2　圆的对称性

1、2圆的对称性关键问答在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都具有什么关系？弧、弦、圆心角之间的相等关系成立的前提是什么？1.以下命题中正确的有()(1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)圆是中心对称图形；(3)长度相等的两条弧是等弧；(4)圆是轴对称图形 ,任何一条过圆心的直线都是它的对称轴A4个 B3个 C2个 D1个2如图321 ,AB是O的直径 ,D ,C是劣弧EB的三等分点 ,BOC40° ,那么AOE的度数是()图321A40° B60° C80° D120°3如图322 , ,假设

2、AB3 ,那么CD_图322命题点 1利用圆的对称性解题热度：81%4.如图323所示 ,三个大小不同的圆的圆心都为O ,AB4 cm ,CDAB于点O ,那么图中阴影局部的面积为_cm2.图323方法点拨求解不规那么图形的面积 ,解题的关键是将不规那么图形转化为规那么图形.5学校有一个圆形花坛 ,现要求将它三等分 ,以便在上面种植三种不同的花 ,如图324 ,你认为符合设计要求的图案是_(将所有符合设计要求的图案的序号都填上)图324命题点 2圆心角、弧、弦之间的关系热度：74%6.如图325 ,在O中 ,AB2CD ,那么()图325A.>2 B.<2C.2 D.与2的大小关系

3、不能确定易错警示注意弧与弦的对应关系.7如图326 ,C ,D为半圆的三等分点 ,那么以下说法正确的有()图326；AODDOCBOC；ADCDOC；AOD沿OD翻折与COD重合A4个 B3个 C2个 D1个8如图327 ,在三个等圆上各有一条劣弧： , , ,如果 ,那么ABCD与EF的大小关系是()图327AABCDEF BABCDEFCABCDEF D大小关系不确定命题点 3利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明热度：100%9.如图328 ,AB是O的直径 ,四边形ABCD内接于O ,假设BCCDDA4 cm ,那么O的周长为()图328A5 cm B6 cm C8 cm D9 c

4、m解题突破利用同圆中 ,等弦所对的圆心角相等 ,再结合圆的性质 ,即可解决.10.形如半圆的量角器的直径为4 ,把它放在如图329所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合 ,零刻度线在x轴上) ,连接60°和120°刻度线的端点P ,Q ,线段PQ交y轴于点A ,那么点A的坐标为() 图329A(1 ,) B(0 ,) C( ,0) D(1 ,)方法点拨注意坐标、线段长度、角度三者之间的相互转化拓展探究如果将条件“连接60°和120°刻度线的端点改为“连接45°和135°刻度线的端点 ,那么结果又是多少？11如图3210

5、,O经过五边形OABCD的四个顶点假设的度数是150° ,A65° ,D60° ,那么的度数是()图3210A25° B40° C50° D55°12半径为5的O中 ,弦AB5 ,弦AC5 ,那么BAC的度数是_13.2019·牡丹江如图3211 ,在O中 , ,CDOA于点D ,CEOB于点E ,求证：ADBE.图3211解题突破连接OC ,你能得到ODOE吗？方法点拨证明两条线段相等的方法：(1)证明三角形全等；(2)证明等腰三角形；(3)利用相等线段的和(或差)证明.14.如图3212 ,A ,B ,C ,D

6、 ,E ,F是O的六等分点(1)连接AB ,AD ,AF ,求证：ABAFAD；(2)假设P是圆周上异于六等分点的动点 ,连接PB ,PD ,PF ,写出这三条线段长度的数量关系(不必说明理由)图3212易错警示需考虑点P的位置情况.15：如图3213 ,P为O的直径AB上的一点 ,EF ,CD为过点P的两条弦 ,且DPBEPB.图3213求证：(1)CDEF；(2).16：如图3214 ,点A是半圆上的一个三等分点 ,B是的中点 ,P是直径MN上一动点 ,O的半径为1 ,那么APBP的最小值为_图3214解题突破(1)如何将两线段之和最小的问题转化为“两点之间线段最短的问题？(2)如何计算两

7、点之间的距离？17如图3215 ,A ,B是圆O上的两点 ,AOB120° ,C是劣弧AB的中点(1)试判断四边形OACB的形状 ,并说明理由；(2)延长OA至点P ,使得APOA ,连接PC ,假设圆O的半径R2 ,求PC的长图321518.如图3216 ,AOB90° ,C ,D是的三等分点 ,连接AB与OC ,OD分别交于点E ,F.求证：AEBFCD.图3216解题突破连接AC ,BD ,先证明ACAE ,BDBF ,再结合ACCDBD即可解决问题.详解详析1C2B解析 D ,C是劣弧EB的三等分点 ,BOC40° ,EODCODBOC40° ,

8、AOE60°.应选B.33解析 , ,即 ,CDAB3.4解析 根据圆的对称性可得图中阴影局部的面积正好是大圆面积的 ,故阴影局部的面积为(4÷2)2(cm2)5解析 和都是先把圆三等分 ,然后根据圆的旋转不变性 ,在每一局部内做了相同的图形；是把圆六等分 ,每一种占其中的2份故符合要求6A解析 如图 ,把2作出来 ,变成一段弧 ,然后比拟2与的大小作 ,那么2.在CDE中 ,CDDE>CE ,2CDCE.AB2CD ,ABCE , ,即>2.7A解析 C ,D为半圆的三等分点 ,.根据在同圆或等圆中 ,等弧所对的圆心角相等 ,等弧所对的弦相等知ADCDBC ,

9、AODDOCBOC60°.又AOODOCOB ,AODCODCOB ,四种说法都正确应选A.8C解析 在上取一点M ,使 ,那么 ,ABEM ,CDFM.在MEF中 ,FMEM EF ,ABCDEF.9C解析 连接OD ,OC.AB是O的直径 ,四边形ABCD内接于O ,BCCDDA4 cm , ,AODDOCBOC60°.又OAOD ,AOD是等边三角形 ,OAAD4 cm ,O的周长2×48(cm)10B解析 连接OQ ,OP ,那么POQ120°60°60°.又OPOQ ,POQ是等边三角形 ,PQOPOQ×42 ,O

10、PQOQP60°.又QAO90° ,AQOQcos60°1.在RtAOQ中 ,由勾股定理可得OA ,点A的坐标为.应选B.11B解析 连接OB ,OC.OAOBOCOD ,OAB ,OBC ,OCD都为等腰三角形A65° ,D60° ,1180°2A180°2×65°50° ,2180°2D180°2×60°60°.的度数是150° ,AOD150° ,3AOD12150°50°60°40

11、6; ,即的度数是40°.12105°或15°解析 易得OAC ,OAB的度数 ,那么BAC的度数应为OAC与OAB度数的和或差如图 ,连接OC ,OA ,OB.OCOAAC5 ,OAC是等边三角形 ,OAC60°.OAOB5 ,AB5 ,OA2OB250AB2 ,OAB是等腰直角三角形 ,OAB45°.点C的位置有两种情况 ,如图 ,BACOACOAB60°45°105°；如图 ,BACOACOAB60°45°15°.13证明：连接OC , ,AOCBOC.CDOA于点D ,CEOB

12、于点E ,CDOCEO90°.在COD与COE中 ,DOCEOC ,CDOCEO ,COCO ,CODCOE ,ODOE.又AOBO ,ADBE.14解：(1)证明：连接OB ,OF.A ,B ,C ,D ,E ,F是O的六等分点 ,AD是O的直径 ,且AOBAOF60°.又OBOAOF ,AOB ,AOF是等边三角形 ,ABAFOAOD ,ABAFAD.(2)当点P在上时 ,PBPFPD；当点P在上时 ,PBPDPF；当点P在上时 ,PDPFPB.15证明：(1)过点O作OMEF于点M ,ONCD于点N ,连接OD ,OE ,OF.DPBEPB ,OMON.又ODOE ,

13、RtODNRtOEM ,DNEM.OEOF ,OMEF ,M是EF的中点同理 ,N是CD的中点 ,EMEF ,DNCD ,CDEF.(2)CDEF , , ,即.16.解析 通过作辅助线 ,根据“两点之间线段最短可将APBP的最小值转化为求直角三角形的斜边长作点A关于MN的对称点A ,根据圆的对称性 ,知点A必在O上 ,连接BA交MN于点P ,连接PA ,此时PAPBPAPBAB ,AB的长即为PAPB的最小值连接OA ,OA ,OB. ,AONAON60°. ,BONAON30° ,AOB90° ,AB ,即APBP的最小值是.17解：(1)四边形OACB是菱形理由：连接OC ,AOB120° ,C是劣弧AB的中点 ,AOCBOCAOB60° ,又OAOCOB ,AOC与BOC都是等边三角形 ,ACOAOCOBBC ,四边形OACB是菱形(2)APOA ,ACOA ,APAC ,PACPOAC30° ,OCP90°.R2 ,OC2 ,OP4 ,PC2 .18证明：连接AC ,BD ,AOB90°