11正弦定理和余弦定理习题课

1、1.1 1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理习题课习题课题型一题型一 正弦定理的应用正弦定理的应用 (1)(1)在在ABCABC中中, ,a a= ,= ,b b= ,= ,B B=45=45. . 求角求角A A、C C和边和边c c； （2 2）在）在ABCABC中，中，a a=8=8，B B=60=60，C C=75=75. .求边求边b b 和和c c； （3 3）在）在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别是分别是A A,B B,C C 的对边长，已知的对边长，已知 ，且，且a a2 2- -c c2 2= = acac- -bcbc，求，求A A及及 的值的值. .

2、 已知两边及一边对角或已知两角及已知两边及一边对角或已知两角及 一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注 意解的个数的判断意解的个数的判断. .32cBbsin题型分类题型分类 深度剖析深度剖析2acb解解 .23sinsinsin) 1 (ABbAa得由正弦定理a a b b,A A=60=60或或A A=120=120. .当当A A=60=60时，时，C C=180=180-45-45-60-60=75=75, ,;226sinsinBCbc当当A A=120=120时，时，C C=180=180-45-45-120-120=15=15. .226

3、sinsinBCbc.226,15,120.226,75,60cCAcCA或(2)(2)B B=60=60, ,C C=75=75,A A=45=45. .（3 3）a a，b b，c c成等比数列，成等比数列，b b2 2= =acac，又，又a a2 2- -c c2 2= =acac- -bcbc，b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =bcbc. .在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得. 434sinsin, 64sinsinsinsinsinaACcaABbCcBbAa得由正弦定理.60,212cos222AbcacbA （1 1）已知两角一边可求第三角，解

4、这）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. .（2 2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意解题的难点，应引起注意. .2360sin60sinsin,60,.sinsin,22acbcBbAacbaAbBABC由正弦定理得中在题型二题型二 余弦定理的应用余弦定理的应用 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别是角分别是角A A，B B，C C 的对边，且的对边，且

5、（1 1）求角）求角B B的大小；的大小； （2 2）若）若b b= = ，a a+ +c c=4=4，求，求ABCABC的面积的面积. . 由由 利用余弦定理利用余弦定理 转化为边的关系求解转化为边的关系求解. . 解解 （1 1）由余弦定理知：）由余弦定理知：.2coscoscabCB13,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内角整理得得将上式代入.433sin21. 3),211 (216cos2

6、2)(,cos232, 4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入将 (1) (1)根据所给等式的结构特点利用余弦根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. .（2 2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用整体思想、方程思想在解题过程中的运用. .知能迁移知能迁移2 2 已知已知ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B B，C C的的 对边分别为对边分别为a a, ,b b, ,c c, ,若

7、若ABCABC的面积为的面积为S S，且，且 2 2S S= =（a a+ +b b）2 2- -c c2 2，求，求tan tan C C的值的值. . 解解 依题意得依题意得ababsinsin C C= =a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2+2+2abab, , 由余弦定理知由余弦定理知, ,a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2=2=2ababcos cos C C. . 所以所以, ,ababsinsin C C=2=2abab(1+cos (1+cos C C),), 即即sin sin C C=2+2cos =2+2cos C C, ,.342tan12t

8、an2tan. 22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三题型三 三角形形状的判定三角形形状的判定 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别表示三个内角分别表示三个内角 A A、B B、C C的对边，如果（的对边，如果（a a2 2+ +b b2 2）sinsin（A A- -B B）= = （a a2 2- -b b2 2）sinsin（A A+ +B B），判断三角形的形状），判断三角形的形状. . 利用正弦定理、余弦定理进行边角利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，转化为边边关系或角角关系互化，转化为边边关系或角角关系. . 解解 方法一方

9、法一 已知等式可化为已知等式可化为 a a2 2sinsin（A A- -B B）-sin-sin（A A+ +B B） = =b b2 2-sin-sin（A A+ +B B）-sin(-sin(A A- -B B) ) 2 2a a2 2cos cos A Asin sin B B=2=2b b2 2cos cos B Bsin sin A A 由正弦定理可知上式可化为：由正弦定理可知上式可化为： sin sin2 2A Acos cos A Asin sin B B=sin=sin2 2B Bcos cos B Bsin sin A Asin sin A Asin sin B B(sin

10、 (sin A Acos cos A A-sin -sin B Bcos cos B B)=0)=0sin 2sin 2A A=sin 2=sin 2B B, ,由由0202A A,2,2B B20;0;若若A A为直角，则为直角，则b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2=0=0；若；若A A为钝角，为钝角，则则b b2 2+ +c c2 2- -a a2 20.0.（2 2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时出内角

11、的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用要注意应用A A+ +B B+ +C C=这个结论这个结论. .知能迁移知能迁移3 3 在在ABCABC中，已知中，已知2sin 2sin A Acoscos B B= = sin sin C C，那么，那么ABCABC一定是（一定是（ ） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.正三角形正三角形 解析解析 方法一方法一 因为在因为在ABCABC中，中，A A+ +B B+ +C C=， 即即C C=-=-（A A+ +B B），所以），所以sin sin C C=sin(=sin(

12、A A+ +B B).). 由由2sin 2sin A Acos cos B B=sin =sin C C, , 得得2sin 2sin A Acos cos B B=sin =sin A Acos cos B B+cos +cos A Asin sin B B, , 即即sin sin A Acos cos B B-cos -cos A Asin sin B B=0,=0,即即sin(sin(A A- -B B)=0.)=0.又因为又因为-A A- -B B,0,2cos 0,2cos B B=1,=1,B B是三角形的内角，是三角形的内角，B B=60=60. 6. 6分分（2 2）在）在

13、ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=(=(a a+ +c c) )2 2-2-2acac-2-2acaccos cos B B, 8, 8分分将将b b= ,= ,a a+ +c c=4=4代入整理，得代入整理，得acac=3. 10=3. 10分分 7.43360sin23sin21BacSABC故1212分分 在求角问题中，一般都是用正、余弦定在求角问题中，一般都是用正、余弦定理将边化为角理将边化为角. .由三角函数值求角时，要注意角的由三角函数值求角时，要注意角的范围范围. .在应用余弦定理时

14、，要注意配方这一小技在应用余弦定理时，要注意配方这一小技巧，通过配方，使之出现（巧，通过配方，使之出现（a a+ +b b）2 2或（或（a a- -b b）2 2. .将将a a+ +b b或或a a- -b b作为一个整体，可以带来非常好的效果作为一个整体，可以带来非常好的效果. .知能迁移知能迁移4 4 （20082008辽宁理，辽宁理，1717）在在ABCABC中，中， 内角内角A A、B B、C C对边的边长分别是对边的边长分别是a a、b b、c c. .已已 知知c c=2,=2, （1 1）若）若ABCABC的面积等于的面积等于 ，求，求a a、b b的值；的值； （2 2）若

15、）若sin sin C C+sin(+sin(B B- -A A)=2sin 2)=2sin 2A A, ,求求ABCABC的的 面积面积. . 解解 (1)(1)由余弦定理及已知条件由余弦定理及已知条件, ,得得a a2 2+ +b b2 2- -abab=4.=4. 又因为又因为ABCABC的面积等于的面积等于 ， 所以所以 ababsinsin C C= ,= ,所以所以abab=4.=4.3C32133. 2, 2, 4, 422baababba解得联立方程组(2)(2)由题意得由题意得sin(sin(B B+ +A A)+sin()+sin(B B- -A A)=4sin )=4si

16、n A Acoscos A A, ,即即sin sin B Bcos cos A A=2sin =2sin A Acos cos A A, ,当当cos cos A A00时，得时，得sin sin B B=2sin =2sin A A, ,由正弦定理得由正弦定理得b b=2=2a a, ,.332,334,6,2,0cosbaBAA时当.332sin21.334,332,2, 422CabSABCbaababba的面积所以解得联立方程组方法与技巧方法与技巧1.1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点重点, ,利用三角形内角和、边、角之间的关系利用

17、三角形内角和、边、角之间的关系, , 三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求 解三角形，以及利用它们解决一些实际问题解三角形，以及利用它们解决一些实际问题. .2.2.应熟练掌握和运用内角和定理应熟练掌握和运用内角和定理: : A A+ +B B+ +C C=, =, 中互补和互余的情况中互补和互余的情况, , 结合诱导公式可以减少角的种数结合诱导公式可以减少角的种数. .2222CBA思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得正、余弦定理结合得sinsin

18、2 2A A=sin=sin2 2B B+sin+sin2 2C C- - 2sin 2sin B Bsinsin C Ccoscos A A, ,可以进行化简或证明可以进行化简或证明. .4.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种 途径：途径： （1 1）化边为角；（）化边为角；（2 2）化角为边，并常用正弦）化角为边，并常用正弦 （余弦）定理实施边、角转换（余弦）定理实施边、角转换. .失误与防范失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角的对角求另一边的对角, ,进而求出其他的边和角进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论讨论. .11.11.在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C 所对边长分别为所对边长分别为a a、b b、c c, , 设设a a、b b、c c满足条件满足条件b b2 2+ +c c2 2- -bcbc= =a a2 2和和 求角求角A A 和