数学专业毕业论文-n元函数的微分中值定理及其应用

1、n元函数的微分中值定理及其应用数学系20021111班 指导教师 摘 要：对凸区域上的元可微函数，采用构造“辅助函数”的方法，把元函数转化为一元函数，利用一元函数的微分中值定理，将一元函数微分中值定理推广到元，得到了元函数的拉格朗日定理、罗尔定理、柯西定理和泰勒定理，并构造不同的“辅助函数”，得到了元函数柯西定理的另一种证明方法，最后讨论了元函数微分中值定理的一些具体应用。关键词：元函数；微分中值定理；辅助函数The Differential Mean-value Theorem in n-Variate Functionsand Its ApplicationAbstract: The n-

2、variate functions defined on a convex domain in are converted to the single variate function by using the method of structuring auxiliary functions, and the differential mean-value theorems for single variate function are generalized to n-variate functions by means of the differential mean-value the

3、orems for single variate function. Then the Lagrange Theorem, the Rolle Theorem, the Cauchy Theorem and the Taylors Theorem for n-variate functions are obtained. Another method of proving the Cauchy Theorem for n-variate functions is given by making up different auxiliary functions. Some examples of

4、 application of the differential mean-value theorems for n-variate functions are furnished.Key words: n-variate functions; differential mean-value theorem; auxiliary functions1引言微分中值定理是微分学中的重要基本定理，是微分应用的理论基础，是微分学的核心理论1.在实际应用中，很多情况下都要突破一元微分学和平面领域这些局限，并不都是一元和平面领域的，为了充分利用微分中值定理这个重要工具，这就需要把它进行推广，使之也能够在元

5、微分学和维空间下得以使用.文献2给出了元函数的拉格朗日公式、罗尔定理的公式及柯西公式；文献3给出了二元函数的微分中值定理；文献4给出了多元函数的一阶泰勒公式；文献5和文献6给出了二元函数的阶泰勒公式.本文在文献3中的二元函数微分中值定理的基础上给出了与文献2不同描述及证明过程的元函数的微分中值定理，并在文献7给出的微分中值定理的一种新的证明方法的基础上给出了元函数的柯西定理的另一种证明方法，以及在文献4、5、6中的多元函数的一阶及阶泰勒公式的基础上给出了元函数的一阶及阶泰勒公式及详细的证明，并讨论了元函数的微分中值定理的应用.2 元函数的微分中值定理我们考虑维欧氏空间，是的某个子集到的某个子集

6、的映射，即为元函数.若区域上任意两点的连线都含于，则称为凸区域.若为凸区域，则对任意两点和一切，恒有2.1 元函数的拉格朗日定理定理1 设元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，使得 （1）证明 令.它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在内可微.于是根据一元函数微分中值定理，使得由复合函数的求导法则而所以在定理1中，若时，则由（1）式有， 这就是一元函数的拉格朗日公式.2.2 元函数的罗尔定理当时，（1）式就成为 这就是元函数的罗尔定理的公式.定理2 设元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，对内任意两点，有，则，使得， （2）在定理2中，若时，则由（2）式有

7、， 即， 这就是一元函数的罗尔定理的公式.2.3 元函数的柯西定理定理3 设元函数和在凸开域上连续，在内关于各个变元具有连续的偏导数，对内任意两点，（其中），则有 （3）证法一 首先证明.用反证法，假设，即.根据元函数的罗尔定理，使得.与已知条件矛盾.其次作辅助函数（其中）由定理中的条件知在上连续，在内可微,且,因此根据一元函数的罗尔定理,存在使得.由复合函数的求导法则又.所以证法二 首先证明，即.为此，不妨先假设.令， 于是有，则在区间上对函数应用一元函数的罗尔定理，故，使.由复合函数的求导法则.所以.但这与已知条件矛盾.故.再作辅助函数 显然,在上连续，在内可导,并且有.由于在上连续,所以

8、在上可以取得最大值与最小值,又由于,因此在开区间内至少存在一点使在处取得最大值或最小值,又在内可导,根据费马定理,有,.由复合函数的求导法则又,所以在元函数的柯西中值定理中,若时,(3)式就成为这就是元函数的微分中值定理的公式.在元函数的柯西中值定理中,若时,则由(3)式就有这就是一元函数的柯西中值定理的公式.2.4 元函数的泰勒定理定理4 设函数在点的某一邻域内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,则,使得 （4）其中,称为余项4.证明 考虑函数, ,则,.由于函数在点的某一邻域内连续,且具有一阶及二阶连续偏导数,从而复合函数在的邻域内对有连续的一阶及二阶导数.由一元函数的泰勒公式可以得到, .

9、 （5）由于,所以,把代入(5)式后再令,便得到泰勒公式(4).定理5 设函数在点的某一邻域内连续,且具有阶连续偏导数,则,使得 （6）其中，称为拉格朗日型余项5.证明 作辅助函数, ,则,.因为.用数学归纳法可以得到. 由一元泰勒公式，. （7）将，代入（7）式得，.3 元函数微分中值定理的应用例1. 设元函数在凸开域上可微，上取定一点，且，有，则，有（常数），即是常数函数.证明 元函数在上满足元函数的拉格朗日定理的条件，根据元函数的拉格朗日定理，使得因为点，所以.所以.设，即，有（常数），即是常数函数.例2. 若元函数和在凸开域上连续，在内关于各个变元具有连续的偏导数，上取定一点，且，有.

10、且（其中），则，有，其中是常数.证明 因为元函数和在满足元函数的柯西定理的条件，则 ，. ，设（常数），即，有，其中是常数.例3. 证明：设元函数在凸开域上可微，对内任意两点，有，且（是常数且），.则.证明 因为元函数在上满足元函数的罗尔定理的条件，所以，使得，因为点，有，.所以，所以.例4. 通过对施用中值定理，证明对某，有.证明 三元函数在凸开域上连续，在的所有内点都可微，则对内任意两点，根据元函数的拉格朗日定理，使得即令，则取，则即.例58. 若在区域内的诸偏导数存在、有界，则在内连续.证明 设，.任取，设与连接及的直线段（设充分小）全部包含在内，则由元函数的拉格朗日定理，得.其中，.于

11、是，使当时，就有.所以在点连续.由的任意性知在内连续.例69. 将函数在点（1，1，1）展成泰勒公式.解 .，.高于3阶的偏导数都恒为0.于是，由元函数的泰勒公式，有 4结 论微分中值定理是沟通函数与其导数之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具.本文将一元函数微分中值定理推广到元，得到了元函数的微分中值定理，并讨论了一些具体应用.虽然本文的结论在表述与证明上与前人有所不同，但推广的基本思路都是一致的.其实，对一元函数微分中值定理还可以从多个函数及高阶方面进行推广，有待于进一步研究.参考文献1 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(上册)M.北京:高等教育出版社,1992:2033

12、46.2 胡龙桥.元函数的微分中值定理J.工科数学,1994,10(4):263265.3 华东师范大学数学系.数学分析(下册)M.北京:高等教育出版社,2001:133135.4 马知恩,王绵森.工科数学分析基础(下册)M.北京:高等教育出版社,1998:5155.5 罗汉,曹定华.多元微积分与代数M.北京:科学出版社,1999:132134.6 方企勤.数学分析(第三册)M.上海:上海科学技术出版社,2002:7071.7 胡龙桥.微分中值定理的一种新的证明方法J.天津工业大学学报,2001,20(4):7072.8 周忠群.数学分析方法选讲M.重庆:西南师范大学出版社,1990:3133

13、15.9 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(下册)M.北京:高等教育出版社,1992:309417.指导教师评语：微分中值定理是微分学的基本定理，很多人对该定理进行过研究。该文采用构造“辅助函数”的方法，将一元函数微分中值定理进行推广，得到了与前人不同描述及证明过程的n元函数的微分中值定理，并讨论了推广后的一些具体应用。全文论证清晰，表达准确，写作规范，有创新， 具有一定的科学意义。tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGM

14、eR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcW

15、A3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWGMeR4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGtgKQcWA3PtGZ7R4I30kA1DkaGhn3XtKknBYCUDxqA7FHYi2CHhI92tgKQcWA3PtGshLs50cLmTWN60eo8Wgqv7XAv2OHUm32WGeaUwYDIAWG