第三章 线性方程组(第1讲)

1、第三章 线性方程组（第1讲）目标与要求理解消元法的基本思想，熟练掌握消元法解线性方程组的方法掌握线性方程组有解判定、有唯一解、无穷多解的条件，会求解一般的线性方程组重点难点重点：理解消元法的基本思想，熟练掌握消元法解线性方程组的方法，熟练掌握矩阵的初等行变换及化行阶梯、行最简形矩阵的方法难点：线性方程组解的存在、唯一、无穷多解有关定理行阶梯、行最简形矩阵的概念及化法 设计安排通过示例引出线性方程组的初等变换的概念，强调该变换不改变方程组的解，进而分析指出变换过程仅与一张数表（矩阵）有关，自然引出矩阵及其初等变换问题，指出任何一个矩阵A都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形、行最简形矩阵.最后给

2、出定理线性方程组的解的情况只有三种可能：无解、有唯一解、有无穷多解. 方程组的增广矩阵利用初等行变换化成行阶梯形,若最后一个非零行的首个非零元位于第n+1列,则方程组无解；否则有解.在有解的情况下,若非零行的个数r等于未知量的个数n,方程组有唯一解；若非零行的个数r小于未知量的个数n(有自由未知量),方程组有无穷多个解 举例（见幻灯片）展示如何求解线性方程组、解的情形如何问题的解决过程突出矩阵的初等行变换、矩阵的行最简形等概念的重要性，展示了矩阵这一数学工具在处理某些数学问题上的优越性教学进程见幻灯片部分（3课时）黑板多媒体讲授教学内容§1 消元法1 线性方程组的初等变换讨论一般线性

3、方程组 其中代表个未知量，是方程的个数，称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.所谓方程组的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，方程组中每个等式都变成恒等式. 方程组解的全体称为解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，即：求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 来表示.例如，解方程组第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方

4、程，就变成第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：（1） 用一非零数乘某一方程；（2）把一个方程的倍数加到另一个方程；（3） 互换两个方程的位置.定义 变换（1），（2），（3）称为线性方程组的初等变换.消元的过程就是反复施行初等变换把方程组变成同解的方程组.下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.对于上述的方程组，若的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组可以看作的方程组

5、来解.如果的系数不全为零，利用初等变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组就变成 其中这样，解方程组的问题就归结为解方程组 的问题.显然，前后两个方程组是同解的.这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 其中.最后的方程组中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现.现在考虑解的情况.如方程中有方程，而.则无解.当是零或根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：1）.这时阶梯形方程组为 其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.此时，方程组有唯一的解.2）.这时阶梯形方程组为其中.把它改写成 方

6、程组有无穷多解，称为一组自由未知量.用消元法解线性方程组的步骤：（1）用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组；（2） 把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉；（3）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解；（4 ）在有解的情况下，那么方程组有唯一的解；如果，那么方程组就有无穷多解.定理 在齐次线性方程组中，如果，那么它必有非零解.2矩阵及其初等变换(详见幻灯片有关内容)备注强调：为何消元法解线性方程组可通过对其增广矩阵施行初等行变换实现课堂练习：吸收消化重点内容作业布置课后相应习题第三章 线性方程组（第2讲）目标与要求了解n维向量概念及其线性运算，了

7、解n维向量空间理解消元法的基本思想，熟练掌握消元法解线性方程组的方法掌握线性方程组有解判定、有唯一解、无穷多解的条件，会求解一般的线性方程组重点难点重点：理解消元法的基本思想，熟练掌握消元法解线性方程组的方法，熟练掌握矩阵的初等行变换及化行阶梯、行最简形矩阵的方法难点：线性方程组解的存在、唯一、无穷多解有关定理行阶梯、行最简形矩阵的概念及化法 设计安排借助上一讲的方程组求解问题，进一步设问能否在理论上直接给出方程组是否有解的判定; 行最简形矩阵中的r 的本质是什么？ 消元的步骤不同是否会得出不同的r？有解时,解是否可以如克拉默法则一样有一般公式？指出需要进一步讨论方程组中各方程之间的关系，归结

8、为讨论有序数组之间的关系向量组有关问题教学进程见幻灯片部分（1课时）教学内容§2 维向量空间定义 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组 称为向量的分量.常用小写希腊字母来代表向量.定义 如果维向量 的对应分量都相等，即.就称这两个向量是相等的，记作.定义 向量称为向量的和，记为向量加法的性质：交换律： . 结合律： . 零向量： 向量称为向量的负向量，记为.显然对于所有的，都有. . 定义 定义 设为数域中的数，向量称为向量与数的数量乘积，记为.数乘的性质：, , , . 此外：, , . 定义 以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘

9、法，称为数域上的维向量空间.3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域上全体维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域上维向量空间.向量通常是写成一行（行向量）或写成一列（列向量）： ， .备注如何理解n维向量空间？作业布置自拟习题第三章 线性方程组（第3讲）目标与要求理解线性组合、线性表示、等价的概念，理解线性相关与线性无关的定义，掌握线性相关性定理理解向量组极大线性无关组和秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩重点难点重点：理解向量组线性相关与线性无关的定义，掌握线性相关性定理理解向量组极大线性无关组和秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩难点：理

10、解线性相关与线性无关的定义，掌握线性相关性定理设计安排对线性组合、线性表示、等价概念通过例题展示内涵，对于线性相关与线性无关的定义、线性相关性定理等抽象性强难以理解的突出特点，以几何空间向量为模型，增加例题弥补难以理解的缺憾 通过归纳总结线性无关向量组的特性，引出向量组的极大无关组概念，通过考察具体向量组的极大无关组的情况，为极大无关组的有关结论和向量组的秩的概念引入作铺垫最后给出秩的有关定理. 教学进程见幻灯片部分（3课时）教学内容§3 线性相关性1 线性相关与线性无关定义 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使,其中叫做这个线性组合的系数.任一个维向量都是维单位向量组

11、 的一个线性组合.零向量是任意向量组的线性组合.向量组的等价 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.每一个向量组都可以经它自身线性表出.1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.定义 如果向量组中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么称向量组线性相关. 等价定义 向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使定义 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无

12、关，如果由可以推出如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.或者：如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 维单位向量组成的向量组线性无关.具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题归结为解方程组的问题.即：方程 有无非零解.或 有无非零解.从而，如果一向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组 也线性无关.定理 设与是两个向量组.如果1）向量组可以经线性表出，2） ，那么向量组必线性相关.推论 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.推论 任意个维向量必线性相关.推论 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.2

13、极大线性无关组定义 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组与向量组本身等价.例如向量组自身便是极大线性无关组.一般地，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.定理 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定义 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.由于每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性

14、知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.等价的向量组必有相同的秩.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.备注思考问题1线性无关的等价说法2极大无关组与向量组的关系3如何求向量组的秩？下一次为习题课!(2课时)作业布置课后相应习题第三章 线性方程组（第4讲）目标与要求理解矩阵秩的定义，掌握矩阵秩的求法，理解向量组的秩与矩阵秩的关系，熟练求出向量组的极大线性无关组及秩重点难点重点：理解矩阵秩的定义，掌握矩阵秩的求法，理解向量组的秩与矩阵秩的关系难点：理解矩阵秩的定义，秩与矩阵秩的关系，熟练求出向量组的极大线性无关组并用该极大无关组表示其余向量方法的思想内涵 设

15、计安排首先给出矩阵秩的定义，介绍相关定理，其次讨论矩阵秩的求法：（1）子式法，（2）初等变换法，通过例题展示方法的功效；最后通过定理如果矩阵A 经有限次初等行变换化为B ,则A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性关系.给出求向量组的极大线性无关组并用该极大无关组表示其余向量方法，并指出方法的内涵是方程组初等变换把方程组化为同解的方程组增补例题加深对内容方法的理解 教学进程见幻灯片部分（2课时）教学内容§4 矩阵的秩矩阵可以认为是由行向量组成的，可以认为是由列向量组成的.定义 矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.例如，矩阵的行向量组是它的秩是3.它的

16、列向量组是它的秩也是3.引理 如果齐次线性方程组 的系数矩阵的行秩，那么它有非零解.定理 矩阵的行秩与列秩相等.矩阵的秩 （等于行秩等于列秩）.定理 矩阵的行列式为零的秩小于.推论 齐次线性方程组有非零解它的系数矩阵的行列式等于零.级子式：定义 在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的级行列式，称为的一个级子式.注意：.定理 一矩阵的秩是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.利用初等变换把矩阵化成阶梯形，计算矩阵的秩.增补例题（详见幻灯片）.备注思考问题1向量组的秩与矩阵秩的关系2利用矩阵初等行变换求向量组的极大线性无关组并用该极大无关组表

17、示其余向量方法内涵作业布置课后相应习题第三章 线性方程组（第5讲）目标与要求熟练掌握线性方程组有解判别定理及相关结论，并能自如运用重点难点重点：熟练掌握线性方程组有解判别定理及相关结论，并能自如运用难点：理解有解判别定理及相关结论设计安排利用n维向量及矩阵秩的有关理论回答线性方程组是否有解这一问题的实质.介绍线性方程组有解判别定理及相关结论，用示例展示定理的应用方法教学进程见幻灯片部分（1课时）教学内容§5 线性方程组有解判别定理设线性方程组为 引入向量. 于是线性方程组(1)可以改写成向量方程. 线性方程组有解判别定理 线性方程组有解它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.此判别条件与以

18、前的消元法一致.备注1例题涉及的类型要有代表性2强调：熟练掌握线性方程组有解判别定理作业布置课后相应习题第三章 线性方程组（第6讲）目标与要求了解线性方程组解的性质，理解基础解系概念，熟练掌握齐次、非齐次线性方程组解的结构并能根据问题利用结构式写出通解重点难点重点：熟练掌握齐次、非齐次线性方程组解的结构并能根据问题利用结构式写出通解难点：齐次线性方程组基础解系概念，根据问题利用结构式写出通解设计安排首先讨论齐次线性方程组解的性质、解的结构，举例展示基础解系求法及解的结构形式；其次讨论非齐次线性方程组解的性质、解的结构，增加例题加深对解的性质、解的结构的理解补充课堂思考练习题，消化重点内容教学进程见幻灯片部分（2