332简单的线性规划问题

1、3.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题xyo2新课探究新课探究 某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用生产一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h1h，每生产一件，每生产一件乙产品使用乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2h2h，该厂每天最多可从配，该厂每天最多可从配件厂获得件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h计计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？算，该厂所有可能的日生产安排是什么？解：按甲、乙两种产品分别生产解：按甲、乙两种产品分别生产x

2、 x、y y件，由已知条件，由已知条件可得二元一次不等式组件可得二元一次不等式组 2 y8284 x1 644 y1 23x00y00 xxyxyxy 将上述不等式组表示成平面上的区域将上述不等式组表示成平面上的区域yx4843o 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元，生产万元，生产一件乙产品获利一件乙产品获利3 3万元，采用那种生产万元，采用那种生产安排利润最大？安排利润最大？ 设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z z，则，则z z2x2x3y3y把把z z2x2x3y3y变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的直的直线系，线系，z z与这条直线的与这条直线的截距有关。截距

3、有关。233zyx 23 如图可见，当直线经过区域上的点如图可见，当直线经过区域上的点MM时，截距最大，时，截距最大，即即z z最大。最大。M28xy 284300 xyxyxy 4x 甲、乙两种产品分别生产甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件 二、基本概念二、基本概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量它是关于变量x x、y y的一次解析式，又称线性目标函数。的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大

4、值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式，称为线性约束条的一次不等式，称为线性约束条件。件。 由所有可行解组成的由所有可行解组成的集合叫做可行域。集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。这个问题的最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解解解:按甲、乙两种产品分别生产按甲、乙两种产品分别生产x x、y y件，件，目标函数目标函数为为Z,Z,那么：那么：约束条件约束条件为为284300 xyxyxy

5、目标函数为目标函数为yxz4作出上述约束条件所表示的作出上述约束条件所表示的可行域如下：可行域如下：yx48oM28xy 4x 3y将 变形为yxz4144zyx 14 这是斜率为这是斜率为 ，随，随z变化的平变化的平行直线系，行直线系， 是直线在是直线在Y轴上的轴上的截距，当截距，当 最大时，最大时，z取得最大取得最大值。所以直线值。所以直线 与可行域相交且在与可行域相交且在Y轴上的截距轴上的截距最大时，目标函数取得最大值最大时，目标函数取得最大值。4z4z14yx 14yx N由图可见，当由图可见，当 直线直线 经过可行域上的经过可行域上的N点时点时 最最大即大即 最大。最大。yxz44z

6、z解方程组解方程组 得得N点的坐标为（点的坐标为（2，3）。）。所以所以328yxy max24 314z 一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 二、例题二、例题食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA

7、0.1050.070.14B0.1050.140.07解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么那么0.1050.100.0757750.070.140.0671460.140.070.0614760000 xyxyxyxyxyxyxxyy目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域1、找、找把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo/ 575/76/73/73/76/72834zxy 它表示斜率为它表示斜率为 纵截纵截距随距随z变化的一组平行变化的

8、一组平行直线直线34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。28zM如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行经过可行域上的点域上的点M时，纵截距时，纵截距最小，即最小，即z最小。最小。43yx 2、画、画3 3、移移M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低

9、成本为最低成本为16元。元。4 4、求求5 5、答答12解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （1 1）2 2、画画： 画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域； （2 2）3 3、移移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线； （3 3）4 4、求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4 4）5 5、答：作出答案。答：作出答案。 1 1、找、找 找出线性约束条件、目标函数；找出线性约束条件、

10、目标函数； 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，三种规格，每张钢板可同时截得三种规示每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所格的小钢板的块数如下表所解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张数为张数为Z则则,规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，若你是

11、若你是经理经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少数最少。分分析析问问题题: :例题例题6 6标目函数标目函数: z=x+y) )N Ny y, ,x x( ( x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, y0直线直线x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. 作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目标函数:z= x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经过点经过点A时时z=x

12、+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移L找交点及交点坐标找交点及交点坐标) )N Ny y, ,x x( ( 调整优解法调整优解法x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距离最近的直线是且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是

13、最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线t = x+y，目标函数目标函数t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移，1212182715978例例7 7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮乙种肥料需要的主要原

14、料是磷酸盐车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现库存磷酸盐。现库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo4y1 01 8 x1 5

15、y6 6,x0y0 xxyN解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产车皮，能够产生利润生利润Z万元。目标函数为万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：，可行域如图：把把Zx0.5y变形为变形为y2x2z，它表示斜率为，它表示斜率为2，在，在y轴上的截距为轴上的截距为2z的一组直线系。的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，时，截距截距2z最大，即最大，即z最大。最大。 故生产甲种、乙种肥料各故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3万元。万元

16、。M 容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2，2），则），则Zmin3例7 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为：yxz5 . 0可行域如图。把z=x+0.5y变形为zxy22 得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z,随z变化的一族平行直线。xy0M由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即Z最大。xy0M解方程组104661518yxyx得M的坐标为（

17、2，2）所以325 . 025 . 0maxyxz答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。练习：P91 T2 即先求非整数条件下的最优解，即先求非整数条件下的最优解，调整调整Z的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解的整点值，最后筛选出整点最优解 即先打网格，描出可行域内的即先打网格，描出可行域内的整点整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1. 1.平移找解法：平移找解法： 2.

18、 2.调整优解法调整优解法：小结：小结：例例8 8、某人准备投资、某人准备投资12001200万元兴办一所完全中学。万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）（以班级为单位） 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。若若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费16001600元，高中每人每年可收学费元，高中每人每年可收学费27002700元。那么开设初中元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？班和高中班多少个？每年收

19、费的学费总额最多？ 学学段段班级学生数班级学生数 配备教师数配备教师数初中初中45226班班2人人高中高中40354班班2人人万元硬件建设万元教师年薪把上面四个不等式合在一起，把上面四个不等式合在一起，得到得到2 0 xy3 0 x2 y4 0 x0y0yx2030402030o 另外，开设的班级不能为负，则另外，开设的班级不能为负，则x0 x0，y0y0。而由于资金限制而由于资金限制，26x26x54y54y2 22x2x2 23y12003y1200 解：设开设初中班解：设开设初中班x x个，高中班个，高中班y y个。因办学规模以个。因办学规模以20203030个班为宜，所以，个班为宜，所

20、以， 20 x20 xy30y30yx2030402030o 由图可以看出，当直由图可以看出，当直线线Z7.2x10.8y经过经过可行域上的点可行域上的点M时，截时，截距最大，即距最大，即Z最大。最大。 设收取的学费总额为设收取的学费总额为Z万元，则目标函数万元，则目标函数Z0.1645x0.2740y7.2x10.8y。Z7.2x10.8y变形为变形为它表示斜率为它表示斜率为 的直线系，的直线系，Z与这条直线的截距有关。与这条直线的截距有关。54532zxy32M 易求得易求得M（20，10），则），则Zmax 7.2x10.8y 252 故开设故开设20个初中班和个初中班和10个高中班，收

21、取的学费最个高中班，收取的学费最多，为多，为252万元。万元。咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉咖啡馆配制两种饮料甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡、咖啡4g、糖、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡、咖啡5g、糖、糖10g已知每天原料已知每天原料的使用限额为奶粉的使用限额为奶粉3600g ，咖啡，咖啡2000g糖糖3000g,如果甲种饮如果甲种饮料每杯能获利料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大杯能获利

22、最大？解：将已知数据列为下表：解：将已知数据列为下表： 3 原原 料料每配制每配制1杯饮料消耗的原料杯饮料消耗的原料奶粉奶粉(g)咖啡咖啡(g)糖糖(g)甲种饮料甲种饮料乙种饮料乙种饮料943451.2原原 料限料限 额额360020003000利利 润润(元元)0.71.2xy003000103200054360049yxyxyxyx设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y杯，则杯，则 目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2y巩固练习一巩固练习一解解: :设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料x x杯，乙种饮料杯，乙种饮料y y杯，则杯，则003000

23、103200054360049yxyxyxyx把直线把直线l l向右上方平移至向右上方平移至l l1 1的位置时，的位置时，直线经过可行域上的点直线经过可行域上的点C C，且与原点，且与原点距距 离最大，离最大，此时此时z =0.7x +1.2yz =0.7x +1.2y取最大值取最大值解方程组解方程组 得点得点C C的坐标为（的坐标为（200200，240240）,3000103,200054yxyx_0_ 9 x + 4 y = 3600_ C (200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_ 0_ x_ y目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2y答答:每天配制甲种饮料每天配制甲种饮料200杯杯,乙种饮料乙种饮料240杯可获取最大利润杯可获取最大利润.小结作出可行域：作出可行域：目标函数为：目标函数为：z =0.7x +1.2y作直线作直线l:0.7x+1.2y=0， 设每月生产甲产品设每月生产甲产品x件，生产乙产品件，生产乙产品y件，每月收件，每月收入为入为z，目标函数为，目标函数为Z3x2y，满足的条件是，满足的条件是0050024002yxyxyx Z 3x2y 变形为变形