矩阵及其运算[1]

1、第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的九章算术，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论

2、，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧矩阵分块法。本章要求掌握矩阵的运算，会求可逆阵的逆矩阵。§1 矩 阵 一. 矩阵的定义1、 引例 10 求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。设含个m方程、n个未知数的线性方程组为 (1)(1)的系数共有m×n个数，可排成一个m行n列的矩形的数阵 Þ 且这个数阵与(1)式左端构成一一对应，称为线性方程组(

3、1)的系数矩阵。20 列昂杰夫投入产出模型 从经济角度来看，每个部门都有双重身份： 作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要 产出 作为消费者又消费着其他部门生产的产品 投入 设某国民经济(或某地区的经济)有n个经济部门。为简单起见，假定每部门只生产一类产品。为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品:表示每生产1万元第j类商品要消耗掉万元的第i类商品，称为投入系数，显然。例如：表示每生产1万元第四类商品要消耗掉0.45万元的第三类商品。所有的投入系数共n´n个，可排成一个n行、n列的数表，将数表用一括号括起来，即有称为投入产出矩阵。例如 运行正常！但效益最好的是生产第2

4、类产品的部门。A: 第一列元素分别表示生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类商品及第三类商品的价值（用货币表示）；同理，第二（三）列的元素则分别表示生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的值。若>1，则表明每生产1万元的第i类产品就要消耗掉1万多元的第j类产品亏损！若A的某列元素的和 > 1意味着每生产1万元此类产品消耗了1万多元亏损！这种由m行n列个数构成的数表在数学上就被抽象成矩阵的概念。定义 由m×n个数排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵，简称m´n矩阵，记为A.这m´n个数称为矩阵A的元素，也简称为元，元素位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的

5、(i,j)元，矩阵A也常简记为()，m´n矩阵A也记为或.注 矩阵和行列式不一样！ 矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！实矩阵元素均为实数的矩阵。 复矩阵元素中有复数的矩阵。 注 我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。 方阵行数与列数都等于的矩阵称为n阶矩阵，或强调称为n阶方阵，常记为.行矩阵只有一行的矩阵AB，又称行向量，也记为.列矩阵只有一列的矩阵，又称列向量。同型矩阵行数相等，列数也相等的矩阵。矩阵的相等若A、B为同型矩阵，且对应元素相等，即就称矩阵A与B相等，记作A = B.零矩阵元素均为零的矩阵，记为O. 注意：不同型的零阵是不相等的。例1 某厂向三个

6、商店发送四种产品的数量就可用矩阵表示 A，其中表示工厂向第i店发送第j种产品的数量。单价单位重量 且这四种产品的单价和单件重量也可表示为矩阵 ，其中为第i种产品的单价，为第i种产品的单件重量。例2 四城市间的单线航线通航图如右图所示，令 则此航线图可用矩阵表示为 ， 一般地，有限多个点之间的单向或双向通道图都可以这样用矩阵表示，它实际上就是用矩阵作工具进行研究的一个数学分支图论的内容。方阵A称为图的邻接矩阵。例3 若个n变量与m个变量之间有变换关系 ， (2)称(2)为一个从n个变量到m个变量的线性变换，其中为常数，显然(2)的系数可构成一矩阵，称为线性变换(2)的系数矩阵。给定线性变换(2)

7、，其系数矩阵就可被唯一确定；反过来，给定一矩阵作为线性变换的系数矩阵，则就唯一确定一个线性变换。这表明线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，这使得我们可将对线性变换的研究转化到对矩阵的研究上，或说通过研究矩阵理论达到研究线性变换理论的目的，体现了矩阵理论的一个应用。因此对一些特殊线性变换对应的矩阵应有足够的认识是重要的。例如恒等变换n阶单位阵： 两个变量到两个变量的线性变换可给出几何解释： 平面上(x, y)到()的坐标变换对角阵diag 投影变换 旋转变换 Þ .这表明这个线性变换将平面上的点变为，或说将极坐标系中坐标为(r,q )的点P变为极坐标为(r,q +j)的点P1，从几

8、何上看就是将向量的幅角增加j长度保持不变，即这是一个以原点为中心旋转j 角的变换，称为旋转变换。 §2 矩阵的运算只有赋予数四则运算，数才有了生命力一样，也只有赋予矩阵运算，它才能有生命力，才能得到更好的应用。我们从最简单运算入手：一、 矩阵的加法即对应元素相加定义2 设有两个m´n矩阵，矩阵 称为矩阵A与B的和，记为A+B. 即有注 同型阵之间才能进行加法运算。 称矩阵-A =为矩阵A的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：. 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。运算规律： 交换律；请自己给出证明 结合律； ； A + O

9、 = A. 即用数l遍乘矩阵A的每一个元素也是转化为数的相乘二、 数与矩阵相乘定义3 矩阵 称为数l与矩阵A的乘积，记为，或. 即有运算规律：请自己给出证明 结合律； 矩阵关于数加法的分配律； 数关于矩阵加法的分配律.注 利用数乘也可以定义负阵和减法。三、 矩阵与矩阵相乘我们回到矩阵的一个抽象背景线性变换，看其一个实际问题：设有两个线性变换 (3)， (4)，要求从变量到变量的线性变换，只需将(4)代入(3)：, (5)线性变换(5)是先作线性变换(4)，再作线性变换(3)的结果，在线性变换里称线性变换(5)是(3)与(4)的乘积，从矩阵的角度分析看：线性变换(5)的矩阵C是由(3)的矩阵A与

10、(4)的矩阵B按一定的运算规律得到的：乘积矩阵的元素 = 左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和： .将这个现象在矩阵理论里反应出来，即从中抽象出矩阵乘法的一般定义。但首先要注意：要想做出左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和必须要求左矩阵的列数=右矩阵的行数。定义4 设是A一个m´s矩阵，B是一个s´n矩阵，记矩阵A与B的乘积为，其中C是一个m´n矩阵， ，注 矩阵乘法定义相当复杂，能否简单些，比如定义成对应元素相乘岂不很容易接受，从而更方便吗？历史上确有人给出过这种形式的定义阿达玛定义，但由于它毫无实际意义，从而没有研究价值，自然消亡了

11、。我们的乘法定义是源于实践，具使用价值。虽然复杂点，但多练习一样应用自如。 回头看引例，所谓求两个线性变换的乘积，实际上只需求它们对应矩阵的乘积：C=AB. 类似与矩阵的加减法，并非任两个矩阵都能相乘，能相乘的关键是：左矩阵的列数 = 右矩阵的列数。例如例4 求矩阵的乘积。解 . 注意两个特殊矩阵的乘积结果，一个1´s的行矩阵与一个s´1的列矩阵的乘积是一个1´1的一阶矩阵，即是一个实数：；. 类似于数的运算，利用矩阵的乘法可定义矩阵的乘方运算矩阵的幂：定义 设A是n阶方阵，定义 ，k为正整数。显然只有方阵的幂才有意义， 矩阵乘法与实数乘法有不同的地方：10 矩阵

12、乘法不满足交换律，即交换相乘顺序可导致不同的结果(注)，或交换后无法相乘。即便是很特殊的情形也未必可交换：例5 矩阵的乘积AB与BA Þ .20 有非零的零因子 上例A, B¹ O，但BA = O.30 不满足消去律 ，但.请记住：这就是矩阵与数的不同之处。但它仍有不少相同之处：请自己给出证明运算规律： 结合律 ； 数乘结合律 ； 分配律 左分配律：；右分配律：.理解为什么叫单位阵了 乘单位阵不变 . 乘方的性质 ；.注 有了以上定义的所有运算即其性质，在运算可运行的条件下，矩阵就可以类似代数运算进行了，如 ，但要注意乘法无交换律。例6 证明旋转变换的乘方从几何直观上看：将

13、向量连续转动n次角j 等同于将其一次转动角nj.证 用数学归纳法。显然当n = 1时结论成立。假设当n = k时结论成立，往证n = k+1时结论也成立： .注 从几何角度看：是将向量一次旋转角n，而是将向量连续旋转n次角，效果一致，故等式的成立是毫无问题的。我们也回头看一下矩阵的乘法在其它实际中的应用：上节例1中向三个店发送四种产品的数量构成了矩阵A，四种产品的单价与单件重量构成总重量总值了矩阵B，作它们的乘积： ，第一列的元素分别表示向三个店发送产品的总值；第二列的元素分别表示向三个店所发送产品的总重量。上节例2四城市间的单线航线通航图可用矩阵A表示，因为分别表示i (k)市到k(j)市有

14、无单向航线，即非0即1，故它们的乘积非0即1，且仅当都为1时其乘积才为1，即有0 i市到k市或k市到j市无单向航线；1 i市到k市和k市到j市都有单向航线，所以表示从i市经一次中转到j市的所有单向航线的总条数； 时，表示i市与其它3个市双向航线的条数。如表明从市经一次中转到市的单向航线只有一条： ；表明从市经一次中转到市的单向航线有两条： 和 ；表明市与其它市的双向航线有两条： 和 ；表明市于其它市无双向航线。上节例3中的线性变换(2)中记系数矩阵A，n个变量X，m个变量Y ，则线性变换(2)可用矩阵的乘法简单地表示为 . 也就是说，线性变换(2)把变量X变成Y，相当于用矩阵A去左乘向量X得到

15、向量Y. 类似地，线性变换(3)与(4)的乘积变换(5)可用矩阵表示为 ，其中X，Y ，T，A,B，.投影变换可表示为，其中,，旋转变换则可表示为.四、 矩阵的转置类似于行列式转置的定义，可以给出矩阵转置的概念。定义5 把矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A的转置矩阵，记为AT.例如，的转置矩阵为。矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律： (转置再转置)； (和的转置) ； (数乘的转置) ； (乘积的转置) .注 乘积的转置等于转置的交换乘积，这个等式给出了求乘积的转置的两种方法，看例7：例7(P.50) 请自读。利用转置概念可得到对称阵的概念：定义 若n阶方阵A满足，即

16、，则称A为对称阵。例8 设列矩阵X满足，E为n阶单位阵，证明H是对称阵，且.证 ， H为对称阵。.注 ，即任一方阵A与它的转值的乘积与和都是对称阵。问题？.注 类似地可给出反对称阵的定义：若n阶方阵A满足，或. 如 ，关于反对称阵有两个有用的结论：10 任一方阵A都可以分解成对称阵与反对称阵的和， .20 奇数阶反对称阵的行列式为零(请自证)。即.注 方阵是很重要的一类矩阵，有它独特的概念与性质。关于方阵，我们已介绍了乘方运算、对称阵和反对称阵的概念，本节的最后继续再介绍几个与方阵关联的概念。五、方阵的行列式定义6 方阵A的元素位置不变构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或A. 注 设，则.

17、实际上，方阵的行列式若按其值分类就两类：0,或非0. 若方阵的行列式 ¹ 0，则称其为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。你能举一些非奇异和奇异矩阵的例子吗？，单位阵都是非奇异阵，对角线元素均不为零的对角阵和三角阵也都是非奇异阵。运算规律 (转置阵的行列式)； (数乘的行列式) ； (乘积的行列式) .注 性质就是行列式的性质1转置性质。 强调 ，只是用 l 去乘行列式的某一行或列，则是用 l 遍乘的每一行或列！ 关于性质强调几点：10 只有两个同阶方阵相乘时，性质猜成立，即，因为后者就不存在；20 虽然，但；分块下三角行列式30 由性质立即可得乘方的行列式性质：.证 设A, B，令二阶行

18、列式，由第一章例10知 ； 另一方面通过行列式的运算，还可将D变成一个分块的副三角行列式，即要将D右下角的矩阵B变为零矩阵O ： ，要将B的第1列元素变成0，只需作运算 ，要将B的第2列元素变成0，只需作运算 ，,要将B的第n列元素变成0，只需作运算 ，即作行列式运算：，相应地就有，这表明 ，又，所以，故结论成立。例9 由行列式各元素的代数余子式构成的矩阵即将放在位上注意E不可缺少 称为A的伴随矩阵。试证： . (*)展开定理最后的重要结论证 设A， 记(bij)，即(bij).即 ， 所以 ；同理可证 akj ). 注 在下节中会看到伴随矩阵是一个与方阵相关的重要概念，(*)式称为伴随矩阵的

19、重要公式。§3 逆 矩 阵实数有四则运算：，除加、减、乘之外还有除法，且可利用乘法定义除法：对任一非零的实数a，都存在唯一的实数，满足，称为a的逆元，并定义 .在矩阵理论中，我们已定义了加、减、乘法，且也有单位元的概念单位阵，那么我们能不能模仿实数运算，给出矩阵的逆元概念，即对于任一矩阵A，有没有矩阵使得。先看个引例。1、 引例 设有一个n个变量到n个变量的线性变换 ， (1)对应用展开定理其系数矩阵为一n阶方阵A，记X， Y ，则(1)可用矩阵乘法表示为 ，若，由克莱姆法则知， . 记 ，即有，其中 ， (2)(2)式表明，变量可用变量线性表示，且这个表示式是唯一的。称线性变换(2

20、)是(1)的逆变换，记逆变换(2)的系数矩阵为B，则(2)可用矩阵乘法表示为. 我们知道线性变换与其系数矩阵构成一一对应。下面的关键是看看线性变换(1)与它逆变换(2)的系数矩阵之间有什么关系？首先提醒一下：一组变量自身到自身的线性变换是恒等变换，它的系数矩阵是单位阵。因为 Þ ； 另一方面，又因为 Þ， Þ （）.但应注意，得到这个等式是有限制条件的： A必须是方阵； ¹ 0. 除去其实际背景，由此抽象出逆阵的概念：2、 定义定义7 对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵。注 (唯一性)若A可逆，则A的逆阵是唯

21、一的。因为若B,C都是A的逆阵，即， 则 .所以逆阵是唯一的。既然唯一，就用一个符号记，记A的逆阵为. 并非每个方阵都是可逆的，如 A， 若A可逆， 设A-1， 则有 Þ 0 = 1， 故A不可逆。问题： (存在性)方阵A满足什么条件时可逆? (如何求)可逆时，怎样求逆阵？3、 可逆的等价条件定理 n 阶方阵A可逆的充要条件是，且可逆时.证 “Þ”： 若A可逆 Þ Þ Þ ¹ 0.“Ü”： 若¹ 0，由伴随矩阵重要公式知 ，由可逆阵定义知 . 注 定理不仅解决了逆阵的存在问题，而且给出了一个求逆阵的方法：.推论 若

22、存在B，使得(或)，则A可逆，且B =.证 由条件可得 Þ ¹ 0，由定理知A可逆，且有 ，同理可证的情形。 注 推论实际上是定义的简化形式，今后它完全替代了可逆的定义，再验证可逆时，只需验证满足推论的条件：(或). 注意积累可逆的等价条件：A可逆 Û Û (或) Û ¹ 0 Û A是非奇异阵。4、 逆矩阵的运算性质 可逆阵A的逆矩阵仍可逆，且； l ¹ 0时，可逆阵的数乘仍可逆，且 数l的逆元与A的逆阵的乘积； 若A、B为同阶可逆矩阵，则仍可逆，且 逆阵的交换积； 可逆阵A的乘方仍可逆，且 乘方的逆阵等于逆阵的乘

23、方，记为； 可逆阵A的转置仍可逆，且 求逆运算与转置运算可交换； 可逆阵A的逆阵的行列式 逆阵的行列式等于原阵行列式的倒置。证 即证 的逆阵是A：按定义的简化形式只需证，这是显然成立的。 同上只需证：. 由数乘结合律知：，故结论成立。 同理也应用定义简化形式即可证得、和. A可逆， ¹ 0，且 Þ . 5、逆阵的求法举例例1 求矩阵A的逆阵.解 .例2 求对角阵的逆矩阵。解 对角阵只有乘对角阵才能等于对角阵，故猜，直接用简化定义验证： ， .注 例1和例2可作为公式用，如，则A，B可逆，且. 关于对角阵的运算有它自己特殊的性质，例如：对角阵与对角阵的乘积是对角元素对应乘积构

24、成的对角阵。习题中也有介绍，应注意总结积累。例3 求的逆矩阵。解 P.56 例10 自读。注 三阶以上矩阵用伴随阵方法求逆阵除非有较多的元素为零，否则计算量很大，要计算n2个n-1阶行列式和一个n阶行列式。所以实际应用价值不大，以后必须另找办法解决逆阵的求法。 小结求逆矩阵方法，现有两种方法：方法一 用伴随阵求。主要应用于二阶矩阵和一些含零较多的矩阵中。方法二：用定义(简化形式)，如例2，主要用于与抽象矩阵的相关题目中。例如：例4 设方阵A满足，证明A可逆，并求.证 Þ Þ A可逆，且. 利用逆阵，还可以解某些矩阵方程，例如例5(P.57例11) 设，求矩阵X使满足 AXB

25、 = C .解 （分析：若A, B可逆，则用左乘上式，右乘上式，有） ， A, B可逆，且 ， ，.例6（编码应用）A B C D E F G H I J K L M N O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15P Q R S T U V W X Y Z ! 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28Welcome!shanshida： 23 5 12 3 15 13 5 27 28 19 8 1 14 19 8 9 4 1将发送数字排成 6×3的矩阵: 。为增加破译难度，收发双方可约定一个保密矩阵：，则.发送者将CA

26、的18个数字按序发出，接收者将收到的数字排成6×3矩阵CA，再右乘A-1：CAA-1 = C.6、伴随矩阵的性质： 可逆 Û A可逆，且； ； ； ； .课后可自己试着证明。 §4 矩阵的分块作用： 简化高阶矩阵运算； 简化矩阵运算的表达形式。一、分块矩阵的概念将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵)，以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。例如A， 或.并也可称为矩阵A的(i, j)块。 注 分块的方式不唯一。二、分块矩阵的运算1、线性运算(加法与数乘) 设矩阵A, B为同型阵，且分块方式相同，l,m为数，则 ，即对应子块作相应的线性运算。分开说就是：加法是对应子块相加，数乘实用数遍乘。2、乘法运算 设A为m´ l矩阵，B为l´ n矩阵，并分块成， 其中A每行子块的列数等于B每列子块的行数，则 ，注 分块阵能进行乘法运算要求两条： A的列数 = B的