用判别式求解几何最值问题

1、用求解几何最值问题江苏省睢宁县双沟中学赵光朋（221212） 通过恰当的途径，构建一元二次方程模型，在其有解的前提下，应用或去探讨某些几何最值（或不等）问题，有时可收到条理清晰、简捷明快的解题效果.举例说明如下：例1.当斜边一定时，求直角三角形周长的最大值.分析：.当三角形的斜边一定时，两条直角边的和与积都可表示为周长与的代数式，由此想到以为实数根构造一元二次方程，再通过判别式求解.解：设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边为，周长为.则， （1）.所以，即.又，所以 （2）.由（1）、（2）知是方程的两个实数根.所以.整理，得,求得，所以周长的最大值是.点评：上述解法中，以三角形的斜边和周长

2、表示两条直角边，并利用韦达定理构造一元二次方程，再巧用判别式“” 化“相等”为“不等”，为求得周长的最大值疏通了渠道.例2.三角形有一个内角为，此角所对的边长为，求证其余两边的和不大于.证明：如图1，中，,.过作于，设，通过,得，.令，整理，得关于的一元二次方程.由，得，所以，的最大值为，即其余两边的和不大于.点评：在此解法中，适时地引入变量，并将他们的关系用一个等式表达出来，为构造一元二次方程明确了目标，为应用埋下了伏笔.更体现了几何问题代数化的转换思想.例3.如图2，已知的面积为,作一条直线,且与分别交于两点。记的面积为,证明：.证明：因为,则可令.又和是以为顶点的等高三角形，所以，即.同

3、理可证,所以整理，得关于的方程.因为是实数，所以，而,所以，即.点评：在上述解法中，以线段比为未知数， 并用表示三角形的面积比，通过等式变形得一元二次方程，构思巧妙.再应用，所证的结论则一目了然.例4.如图3，中，分别是上的点, , .设,求证.分析：设，由已知的平行线可得两对相似三角形，再利用相似三角形的性质可找到各个三角形的面积与的关系，由此会萌生构造一元二次方程，再应用探讨证明思路的念头.证明：设，则，.易证,所以，.即,.易得,整理，得关于的一元二次方程.因为是实数，所以.化简得,所以.例5.如图4，四边形是一给定矩形，均不为，是过点的动直线，与的延长线交于.求面积的最小值. 解：设,

4、则，.即.因为为实数，所以，得.因为,所以.即面积的最小值是.点评：以角度为变量，以正切函数为主元，构造一元二次方程，再应用，为这道题的快速求解增添了色彩.例6.如图5，过正方形的顶点作一直线与的延长线交于，设，求的最小值.解：设，根据面积关系，有，即.设，则，所以是方程的两个实数根，所以.因为，所以.当时，故的最小值是.注：一般地，在解题过程中，如果能出现型的关系式，则可考虑利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程.例7.如图6，已知四边形的对角线相交于,若,则四边形面积的最小值为（ ） 分析：若设,则问题就转化为求的最小值.设，再求出的值，就可构造以为两个实数根的一元二次方程，根据，可求出

5、的取值范围，进而求出的最小值.解：设，（1）.因为,所以（2）.由（1）、（2）知是方程的两个实数根.所以，即，又，所以.因此，=.即的最小值是.此时，.例8.如图7，与是两个直角边都等于，且叠在一起的等腰直角三角形.其中，固定，直角边的中点分别为,保持斜边在直线上可使位置左右移动.求两个三角形重叠部分的六边形面积的最大值. 解析：直接求解，难以入手，而由分别为的中点，可知也为的中点.于是若记多边形的面积为,则.再设，则，所以.则有，变形可得关于的方程.因为是实数，所以，所以.故，此时.由于，符合条件，所以，两个三角形重叠部分面积的最大值是.例9.如图8，切于点，直线交于点,求证.分析：“”及

6、给出暗示，构造一元二次方程，应用也许可得巧证.证明：由割线定理，得,于是是方程的两个根.因为,所以,由此可得.例10.当直角三角形的周长一定时，求其内切圆面积的最大值.解析:设直角三角形的三边长为（为斜边），其周长为，内切圆半径为，则有，由（1）、（3）得，从而 （4）.又 （5）.由（4）、（5）知是一元二次方程的两个根.要使此方程有实数根，必须，即，所以.因为与矛盾，故取.所以当时，内切圆半径最大，并推得时内切圆有最大面积平方单位.注：这一解法中，尽力寻找两数的和与积，是构造方程、应用求得结果的关键.例11.如图9，是的直径，过引圆的切线,又过上任意一点的切线与交于,求证.证明：如图，连结

7、，因为、均为的切线，且,所以，,又,易证,可得.又,可知是关于的方程的两个根.由，知.例12.如图，半圆的半径为，,且,是半圆上任意一点，求封闭图形面积的最大值.分析:先添辅助线，把封闭图形分割成规则图形.利用他们的面积关系构造一元二次方程，在应用将是一个可取的途径.解：如图10，过作,设，封闭图形面积为,则，=，.两边平方、化简得关于的一元二次方程.由,得,解得.故封闭图形面积的最大值是.例13.有一块圆心角为，半径长为米的扇形余料，打算利用此扇形余料锯一个面积最大的矩形，求这个最大面积.解：为了使矩形的面积尽可能大，此矩形应为扇形的内接矩形.为此，分以下两种情况讨论，如图11（1）、（2），先研究第一种情况，如图11（1），连结,设米，平方米，则=，所以，所以，两边平方，整理得.由，得所以为最大.再研究第二种情况，如图11（2）.作的平分线交,连结,设米，平方米，则=.所以.所以，两边平方，整理得，由，得所以为最大.由=，知所锯矩形的最大面积是平方米. 综上所述，形与数既是对立的，也