北师大八年级下册第1讲等腰三角形与直角三角形讲义

1、等腰三角形与直角三角形【知识梳理】1、等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，（1）底边与腰的夹角叫做底角.（2）性质1:等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.性质2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.0.等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45ABC可以表示为Rt、直角三角形的性质ABC:直角三角形.4（1）直角三角形

2、中，如果两条直角边为a、b,斜边为c,斜边上的高为h,那么它们存在这样的关系：或曲二以.h=定理：直角三角形的两个锐角互余.推理过程：在ABC中，/C=90°,ZA+/B=90°（或以=90°-zB,ZB=90°A）.说明：这一定理应用的前提是RtA,已知一个锐角，求另一个角.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法.（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.=AB.°,AX=30°,.BC90推理格式：二,在ABC中，/C=定理：在直角三角形中，如果一条

3、直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30推理格式：°在公BC中，/C=90BC=AB,."=30°【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，AABC中，D、E分别是AC,AB上的点，BD与CE交于点O,给出下列四个条件:/EBO=/DCO;/BEO=/ODC;BE=CD;OB=OC(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)(2)选择第(1)题中的一种情形，证明ABC是等腰三角形.分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形.解：精品资料分享)，.(1()选择来证明

4、结论成立.2 OB=OC .已知：/EBO= ZDCO求证：AABC是等腰三角形.证明：OB=OC,./OBC=ZOCB.又./EBO=ZDCO,.,.ZABC=ZACB,.AB=AC.ABC为等腰三角形.OB=OC.求证：AO±BC.O为AABC内一点，且例2、如图，在4ABC 中，AB=AC , 证明:BC,与AACO中在AABO .ABO 仁zACO,AB=AC,OB-OG于ao交bc延长yczBAO=/CAO,即/BAD=/CAD,.-.AO±BC.考点二：利用等腰三角形求度数的度数.AD=DE=BE.求/A上，且AB=AC,BC=BD,3例、如图，点D在AC上，点

5、E在AB:分析的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一本题中没有给出一个角的度数，而要求/A的代数式表示，列出代数方程求解.，其他各角都能用x个角的度数为x解：设/A=x.-.AD=DE=EBZDEA=/A=x,/EBD=ZEDB.又./DEA=/EBD+/EDB,.ZEBD=/EDB=x.BDC=ZA+ZABD=,AB=AC.BD=BC,.,.ZBDC=/BCD=/ABC=x中，/A+/ABC+/ACB=180°,在AABC,即x+x+x=180.x=45°,即zA=45°.,求/ABC或是AD、EB延长线的交点，BH=AC的度数.与的高，AD例4

6、、和BE是AABCH是 ADBE的交点时，AD与BEH(1)当是是AABC的高，,BE、AD4=/3=/5=902+/C=Z2+/C=90°,z2=Z1.Bh .BH=AC.BD=AD,./DBA=/6.精品资料分享又/6+/DBA=90°,ZDBA=45°,即ZABC=45°.EB延长线的交点时，是AD、（2）当H的高，是ABC.BE、AD.A=/2=90°,出=90°,./+/H=90°,.CAD+/H=90°, ./=/CAD.又BHuAC, ZDBHWzDAC, .DB=DA, 岳/6.又/5+/6=90&

7、#176;,6=45°, .zABC=180°-45=135°.135°.的度数为45。或故/ABC考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题BDAD是AABC的角时，常采用“截长”、“补短”等方法.（你可以用不同的方法证明吗）+平分线，/B=2/C,求证：AC=AB例5、如图，已知方法一：DE.AC(截长法)在上截取AE=AB,连接AD平分/BAC,所以/2=/1.因为SAS).又因为AD=AD,所以BADzEAD(BD=ED.所以/3=/B=2/C.所以因为/3=/C+/4,所以2/C=/C+/4,所以/C=/4,.DE=CE,所以CE=B

8、D所以.+DBEC=AB所以AC=AE+方法二：DE,连接，所以/E=/1.到E,使BE=BD（补短法）如图，延长AB因为/2=/E+/1=2ZE,又因为/2=2/C（已知），所以/C=/E.）,AAS因为/4=/3,AD=AD,所以AADCDE（,所以AC=AEBD.AC=AB+BD,所以+AE=AB因为数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？.求证:EFLBC.延长线上取AC上，在BAAE=AF在，中如图，已知ABCAB=ACF方法一：解：精品资料分享GAG &#

9、177;BC辅助线，如图.这一条于首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过1:证明.G作AG，BC于过A,AB=AC,/3=/4.X-.AE=AF,./1=/E.X-.-Z3+Z4=/1+/E,.A=/E,.AG/EFEFXBC.AAH这条辅助线，如图.于H作：接着小亮根据题设AE=AF,结合等腰三角形的性质作出过±EF方法二,.AE=AF,1.ZEAH=ZFAH.又/EAH+ZFAH=ZB+ZC,zEAH=ZB,.AH/BC,.-.EF±BC.证明M,如图.交BA的延长线于MC±BC方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作3:贝|J/1

10、+/2=9O°.BA的延长线于MMC±BC过C作交,.AE=AF,EF=FE,.zEAF=180°-2/AFE.又.AB=AC,./B=/1.又/EAF=/B+/1,./EAF=2/1,.2/1=180°-2ZAFE,./+/AFE=90°,.Z2=/AFE,.,.DE/MC,.EF±BC.,如图.CA的延长线于N交方法四：小颖的作法是：过E作ENLEFNr:证明4N,则/1+/2=90°.交作EN，EFCA的延长线于过E/AE=AF,.z2=/AFE,./EAF=180-2/2.又.AB=AC,./B=/C,./EAF=/

11、B+/C=2ZB, .2/B=180°-2/2,./B+/2=90°, ./=ZB,.,.EN/BC, EFXBC.精品资料分享点作EP/ACP交BC,如图.的延长线于E方法五：小虎的作法是：过过 E 作 EPAC 又. AE=AF ,5:证明,则/AFE=Z2,Z3=ZP.P交BC的延长线于1=ZAFE,./!=Z2.X.AB=AC,ZB=Z3,ZP,.EB=EP,EFXBC.大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时,小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？方法六：（如图）.：证明6,.AE=AF ,ZE.z2=2 ZE.z2=180°-2ZB,.2/E=

12、180°-2ZB,即/E+/B=90°,.生=180°-90=90°,.,.EFXBC.AD=BD.求证：CD±AC.AB=2AC,AD平分/BAC,例7、如图，在ABC中，证明：DE.的中点E,连结取ABAD=BD,DELAB,.$=90°.,又.AB=2AC,AB=2AE.AE=AC.,又./1=/2,AD=AD.AEDzACD,4=ZACD,ZACD=90°,.CD±AC.DAB 上，EAC.求证：DF=EF于BD=CE,连结DE交BCF在在中，例8、AABCAB=ACA的延长线上，且EG,则/G=ZB.EG

13、/AB交BC的延长线于过E作又-A，-又./仁/ECG,E,.AB=AC,./B=/1.5/ECG,.-.CE=GE.又BDuCE,.BD=GE.又./BFD=/GFE,精品资料分享.ZBDF心心EF,.DF=EF.知识点二：直角三角形。所对的直角边等于斜边的一半考点一：30的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，3cm1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为例测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30。角，如图，则三角板的最大边的长为（）22cmcmDB.6cmC.36A.3cm30°角所对的边等于斜边的一作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中思

14、路分析:过另一个顶点C半，可求出有45。角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边.30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理此题考查的知识点是含点评：求出最大边.。上的一点。求证：CE=DEAC=AD,E是ABADB=90例2.如图，/ACB=/。，分析：这里要证明两次三角形全等。的长。AB=6,求DE分别是、EBC、AC的中点，中，/例3.如图，在ABCB=/CD,中，AB=AC例4.在AABC0ACAD120BACA,于BAD)求的度数1(DC=2BD）证明:精品资料分享嘛百1门）节r-AIIM.'£口耻=R0”.&

15、#39;"由4=1工/，八ZBU-.能30*皿*=如一<2）任明：vAB.AjC.jE2E-L2（P-'-上舟上匕.VZDMC=BO.'.叱细*jJiED*上此=2口.变式训练1ABACBADACBDABCDCAD,Z=30,若。.求证：_L如图4,在中，.CBD4考点二：利用直角三角形的性质证明为垂足，求证：CF=CDDF.,EDF,/B=/E,AFL例5、如图所示，已知=AB=AE,BC分析:要证CF=DF,可连接AC、AD后，ffiAACFzADF即可.证明:连结AC、AD.在AABC和AAED中,3-w月（B央山话。m山志久自力同£C-ED&#

16、163;rH）'所以AC=AD（全等三角形的对应边相等）AC=皿6证）J因为AFLCD（已知），所以/AFC=/AFD=90°（垂直定义）.WF三月/公共边*在RtMCF和RtAADF中，所以RtAACFRtAADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）例6、AABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F.求证BE=CF.证明：在AAED和AAFD中,精品资料分享小蛙'二底工LLaus-11Z-二姆士三工）.XED仁zAFD（AAS.DE=DF（全等三角形的对应边相等）值-加戊口中，和RtACDF在RtABDE.）

17、.RtBDERtCDF（HL.BE=CF（全等三角形的对应边相等）FD=CD.AD为AABCAD 的高，E于）BF=AC （2）若把条件,F，且有BF=AC为AC上一点，7例BE、已知：如图所示，交求证：BEXAC;（1和结论BELAC互换，那么这个命题成立吗?1）证明：:ADLBC（已知），.ZBDA=/ADC=90°（垂直定义），./+/2=90°（直角班=4c0皿三角形两锐角互余）产口三如仁知X中，在rbdF和RtAADC.Rt四DF率tMDC（HL）.N=/C（全等三角形的对应角相等）./+/2=90°（已证），所以/1+/C=90;/1+/C+/BEC=

18、180°（三角形内角和等于180°）.ZBEC=90;.BEXAC（垂直定义）；2）命题成立. BEX AC , AD ± BC ,（.1.ZBDF= /ADC=90 ° （垂直定义）./1+/C=90°,zDAC+/C=90./=/DAC （同角的余角相等）21 = Z£>4C(e 证) DF - ZADC - 9 口口已讪F口 = Cg 的,在ABFD与AACD中). .ABFDWzACD (AAS.BF=AC （全等三角形的对应边相等）2CE = AC,那么CD的长是（ADAD8、如图所示,已知/1 =/2, = BD =

19、 4, CE±,例1.5D.B.3C.12A.分析：。从而求=30,得至U/B=/2BD301=AC，可以得到/=/2=°.又AD=42CEAECRt在中，由于.°,由直角三角形的性质求出CD=出/ACD90解：，=中，在RtAEC2CEAC精品资料分享30°,1=/2=：/4,=BD=.AD30°,=/=./B°,3°-=180=3090.zACD°XAD=2-CD=.故选A.AD相交于点E=BD,BC,BAD、已知：如图，在RtAABC和的长.，求 CEAC = 45° , =1 (2)若 /AEC分

20、析：)aBE.(=/BAD,.AE=Rt£ABC*tABAD,得/ABC)证明(1)由直角三角形全等判定定理(1 :在 Rt BDHL.=1为等腰直角三角形，CE=ACACE解：中，ABDE£ACE和Rt(1)方法,BA,AC=/AB=HL),RtBDE(.RtMCE仁BAD,.zABC=ZBDE中，和Rt 方法 2:在 RtACEBE.AEBED是对顶角，/AEC与/ /), BDE (AAS ACERtA .Rt .AEC=ZBED.AC=BDC=/D=90BE.AE°,=90AEC=45°,£(2)/°.工5./CAE1.=.C

21、E=AC°,且AD=AE,则/EDC等于(1、如图，AABC中，AB=AC)13,则它的周长为(C2.等腰三角形的一条边长为6,另一边长为19DC.32.A25B.25或32D)、如图,/A=15°,3AB=BC=CD=DE=DF则/DEF为(.60°D.75C.70A)BC|=2cm,则腰AC的长为(,且、已知等腰三角形4ABC的底边BC=8cm|AC-6cm或.6cm10cmA,或B10cmC6cmD8cm精品资料分享C)5、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是A/fRDC.底边一腰对应相等BA.顶角，一腰对应相等D.一底角，底边对应相等.两腰对

22、应相等C上的点，若AB=AC,AD=AE，则(D6、如图，、E为定值时，/时，/CDE为定值B.当/a为定值时，/CDE为定值值D.当/yAADACABCABDACBDBC(D),则/上，且7.如图122所示，在中，一一，点等于在AaBC盘犷图1-22图I-23B)分别是ABC的边BC、AC/CDE为定值A.当/B为定值C.当/B为定值时，/CDE为定D1A.30B.40C.45（D ）所示，则图BCABCDABCADBDABCACB平分/8.在等腰梯形/中，/,=2/,中的等腰三角形有一23如图14个C个个.DA.13个B.2C）、下列结论中错误的是（9A.一锐角和斜边对应相等的两个直角三角

23、形全等B.一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等C.两锐角对应相等的两个直角三角形全等D.有一条直角边和斜边上的高线对应相等的两直角三角形全等，若/A=50°,P,BE交于一点分别是AB,AC边上的高，且CD、如图所示，在锐角三角形10ABC中，CD,BE）的度数是（D则/BPC100 ° DB. 130 °C, 120 ° A. 150A）等于（=BC,则/DCE、如图，AABC中，/ACB=90°,在AB上截取AE=AC,BD11口 LD.65°CA,45°B.60°.50°）O,则下列说法正

24、确的有（DBD,且AC、BD交于点12、如图，已知/ADB=/ACB=90AC=BOAO=/DBC=/CADAD=BC为等腰三角形ADOCAB/CD个. D5 4个.个. 个.A2 B3C 度.，则/ E二,在同一直线上，且、是等边三角形，点13.如图，已知ABCBCDECG=CDDF=DE15精品资料分享BD为中线，延长CE=CD=1,连接DE,贝ij14DE=.已知AABC为等边三角形,EBC至,使.6=，则CD15如图，AABC中，/C=90°,zABC=60,BD平分/ABC,若AD解：./C=90°,jABC=60°.,.A=30°B平分/AB

25、C.zCBD=/ABD.BD=AD.CDBX6B1.如图，AABBAuB,A延长线上一点，DFLAC求证：DBE?是等腰三角形.【楣张】讲引：在心钻C中，EAT如VEA-3C-土上上二上C,VDf.±AC./.dCi-iFEC#C-"宜+D=自0"2FRU-XDVZFEC-ZBEC；二BED=，口r/kBD=3E1RlrlLHE呈吞建三能用.17.D是等边三角形，点在上，点在的延ABC求证：于F,BCBD=CE,DEACEAB已知：如图,长线上，且交BF=CF+CE精品资料分享工髭罟】此即；刃止1)仕1)!1开£上口二于(1，JJIED'rgKF

26、kC，V以蒲-早年口二用”,心。1，工拈导电三年龄，二油=HJl=1ll，-，EtJFE，m-H1巾#"5,Wuls上工.在DMF和A&2F书-rZMDX=Z£«£DFM=/EF匚，JJAf-国门A&UHF2J1ECF(AA5>J，,ECF，二UF5K+寸EFME,EBC于.求证：/ADB=/CDE.D为AC的中点，AE，BD于F交18.如图，在AABC中，AB=AC,/BAC=90证明:G,则/ACG=/1+/2=90°.的延长线于C作CGLAC交AE过又./8=90°,.7+/5=90又/6+/7=90

27、76;,.5=Z6.AB=CA,又,ZBAD=/ACG=90°,.演BDzCAG,.AD=CG,/3=/G.又.AD=DC,.DC=GC.又.AB=AC,ZABC=/1.又,ZABC+/1=90°,1=45°,2=45°,即/=/2.X-.CE=CE,.,.CDE/CGE,.丛:/G,.生=/4.课后作业：【巩固练习】）.已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是40。，那么它的顶角是（C1,°°50°,A40B.C80D.100精品资料分享C)2.已知等腰三角形周长为10,则底边长a的取值范围是(，5VB.2.5<aA.

28、5<a<10,2.5D.0<aaC.0<<5<）E,则BE等于（AADC8cm,AB=6cm,DE平分/交C. 6BC边于点243.如图1,在DABCD中，已知AD=8cm.2cm图工- 244.下面几种三角形：有两个角为60。的三角形;三个外角都相等的三角形;一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；。的等腰三角形.有一个角为60其中是等边三角形的有B. 3个DC.A.5、如图，在ABC中，AB=AC,BF=CD,BD=CE,ZFDE=a,则下列结论正确的是（A）A.2a+ZA=180°B,a+ZA=90C. 2a+ZA=90°D,a+ZA=1806、如图，在 ABC中,D、E分别是边AC、