导数在研究函数中的应用(含标准答案)

1、导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1 .利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系若,则f(x)在这个区间上是增加的.(2)若,则f(x)在这个区间上是减少的.若_,则f(x)在这个区间内是常数.2 .利用导数判断函数单调性的一般步骤求f'x).(2)在定义域内解不等式f'x)>0或f'x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间.3 .函数的极大值在包含x0的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点白函数值都x0点的函数值,称点xO为函数y=f(x)的

2、极大值点，其函数值f(xO)为函数的极大值.4 .函数的极小值在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何一点白函数值都x0点的函数值,称点x0xo为函数y=f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为极值点.5 .函数的最值与导数1 .函数y=f(x)在a,b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(xo).2 .函数y=f(x)在a,b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(xo).二、自我查验1 .函数f(x)=x+elnx的单调递增区间为()A.(0,+8)B.(8,0)C.(&q

3、uot;0)和(0,+8)d.R2 .若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是.3 .函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个4.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=3时取得极值，则a等于()A.2B.3D. 55.函数yln x的最大值为(B- e【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015高考全国卷n )已知函数f(x)= ln x+ a(1 x).讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值，且最

4、大值大于2a 2时，求a的取值范围.【变式训练1 已知f x x3 ax2 a2x 2.(1)若a 1时，求曲线y f x在点1,f 1处的切线方程;(2)若a 0,求函数f x的单调区间.C.4考点二利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数fxlnxax3,aR.(1)当a1时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【变式训练2】(2011安徽段忖:三卡，其中a为正实数.当a=4时，求f(x)的极值点;1十ax3考点三利用导函数求函数最值问题2【例3】已知a为实数，fx(x4)(xa).(1)求导数fx；(2)若f10,求fx在2,2上的最大值和最小值【应用体验】1.函数yxlnx的单调递

5、减区间为()A.1,1B,0,C. 1,D.0,12 .函数fxxex的单调递减区间是（）A.(1,)B.(,1)C.(,1)D.(1,)3 .函数fxx3ex的单调递增区间是()A.0,3B.1,4C.2,D.,2、一，一24 .设函数fxlnx,则()x.1A-x一为fx的极大值点2r1，,，一，B.x一为fx的极小值点2C.x2为fx的极大值点D.x2为fx的极小值点325 .函数f（x）2x3xa的极大值为6,那么a的值是（）A.0B.1C.5D.6【复习与巩固】A组夯实基础一、选择题1.已知定义在 R上的函数f x ,其导函数x的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）19B.fbf

6、afeD. fcfefd2.函数f xx2 aln x在x 1处取得极值，则a等于（A.2B.2C.4D.43 .函数fxexx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是()A.1+-B.1eC.e+1D.e-1二、填空题4 .若函数fxx3xc 2 3x ax .5.右函数f x x 在x 0处取得极值，则 a的值为.e6.函数f(x) ex x在1,1上的最小值是 . 三、解答题 2，一.7.已知函数f x x In x,求函数f x的单倜区间x8.已知函数f x ax,x 1 .In x(1)若f x在1,上单调递减，求实数 a的取值范围;若a 2,求函数f x的极小值.mx1是R上

7、的单调增函数，则实数m的取值范围是B组能力提升、选择题21n数，则实数a的取值范围是3在其定义域内的一个子区间a 1,a 1内不是单调函2)B.5141,2D.1,22 .若函数y2ax0,1内无极值，则实数 a的取值范围是(B.,0,0D.3 .若函数f1,1上有最大值3,则该函数在 1,1上的最小值是()1212二、填空题4 .已知函数1 f(x)=2x2 + 2ax ln x,1若f(x)在区间32上是增函数，则实数 a的取值范围为5 .设x1,x2是函数f(x)=x32ax2+a2x的两个极值点，若x1<2<x2,则实数a的取值范围是6 .若函数f(x)=x2-ex-ax在

8、R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是三、解答题7 .已知函数f(x)=x21nx-x+1,g(x)=ex(21nx-x).(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；(2)求g(x)的最大值.8 .设函数f(x)=(x1)exkx2(其中kCR).(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当kC0,+8)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点.导数在研究函数中的应用标准答案一.自主归纳1.(1)f'(x)>0(2)f'(x)<0(3)f'(x)=03.小于4 .大于极值5 .不超过不小于二.自我查验1 .解析：函数定义域为

9、(0,+00),f'(x)=1+e>0,故单调增区间是(0,+00).x答案：A2 .解析：=f(x)=x3+x2+mx+1,f'(x)=3x2+2x+m又f(x)在R上是单调增函数，f'(x)>0包成立，.A=412m<0,即m>；3答案：1,+0033 .解析：导函数f'(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4 .解析：f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知f'(3)=0,即3X(3)2+2X(-3)a+3=0,解得a=5.答案：D5.A【解析】ylnxy1_n

10、x,令y1ln-x0xe,当x(0,e)时函xxx数单调递增，当x(e,)时函数单调递减，ymax-e1故选Ae'三.典型例题1_一,【例题1】(1)f(x)的止义域为(0,+oo),f(x)=-a.右a<0,则f(x)>0,x所以f(x)在(0,+8)单调递增.若a>0,则当xC0,1时，f'(x)>0；a当xe1,+8时，f'(x)<0.所以f(x)在0,1单调递增，aa，1、，、在+00单调递减.a1一(2)由(1)知，当a00时，乂)在(0,+8)无最大值；当a>0时，£")在乂=-处a取得最大值，最大值为

11、f1=ln1+a11=lna+a-1.aaa1一一因止匕f二>2a2等价于Ina+a1<0.a令g(a)=lna+a1,则g(a)在(0,+00)单调递增，g(1)=0.于是，当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).【变式训练1(1)当a1时，fxx3x2x2,fx3x22x1,切线斜率为k f 14 ,又f 13, 切点坐标为1,3 , 所求切线方程为y 3 4 x 1 ,即 4x y 1 0.f xQ a 0, 33x2 2ax a2x a 3x a ,由 f xa.由f x 0,得x a或x a,由

12、f30 ,得 x a 或 x -.3x 0,得 a x -.3函数f x的单调递减区间为a, a ,单调递增区间为311x【例题2(1)当a1时，fxlnxx3,fx-1x0,xx令fx0,解得0x1,所以函数fx在(0,1)上单调递增；令f x 0,解得x 1 ,所以函数f x在1,上单调递减;f x - a. x上包成立，所以函数f x在0, 上单调1一 1x 1 ,所以函数f x在0,；上单调递增;所以当x1时取极大值，极大值为f12,无极小值.(2)函数fx的定义域为0,1当a0时，f(x)-a0在0,x递增；当a0时，令fx0,解得01一.1令fx0,解得x二所以函数fx在，上单调递

13、减.综上所述，当a0时，函数fx的单调增区间为0,;当20时，函数fx1、一，、,的单调增区间为0,-,单调减区间为a【变式训练2】解对f(x)求导得贝U 4x28x + 3 = 0,一x1+ax22axr4rt一f(x)=e'1+ax22.当a=3时，右f(x)=0,【例题3】1)f' x 2x(xa) (x24)3x22ax(2)由 f 1f(x)(x24)(x2)12，3x1x2 4x2f( 2)fmax(x)3x2f(2)f( 1)16920 5509 62750fmin (x) 27i31一一解得x1=2,x2=2.结合，可知x(一°°,12)12

14、13(2,2)323(1+OO)f'(x)十0一0十f(x)极大值极小值1J31所以x1=2是极小值点，x2=2是极大值点f(x)在R上单调递增,所以当 x ( ,ln( 2a)【变式训练3】1)当a0时，函数f(x)ex2a0当a0时，f(x)ex2a,令ex2a0,得xln(2a)时，f(x)0,函数f(x)单调递减；当x(ln(2a),)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.(2)由(1)可知，当a0时，函数f(x)ex2ax0,不符合题意.当a0时，”乂)在(，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a),)上单调递增.当ln(2a)1,IP|a0时，f(x)最小值为f(1)2ae

15、.e.解2ae0,得a符合题意.2e当ln(2a)1,即a万时，f(x)最小值为f(ln(2a)2a2aln(2a),解2a2aln(2a)0,得ae,不符合题意.应用体验：1 .D【解析】函数的定义域为0,，令y所以x 0,1 ,故选D.考点：求函数的单调区间.2 .A【解析】导数为f x ex x ex区间为1,.考点：利用导数求函数的单调区间.3 .C【解析】f x ex x 3 ex ex x所以函数f x的单调增区间为2,4 .【解析】f x 今注，由f x x x当0 x 2时，f x 0, f x递减,1 x 11 0,解得x 0,1 ,又x 0, x x1 xex,令f x 0

16、,得x 1 ,所以减2 ,令 f x ex x 20,解得 x 2,.故选C.x 0得x 2,又函数定义域为0,当x 2时，f x 0, f x递增，因此x2是函数fx的极小值点.故选D.考点：函数的极值点.5.D【解析】Qf(x)2x33x2a,fx6x26x6xx1,令fx0,可得x0,1,容易判断极大值为f0a6.考点：函数的导数与极值.复习与巩固A组1.C【解析】由fx图象可知函数fx在，c上单调递增，在c,e上单调递减，在e,上单调递增，又a,b,c,c，且abc,故fcfbfa.考点：利用导数求函数单调性并比较大小.2.B【解析】fx2xa,由题意可得f121a2a0,a2.故选B

17、.x1考点：极值点问题.3.D【解析】fxex1,令fx0,得x0.1.11又f0e001,f1e11,f111，且e11-e2=e 2e e0,所以f1,故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值4.一,3【解析】由题意得f(x)0在R上恒成立，则fx3x22xm0,即m3x22x包成立.令gx3x22x,则mgxmax,因为gx3x22x为R上的二次函所以gxmax5.0【解析】x26xae3xx2eaxe2c3x6axxe由题意得0.考点：导数与极值.6.1【解析】因为f（x）e0,f(x)0x0,所以f(x)在1,0单调递减，在0,1单调递增，从而函数f(x)ex*在1,1上的最小值

18、是f(0)e001.考点：函数的最值与导数.7.【解析】1x2lnx的定义域为0,21-，令fx0,贝Ux1或1（舍去）.当01时，fx0,fx递减，当x1时,fx0,fx递增,的递减区间是0,1,递增区间是1,考点：利用导数求函数的单调区间.,、18.(1)a1(2)44、e【解析】（1）函数fxax,xlnxlnx1lna,由题意可得0在x1,上包成立，1ln2x1lnx1lnx1,lnx0,1.一一10时，函数t2lnx2(2)当 a 2时，f xxlnx121nx2x,fx2lnxInx1 （舍去），即x ee.令fx0,得21n2xInx10,解彳#1nx2或Inx2当ixve时，f

19、xo,当xve时，fxo,fx的极小值为fee4n.B组1.D13【解析】因为函数fxx211nx3在区间a1,a1上不单调，所以22,fx2x4x1在区间a1,a1上有零点，2x2x,，i1.由f x 0,得x ,则2a10,31 得1a3,故选D.a1a1,22考点：函数的单调性与导数的关系.0 ,所以y x3 2ax a在0,1上单调2.C【解析】y3x22a,当a0时，y递增，在0,1内无极值，所以a0符合题意；当a0时，令y0,即02c八右刀/曰6a.6a也6a6a3x2a0,解得x1,x2，当x,U,时，3 333y0,当x强，恒时，y0,所以yx32axa的单调递增区间为33限等

20、，单调递减区间为手手，当x好时原函数取得极大值，当x退时，原函数取得极小值，要满足原函数在0,1内无极3值，需满足年1,3U -2,解得ae.综合得，a的取值范围为,02故选C.考点：导函数，分类讨论思想3.C【解析】fx3x23x3xx1,当fx0时，x1或x0,当fx0时，0x1,所以fx在区间1,0上函数递增，在区间0,1上函数递减，所以当x0时，函数取得最大值f0a3,则fxx33x23,所以21 5一，一一1f11,f15,所以最小值是f11.2 22考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.一一一1,11,4.解析：由题意知f(x)=x+2a->0在4，2上恒成立，即2a>

21、x+-在x3x2 上恒成立，=一x+max="|,.2a"|,即a1*3 x333答案：4,+0035.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法.由f'(x)=3x2a>2,4ax+a2=0得x1=二，x2=a.又x<2<x2,a2<a<6.3<232答案：(2,6)6 .解析：=f(x)=x2exax,f'(x)=2xexa,.函数f(x)=x2exax在R上存在单调递增区间，.f'(x)=2x-ex-a>0,即a02xex有解，设g(x)=2xex,则g'(x)=2ex,令g'(

22、x)=0,解得x=ln2,则当x<ln2时，g'(x)>0,g(x)单调递增,当x>ln2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，.当x=ln2时，g(x)取得最大值，且g(x)max=g(ln2)=2ln22,aw2ln2-2.答案：(8,2in2-2)7 .解：(1)由题意得x>0,f'(x)=12+4xx由函数f(x)在定义域上是增函数，得f'(x)>0,即a>2x-x2=-(x-1)2+1(x>0).因为一(x1)2+1&1(当x=1时，取等号),所以a的取值范围是1,+OO).2 2)g'(x)=ex21+2lnxx,由(1)得a=2时，f(x)=x2lnx-2+1,xx且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)=0,所以，当x(0,1)时，f(x)<0,当xC(1,+8)时，f(x)>0.所以，当x(0,1)时，g'(x)>0,当x(1,+8)时,g'(x)<0.故当x=1时，g(x)取得最大值一e.8 .解：(1)当k=1时，f(x)=(x-1)ex-x