是二次函数？(1)y＝3(x－1)2＋1；(2)y＝eq\f(x＋1,x)；(3)s＝3－2t2；(4)y＝－2x2.解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是．例2函数y＝(m＋2)xm2－2是x的二次函数，求m的值．解：∵y是x的二次函数，∴m2－2＝2，且m＋2≠0，∴m＝2.例3下列函数中是二次函数的有(B)①y＝x＋eq\f(1,x)；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝eq\f(1,x2)＋x.A.1个B．2个C．3个D．4个例4圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2.(1)写出y与x之间的关系式；(2)当圆的半径分别增加1cm，eq\r(2)cm，2cm时，圆的面积增加多少？解：(1)y与x之间的关系式是：y＝π(x＋1)2－π＝πx2＋2πx.(2)当圆的半径分别增加1cm，eq\r(2)cm，2cm时，即x的值分别为1，eq\r(2)，2，代入y＝πx2＋2πx，圆的面积分别增加3πcm2，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)))πcm2，8πcm2.1．请叙述二次函数的定义．2.许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。第二章二次函数2二次函数的图像与性质课时1二次函数y=ax2的图像与性质1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同.3.经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．4．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．作出函数y＝±x2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y＝±x2的性质.由y=x2的图象及性质对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点.1、寻找生活中的抛物线展示图形；2、(1)二次函数的概念；（2）画函数的图象的主要步骤.合作学习（探究二次函数y＝±x2的图象和性质）1.用描点法画二次函数y=x2的图象，并与同桌交流。2.观察图象，探索二次函数y=x2的性质，提出问题：（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2）图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?（3）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（4）当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？（5）当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？3.二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象4.它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。5.说说二次函数y=－x2的图象有哪些性质？与同伴交流。已知函数是关于x的二次函数。求：（1）满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2上。（1）求A的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？oyoyxA抛物线y=x²y=－x²顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值我们通过观察总结得出二次函数y=ax²的图象的一些性质是：①、图象——“抛物线”是轴对称图形；②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）

a﹤0，开口向下，当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）2、今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。.完成读一读和课后习题第1题.第二章二次函数2二次函数的图像与性质课时2二次函数y=ax2+k的图像与性质1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响.y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质.二次函数y=3（x－1）2+2的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系？做一做：先作二次函数y=3(x-1)2的图象，再回答问题。（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？x-3-2-1012343x23(x-1)2在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？（5）想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?议一议（1）在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?（2）x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？（3）猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象的位置和形状.（4）请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.二次函数y=a(x-h)2的性质1.顶点坐标与对称轴；2.位置与开口方向；抛物线y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a＜0)顶点坐标（h，0）（h，0）对称轴直线x＝h直线x＝h位置在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.最值当x＝h时，最小值为0当x＝h时，最大值为0开口大小|a|越大，开口越小3.增减性与最值.想一想（1）在同一坐标系中作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.（2）二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象； y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.抛物线y=a(x-h)2＋k(a>0)y=a(x-h)2＋k(a＜0)顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴直线x＝h直线x＝h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.最值当x＝h时，最小值为k当x＝h时，最大值为k1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?（3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质1.顶点坐标与对称轴；2.位置与开口方向；3.增减性与最值.第二章二次函数2二次函数的图像与性质课时3二次函数y=a（x-h）2的图像与性质1.使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象.2.让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系.会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点.理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点.1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－eq\f(1,2)x2－1的图象，并回答：(1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?教学要点 1．让学生完成下表填空。x…－3－2－10123…y＝2x2y＝2(x－1)2 2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?教学要点1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：开口方向对称轴顶点坐标y＝2x2y＝2(x－1)22．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?教学要点1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；2．让学生完成以下填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?教学要点1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；2．请两位同学上台板演，教师讲评；3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象与函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象有何关系?(函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2的图象可以看作是将函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象向左平移2个单位得到的。)问题8：你能说出函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－eq\f(1,3)(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。问题9：你能得到函数y＝eq\f(1,3)(x＋2)2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别? 2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗? 3．谈谈本节课的收获和体会。第二章二次函数2二次函数的图像与性质课时4二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?你能填写下表吗?y=2x2向右平移的图象1个单位y=2(x－1)2向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图象开口方向向上对称轴y轴顶点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。做一做问题4：你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?教学要点1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。问题5：你能说出函数y=－eq\f(1,3)(x－1)2＋2的图象与函数y=－eq\f(1,3)x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－eq\f(1,3)(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－eq\f(1,3)x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质1.顶点坐标与对称轴；2.位置与开口方向；3.增减性与最值.第二章二次函数2二次函数的图像与性质课时5二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.3.能够正确说出二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.把数学问题与实际问题相联系的过程.1.一位同学在练习中用描点法画函数y＝eq\f(1,2)(x－2)2＋1的图象时，画出如图2－2－64