导数的基本概念及性质应用

1、导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2 、能运用导数求解单调区间及极值、最值3 、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式1、导数的概念函数y=f(x)的导数f(x),就是当X0时，函数的增量y与自变量的增量x的比g的极限，即工/yf(XAx)-f(x)f(x尸lixm0衣=lixm0说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点的导数都存在，就说在区f(x)间(a,b)内可导，其导数也是(a,b)内的函数，叫做f(

2、x)的导函数，记作f(x)或yx,函数f(x)的导函数f(x)在xx0时的函数值f(x0)，就是f(x)在x0处的导数。3、导数的几何意义设函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0,y0)处的切线斜率。4、求导数的方法(1)基本求导公式c0(xm)mxm1(mQ)(sinx)cosx(cosx)sinx(ex)ex(ax)axIna(lnx)+(logx)xh(2)导数的四则运算(u v)(uv) u v uv圈)(v0)(3)复合函数的导数设ug(x)在点x处可导，y=在点f(x)处可导，则复合函数fg(x)在点x处可导，1fx(x)f(u)(x)

3、导数性质：1、函数的单调性设函数y=f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则f(x)为增函数；若f(x)f(x。),则称f(x0)为函数的一个极大(小)值点。称x0为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。求导数f(x)求方程f(x)=0的根检验f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0,导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个f(x)=0的方程3 .函数的最大值与最小值设y=f(x)是

4、定义在区间a,b上的函数，y=f(x)在(a,b)内有导数，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行。求y=f(x)在(a,b)内的极值。将y=f(x)在各极值点白极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y=f(x)在a,b上单调增加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y=f(x)在a,b上单调减少，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则limf(x0ax)f(x0ax)等于()xx

5、(x0)(x0)(x0)设f (x)在x0处可导lxm0f(x0 x) f(x0)x题型二导数的几何意义、物理意义2x【例2】(1)求曲线y-在点(1,1)处的切线万程；x1t12(2)运动曲线万程为S-2t,求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点p(x,y)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间312(1) yf(x)xx2x52(2)(3)(4)x21k22x2x(k0)In题型四【例4利用导数求函数的最(极)值求函数f(x)x33x1在闭

6、区间-3,0上的极值、最大值、最小值题型五【例5】：原函数图像与导函数图像1、设f(x)是函数f(x)的导函数，y=f(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是A)(B)(C)(D)2、函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值。(I)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(II)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。f x

7、的图象经过点(1,【例7】已知函数fxaUb女cx在点x0处取得极大值5,其导函数y0),(2,0)如图所示.求:(1)xo的值；(2)a、b、c的值.例8已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值【例9】已知f(x)ax4bx2c的图象经过点(0,1),且在x1处的切线方程是yx2(1)求yf(x)的解析式；(2)求yf(x)的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10(1)如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是()A.(0,+)B.0,+)C.(3,+)D.3,+)(2)

8、如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是32【例11】已知函数fxaxxbx2a,b,cR且a0在区间,0上都是增函数，在（0,4）上是减函数.（1）求b的值；（2）求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量a（石，i）,b（-,）,若存在不同时为0的实数k和t,使22a（t23）b,y卜,tb,且xy,试确定函数kf（t）的单调区间例题答案：【例1】解：limf(xax)f(xax)x0xlimf(xax)f(x)f(x)f(x0ax)x0x.f(x0ax)f(x0).f(xax)f(x0)alim-alim-ax0axax0ax2af/(%)故选(

9、C)【变式】：-1【例2】(1)y222(x21)2x2x22x2(x21)2(x21)2【例3】【例4】【例5】【例6】解:.22y|x1=因此曲线yS(1)(2)(3)(4)0,即曲线在点(1,1)处的切线斜率2xx21(2t2)k=0在(1,1)处的切线方程为t22t(t1)t44ty=14tS|t3x227122611o27(3x2)(x1)23)(1,)时丫0(I1)x212-x4xf)(1,0)，(0,k2-2xk)(k,k,0)(0,k)y0k)(k,4x21(0,2)y0略，注意强调学生的步骤完整性1、C分析:(1)解得a=1f(x)k,0)(0,k)定义域为(0,(2(1)分

10、析x=1处的极值情况，关键是分析x=1左右f(x)的符号(2)f(x)b=0.3=x-3x,令f(x)=0,得若xC(-00要分清点A(0,16)是否在曲线上.2=3ax+2bx-3,依题意，f(1)=ff(x)=3x23=3(x+1)(x1).x=-1,x=1.1)U(1,+8),则f(x)0,=3a2b30,(1)=0,即3a2b30.故f(x)在(8,1)上是增函数，f(x)在(1,+8)上是增函数.若xC(1,1),则f(x)0,故f(x)在(1,1)上是减函数.所以f(1)=2是极大值，f(1)=2是极小值.(2)曲线y=x33x,点A(0,16)不在曲线上，设切点M(x(by(0,

11、则y(o=x033x.f(x。)=3xo2-3,，切线方程为yyo=3(x。例8解：f ( x) =3x +2ax+b.据题意,1)(xx。).代入A(0,16)得16xo3+3xo=3(x。21)(0x。).解得x0=-2,.M(-2,2),切线方程为9xy+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数fx的增减变化如下表:x,111,222,fx+0-0+fx极大极小/(1)fx在x=1处由增变减，故f1为极大值，即x0=1.(2)由于fx3ax22bxc,f103a2bc0a2f2012a4bc0b9f15abc5c12一、21,3是万程3

12、x+2ax+b=0的两个根，由韦达te理得2a3一a=一3,b=一9f(x)=x3-3x2-9x+c.f(1)=7,.c=2极小值f(3)=333X329X3+2=25，极小值为25,a=-3,b=-9,c=2【例9】解：(1)f(x)ax42bxc的图象经过点(0,1),则c1,一，、3.f(x)4ax2bx,kf(1)4a2b1,切点为(1,1),则f(x)ax4bx2c的图象经过点(1,1)【例【例【例三、1.2.3.1,得a|,b10】11】12】f(x)(2)f(x)10x39x0,3、历100,或x3-.1010单调递增区间为(3-.103.10k0)，(丁(1)A(-解：由条件知

13、x2fx3ax已求b0,为极大值点，则23a解：由回(t24kt3，0：0是函数y2xb,令的极值点.0,得b0.f6a3a2x3ax0_2_.由条件知x03az应为极小值点.又知曲线在区间(3a11-0,得a062,tb4)上是减函数.0,2,b3t130,k4(t0,ka2tabk(t2t(t23)b2032f3t所以增区间为课堂演练:若曲线y=f(x。)函数f(x)A.函数323y=x3A.0133t),f(t)1(t3t)(x)在点(0,得t,1),(1,1,或t1;3t24);减区间为(1,1)。x,f(x)处的切线方程为(x0)0B.a0C.a=1D.a=-37 .与直线2x6y+

14、1=0垂直，且与曲线y=x3+3x21相切的直线方程是.8 .已知a为实数，f(x)(x24)(xa)。求导数f(x)；若f(1)0,求f(x)在2,2上的最大值和最小值；若f(x)在(8,2)和2,+8上都是递增的，求a的取值范围1-6AAADAA+y+2=09 .解：由原式得f(x)x3ax24x4a,f(x)3x22ax4.1 919由f(1)0得a，此时有f(x)(x4)(x),f(x)3xx4.2 24由f(1)0得x或x=-1,34 509又f(一)一,f(1)-,f(2)0,f(2)0,3272,一一9一一50所以f(x)在2,2上的最大值为9,最小值为50.227解法一：f(x)3x22ax4的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线，由条件得f(2)0,f(2)0,即 4a 8 0/.-2a2时，f(x)0,从而xi-2,x22,即牛12a6解不等式组得2WaW2.a2126a.，a的取值范围是2,2.四、课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数