考点2正余弦定理的应用举例

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。考点2 正、余弦定理的应用举例2010年考题1.（2010·陕西高考理科·7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【解析】2.（2010·陕西高考文科·7）在ABC中，已知B=45°,D是BC边

2、上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.【解析】在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120°, ADB=60°在ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，由正弦定理得,AB=.3.（2010·江苏高考·7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔

3、的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【解析】（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。故所求的是m。4.（2010·安徽高考理科·16）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。(1)求角的值；(2)若，求（其中）。【解析】（1），由题意，所以，（2），又，由、解得。5.（2010·福建高考文科·21）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在

4、航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。【解析】()设相遇时小艇航行距离为海里，则 故当时，即小艇以每小时海里的速度航行，相遇时距离最小。()若轮

5、船与小艇在处相遇，由题意可得：化简得，由于，即，所以当时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里每小时。()由()知，于是有，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，解得：，所以的取值范围为。6.（2010·天津高考文科·7）在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。【解析】（）在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C.（）由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又0<2B<,于是s

6、in2B=.从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以7.（2010·福建高考理科·19）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】

7、()为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT，小艇到达T位置时轮船的航行位移即，从而（海里/时）；OABTGH()若轮船与小艇在H处相遇时，在直角三角形OHT中运用勾股定理有：，等价于从而所以当时，也就是说，当小艇以30海里每小时的速度，沿北偏东方向行走能以最短的时间遇到轮船。8.（2010·安徽高考文科·16）的面积是30，内角所对边长分别为，。(1)求；(2)若，求的值。【解析】由且为三角形内角，得.又=，（1）；（2），。2009年考题1.（2009广东高考）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（

8、 ）A. 6 B. 2 C. D. 【解析】选D.，所以.2. （2009天津高考）如图，相交与点O, 且，若得外接圆直径为1，则的外接圆直径为_.【解析】由正弦定理可以知道，,所以的外接圆半径是外接圆半径的二倍。答案：23.（2009海南宁夏高考）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。【解析】方案一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角；B点到M，N的俯角；A，B的

9、距离 d . .3分第一步：计算AM . 由正弦定理；第二步：计算AN . 由正弦定理；第三步：计算MN. 由余弦定理 .方案二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d.第一步：计算BM . 由正弦定理；第二步：计算BN . 由正弦定理；第三步：计算MN . 由余弦定理4.（2009福建高考）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A>0, >0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=1

10、20（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 【解析】方法一（）依题意，有，又，。当 时， 又（）在MNP中MNP=120°，MP=5，设PMN=，则0°<<60°由正弦定理得, 故0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将PMN设计为30°时，折线段道MNP最长方法二：（）同方法一（）在MNP中，MNP=120°，MP=5，由余弦定理得MNP=即 故从而，即 当且仅当时，折线段道MNP最长注：本题第（）问答案及其呈现方式均不

11、唯一，除了方法一、方法二给出的两种设计方式，还可以设计为：；5. （2009辽宁高考）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】在ADC中，DAC=30°, ADC=60°DAC=,所以CD=AC=0.1 又BCD=180°60°60°=60&

12、#176;，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，        5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。  12分2008年考题1、（2008上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【解析】方法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO=4分在

13、中，6分即.9分解得（米）. .13分方法二：连接AC，作OHAC，交AC于H.2分由题意，得CD=500（米），AD=300（米），.4分 AC=700（米）.6分.9分在直角 （米）. 13分2、（年湖南高考）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.【解析】（I）如图，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.（II）方法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1）, C（x2，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos,y2=ACsin所以过点B、C的直