平面向量中的最值问题浅析_第1页
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文档简介

1、平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中(045200 )要注意正确运用相关知识，合理转化。、利用函数思想方法求解例 1 1、给定两个长度为 1 1 的平面向量OA和，它们的夹角为120. .如图所示，点 C C 在以 O OC点变化的变量，建立目标x y与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。一 一1，以点0为原点，0A为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(-,2x y cos . 3sin 2sin( ) (0因此，当3时，Xy取最大值 2 2。A(1,7),OB (5,1),O取最小值时，求OQ.(2,1),点 Q Q 为射线 OPOP 上的一个动点，当QQB分析：因为点 Q

2、Q 在射线 OPOP 上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于OQ坐标的一个为圆心的圆弧AB上变动. .若OC,其中x, y R, ,则xy的最大值是图 1 1C(cos ,sin )。-OC1(cos，sin)x(1，)y(2,即yx cos2一3y . sin2平面向量中的基本运算和性质为主，解决此类问题分析：寻求刻画解:设AOC2_3)。例 2 2、已知(2x,x),(x0)，则QA(1 2x,7X),QB(5 2x,1 x)QQB5x220 x 12 5(x 2)28二、利用向量的数量积m n |m n求最值例 3 3、ABC三边长为a、b、c,以 A A 为圆心,r,r 为半径作圆分析

3、：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。四、利用几何意义，数形结合求解 例 5 5、如图，已知正六边形PP2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是关系式，再根据Q|QB取最小值求OQ.当x 2时,取最小值-8-8，此时OQ(4, 2).有最大值。在什么位置时,解:：AB BP AP,AC CQAQAPBP|CQ(ApAB)(2r2当且仅当求解AP与CB同向时，B|CQ有最大值。三、利用向量模的性质例 4 4已知ab 2,分析 :注意到a(3解：由条件知b1。4 14 4设ab c， 贝U a= =b(cos,sin ),求I a的最大值与最小值。考虑用向量模的性质求解。1 ni

4、 44cbc bb，1a1443。所以当b与c同向时，a取最大值 3 3 ；当b与c反向时,a取最小值 1 1。解：设OQxoP(1 2x)(5 2x) (7 x)(1 x),PQ,PQ 为直径，试判断 P P、Q Q（A）PP2PP3（。PIP?PP5分析：平面向量数量积詞在方向上的投影II(B B)RP2RP4II(图 3 3韻|0 1,2,3,4,5,6)的几何意义为等于 的长度与P1P cos, PP?, P1P,的乘积。显然，由图可知，PP在PP?方向上的投影最大，故选(A A)。例 6 6、a与b与b是两个夹角为 1201200的单位向量，且 p+q=1p+q=1( p p、q q R)R),贝U pd qb的最小值是分析：如图 3 3，设OABCpBA因此点 C

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