实用文库汇编之平面几何在解析几何中的应用

1、*实用文库汇编之平面几何在解析几何中的应用南昌大学附中陈一君一、活用几何关系速解圆类问题在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础圆既是轴 对称图，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的 某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主 要有：圆中切割线立理.圆幕左理、垂径泄理.活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算咼，培养学生认真分析图形的几 何性质，养成综合应用知识的习惯，提髙解题技巧与能力解题时，若能把握形的几何特 征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平而几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会

2、起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题.【例题】已知直线l:y = x + b和圆C:x2 + y2 + 2y = 0相交于不同两点久B,点p在直线/上，且满足|FA| -PB = 2,当b变化时，求"的轨迹.【常规解法】设点P（S ,x = m + 则l:y = x+b的参数方程为y = n +邑2邑2a为参数）（1）将(1) RAx2 + r+2y = 0,得nr + 41mt + 丄尸 +n2 + Jlnt + -r + 2n + Q = 0,2 2广 + 厂 + /厂 + 2n = 0,(2)显然>().设方程(2)的两根为G t2,由网.

3、|PB卜2,依题意点"在AB或BA的延长线上，A PA PB = PA PB = 2,即 r,-r2=2nr 4- n2 + 2n = 2 即x2 + / + 2y = 2为的轨迹方程，表示以（0厂1）为圆心，巧为半径的圆.【点评】由网|P牛2联想到直线的参数方程中7的几何意义虽然也很自然，但相对 与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比 较大的，时间成本的控制不如方法一.需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯 代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成【利用圆的几何性质解法】圆C：r+f+2y=0的圆心C（O,-1）“

4、= 1由切割线泄理，如图1所示，W|PT|2=|PA|-|PB| = 2>1,故点"在圆C外，二P7f+|C7fM点p的轨迹方程为x2 + (y +1)2 = 3【点评】显然直线AB是圆的割线，运用平而几何知识中的切割线泄理求轨迹就简单 明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制.通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时.若能充分揭示问题中的几何关系，灵活 运用平而几何知识，解题则会事半功倍切割线宦理、圆幕立理、垂径左理是圆的对称性的 反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛.【针对训练】（2013年福建髙考文科试题）如图，抛物线 E.y2=4x的焦点为F,准线/与x轴

5、的交点为A.点C在抛物线E 上，以C为圆心，100为半径作圆，设圆C与准线/交于不同的两点 M. N.（I）若点C的纵坐标为2,求IMNI：（II）若AF'=AM卜| AN 求圆C的半径.【分析】本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础 知识根据条件圆心c在抛物线上且过原点，解法如下：（I）抛物线£：y2=4x的准线/的方程为x=-l,由点C的纵坐标为2,得点C坐标（1,2）,所以点C到准线/的距离=2,又|C0|=5.所以|MN| = 2CO一/ = 2.2（II）【常规解法】设C（¥，儿），则圆C的方程为：+ (y= r + y()2，

6、即才一"兀+一2儿歹=°» 由x=-i»lo2b-2y°y + l+牛=0 . 22/. z、/、A=4 V -4( !-±. )-2 y02 -4>0设M(-1)、N(-l,儿)得到 ；222由M冃糾岡，得|)j>'2| = 4.牛+ 1 = 4=>儿=±鸟此时>()23 3圆心C的坐标为C（亍石）或C（亍一屈,从而得|cof = ¥，|co| =孚 即圆C的半八>/33径为r =2【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径立理，从圆幫定理为切入点有下列简洁解法：设圆（

7、7与兀轴交于不同的两点0、G由圆慕左理知:A0iAG =AMilAN由条件尸（1,0）,帖忡；叫阴2 2 2即 4 =IAMIlANI = IA0lL4GI,由条件设 C（h,儿），则 G（卫-,0）AG| =也十 1 =4,4 22）叮=6八儿=±血.c弓，屈或c（|,r）, 一 £77=写【点评】（I）涉及抛物线与圆的位宜关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特 征，结合垂径左理和根与系数关系解决问题.（II）根拯条件抓住几何特征通过圆幕定理 解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易 、化繁为简，收到事半功倍的效果.二

8、. 解析几何中巧用三角形相似简化计算解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解 决几何问题的一门学科，它开创了数.形结合研究方法解决解析几何问题的最大难度是如 何把握好解题的总体思想策略但在平时的解析几何教学中，师生往往偏重于相关量的数量 关系的研究，摒弃了最基本.最直接的解题思路，不重视平面几何知识，但解析几何的 “魂”还是“几何”特征【例题】如图：椭圆4+4在现代中学教学中，解解析几何时，可以灵活应用平而几何知识，找到简捷的解题途 径，简化解析几何的解题过程，降低运算量运用平而几何知识，能培养学生认貞分析图形 的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提髙解题技巧

9、与能力解题时，若能把握形的几何 特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平而几何知识，对于拓广解题思路，减少运算捲，将 会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何利用平而几何的三角形相似知识巧妙 解决解析几何的问题.= （a>b>0）的左右焦点为斤，F“上顶点为儿 离心率0 =丄，点P为第一象限内椭圆上的一个点，且S訂创：S,p话=2:1,则直线PF的斜率 2 -为【常规解法一】P到直线AFi的距离和到x轴的距离的比为2:1,设岀P点坐标，进而求设P(m9nh由题意知直线人存：加一cy +处=0,P到直线帖的距离心吐也 = 2”， a即bm-cn+bc = 2cin.(点P在直线AF】

10、的右侧，可直接去掉绝对值符号)整理得_巴_ = _2=迺(体现了设而不求)m + c 2a+ c 5【常规解法二】A与&到直线的距藹的比为2:1,用点到直线的距离公式直接解出K昭设直线戶斥方程为/c(-y + ck=0t由A(0,b)与朽(c,0)到直线P片的距离的比为2:1得到等式|0f %艸芝叫即-心4心"2 =迺Jl + 疋y/l + k25c 5(注意点到直线距离公式中绝对值符号是如何去掉的)【利用相似比解法一】连接AF?与PF】交于点B,证明B是线段人竹的三等分点，进而求心 如图，作AM垂直于P片于点M,作竹N垂直PF】于点N,S的卩:S皿 =AM:F2N = 2:

11、1，连接AF2交P耳于点B ,由相似比知嗣:阴= 2:1,所以B是线段A耳的三等分点,而人(0上)，坊(c,0),求出B点坐标是所以g齐2c 、 y(-c)2 =逅5T""T【利用相似比解法二】AO与卩斤交于点瓦证明B是线段AO的五等分点.就能得出B 点坐标，进而求K连接 0P9SbPFo : sbPFF =1:2,由 S、PFA : S0芒2 =2:1,得出 SPFA : SbPFQ =4:1,而人(0上)，求出B点的坐标是0,-,所以Kpf=Kb% =< 5 >0-(-c)b _y/35cT作AM垂直PF于点M,作ON垂直于于点M 设PF】与y轴的交点为氏由

12、相似比知AB：BO = 4A.所以B是线段AO的五等分点,【评析】灵活地应用平而几何知识，可以快速化解题目的难点之处.几何分析是“形”向 “数”的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用.通过本节微专题学习，对于某些解析几何问题，我们不一沱都要通过常规方法入手， 只要我们认真分析题目中几何量之间的关系，运用平而几何的观点来审题，认淸题目的本 质特征，然后再动笔，往往带来很多方便.要让学生在自然的代数过程中联系几何转化，不 要刻意分割解析几何中的“数”与“形”，让数形结合思想真正融入解题思维里.【针对训练】已知圆x2+y2 =r2,直线/ :x ="(">r),P为/

13、上的一点，射线OP交圆 于点/?,点。在OP上，且满足|O0|OP| = |OR，当P点在/上移动时，求点0的轨迹 方程.【分析】常规解法相当繁琐，令人头疼限于篇幅，这里不再展示常规解法，但是，如果釆 用三角形相似来解决的话，会很简单.解：如图所示，过点P作圆的切线PM, M为切点，连接MQ,易证MQ丄OP 由 R仏OHQRf“OTP,得=» OHa=OQOP = OR" =r故OH = 为立值，又MQ丄OP、故点Q的轨迹方程为(一令+宀务【点评】到目前为此这是我所见到的本题最简洁的解法，简炼有力，令人惊叹!三、平面几何在求轨迹方程中的应用在最近几年的教学中，我发现了同学们

14、学习中存在的一个普遍问题：学哪一段就用哪 一段的方法，这样做产生的后果是:思路闭塞，运算繁琐伴随着年龄的增长，同学们所掌 握的数学方法越来越多，进入髙中以后，特别是接触到解析几何后，我们不少同学就有点 喜新厌旧了，把以前初中的平而几何知识抛到一边，认为有点过时了其实不然，数学方法 并没有过时的说法，一些简单地定理往往能带来令人意想不到的效果，如中线左理、角平 分线肚理、射影泄理等平而几何中的基本知识，如果运用得当的话，就可以将你从解析几 何繁复的运算中解放出来，甚至能让你拍案叫绝.求轨迹方程是解析几何中的两大基本问题之一，也是髙考重点考查的内容其方法多种 多样，但在求轨迹方程中，如果能够充分利

15、用平而几何知识，对于拓广解题思路，减少运算 量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习应用平而几何求解轨迹方程的问题. 【例题】已知圆0的方程是* + >,2=36,泄点P(4,0),如图作矩形APBQ (A、B两点在 圆上)求矩形的顶点Q的轨迹方程.【常规解法】设。(上A(xP y,), B(x2, y2),则:av + v =36+=36 乂一_ = 1即西兀2 + 一4(召+兀)+ 16 = 0 x +x2 =x + 4, y + y2 = y x2 + y2 = (x, +x2-4)2 + () + y2)2=Xj2 + x22 +)+ y22 _ 8(册 + 吃)+ 2)

16、、比 + 2x2 + 6=72 4- 2xlx2 + y, y2 - 4(x( + x,) +16= 72-16 = 56即所求矩形的顶点0的轨迹方程为：X +),2=56.【点评】以上解法很常规，但苴消元的过程是在太巧妙了！不易想到.除此之外，还可利用 PA斜率K为参数，建立0的参数方程来解决，但其运算过程相当复杂，不易求解.【利用中线定理几何性质解法】如上图，连接OP,OQ,O,OB,OM (M为矩形APBQ的对角 线的交点)由平而几何的中线泄理知识可知：在OPQ 中，+|OQf =2(|0M|： +|PM门 在厶 AOB 中，“f + OB =2(|OM|? + AM |2) -PM =

17、 AMy:.OP+OQ =|OA|2 +OB从而可得：|OQ|2 =56,故r + y2=56为所求方程.【点评】在求轨迹方程中，充分利用平而几何知识，结合圆锥曲线的左义，在解题中，特 别是在考试的客观题解答中，将使解题过程简单，迅速得岀正确答案.通过本节微专题学习，发现求解解析几何的轨迹方程问题时，若能充分灵活运用平面 几何知识(中线左理)快速地给岀了解答，方法之妙令人叫绝，解题则会事半功倍平时教 学中，教师应注意这方面的指导.【针对训练】点A, B, C依次在直线/上，且AB=4BC,过C作/的垂线，M是这条垂线 上的动点，以A为圆心，为半径作圆，M7；与M7；是这个圆的切线，求A/W7；

18、7；垂心 的轨迹.【分析】如图，以A为原点，直线AB为兀轴建立坐标系，H为'MT&的垂心，N为77?与AM的交点，记BCT以A为圆心的圆方程为x2 + y2 =16,连结AT.AT2,:.AT2/TH 9 同理:.AT/HT2.又VAT=AT2, :.ATHT2是菱形.A 2AN = AH.又I AM 丄T.TAT,丄 M7；, AT；? = AN AM (16、2 2 (16)15丿+>, =It)设点H坐标为 y),点M坐标为(5, b),则点N坐标为(抻,将坐标代入A72b y=AN AM ,再由一=丄，得5 x4在AB上取点K,使AK=-AB,所求轨迹是以K为圆心

19、，AK为半径的圆.【点评】本题解法的可取之处在于娴熟的运用了平几知识，得出otht2是菱形后，依据 菱形对角线互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影沱理= ON-OM 得出结 论.整个解法'平几味”甚浓，扣“形”不放，堪称数形结合的典范，事半功倍.四、巧用投影优化计算髙考的解析几何题，似曾相见曾相识，看似平淡需真功。很多时候，解析几何综合题 的复杂性让许多学生望而却步，成为学生髙考成败的关键。单纯地依赖代数方法解决几何 问题，不光导致运算十分复杂，也有可能导致思路无法展开，能不能有效避开一些繁难计 算，有时关注试题中的几何特征是解决解析几何问题的关键.今天我们带领大家探讨是平而上两

20、点间距离的转化问题，平而上两点间距离公式是先 求平方和再开方，运算十分杂，但利用一条直线上两线段长度比值与它们在同一坐标轴上 的投影比值相等性质，可将苴转化为数轴上两点间距离，将二维运算简化为一维运算，能够化繁为简，打开“柳暗花明又一村”的新局而.【例题】在平而直角坐标xOy中，点A（-1J）与点3关于原点。对称，P是动点.且直线AP与的斜率之积为一丄3（I ）求动点P的轨迹方程（疋+3）,2 =4 （XH±l）:（II）设直线AP和分别与直线x = 3交于点M、N , 问是否存在点P,使得如与zXPMN的面积相等?若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【过程分析】试题中是两

21、条动弦与椭圆相交，不再是一条直线与椭圆相交的位置关系，避 开了常规的联立方程模式套路.试题中涉及A . B、P、M、N五个点，而且点M、N是由点P生成的，所以先要通过设点P（x（pyo）坐标为参变量，然后计算点M、N的坐标，再利用五个点坐标分别表示APAB与APMN的而积，将它们用引入参变量表示， 利用它们相等的关系，进而求出P的坐标.【解析】思路一：计算43长与点P到A3的距离，P到A/N的距离，分別计算与 APA/N两个而积，思路虽自然，运算有一龙困难.依题意:设P（心儿）、M（3,加）、N（3,珈） 则直线 AP 方程：，一1 =川二1（/+1）,直线 3P 方程：y + = -L（x-

22、l）A） +1不）一 1分别令x = 3,得加=4'2_冷_3,= Y3 （多个字母参数的运算是学生死兀+1仏一1穴，这种计算比较复杂，学生在心理上就已经发抖、害怕）于是S沁N = -1 yjW -加I（3-兀）=I也+賀（3_卫-（M、N点坐标复杂导致三角形2I xj -11面积代数转化有困难）又直线A3的方程为x + y = O,且P（%儿）到直线A3的距离=罕丄,y/2且IABI=2>/2,所以SSPAli=ABdX（） + y02由题设条件他=Sw 得1无+九 屮）+曽：严又1心+儿1工0,所以需一1 = （3-兀）2,得x0 =-代入椭圆方程，得儿=±牛，故存

23、在点（律,土乎），使得APAB与2MN的而积相等.【评析】解析几何的代数特征经常体现在“设而不求”技巧上，上述解法中困难是计算 M . N点坐标.是不是一泄要求出M、N点坐标呢?这就让我们进一步思考，三角形而 积一定要表示成“底乘以髙”的形式么？思路二：我们发现要求的两个三角形有共同的顶角，利用S = -sin这个三角形而积 2公式更容易表示PAB与APMN的而积并可回避M. N点坐标计算.解决问题需要理论支撑：在解析几何中很少直接用平而上两点间距离公式计算距离， 多采用同一条直线上两线段长度比值化归转化为两线段在数轴上投影的线段比值，回避距 离公式中的先平方再开方运算，将平而上二维的运算化归

24、到数轴上一维的运算，极大地简 化计算.而是利用这四条线段在坐标轴上的投影也成相应比例关系进行转化，如此二维的平而两点距离运算转化为一维的数轴上两点距离运算，使运算简洁明了，正确率必然大大提髙）即出=土卫，化简得需_1=（3-心）2.得X（）=-（后而同解法一）.13-勺1 I 心-11°3【评析】共同的顶角两三角形而积关系，利用S丄宓in0这个三角形而积是关键，如果把 2与APMN的而积关系调整成比例关系，也同样适用：几何分析是“形”向“数”的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用，用好 它的前提是掌握好基本几何图形（三角形、四边形、圆等）的几何性质及基本几何关系 （平行.垂直、相交、相切等）应用主要体现在用比较简洁的“形”的性质去转化 “数”的运算和推理论证，最后又反馈到“形”的问题完美解决.通过本节微专题学习，几何分析实现了解析几何问题巧算，提示我们在求解解析几何 问题时，不能仅仅关注代数方程和方程组的