排列组合解题技巧

1、2022-1-291排列组合解题技巧综合复习2022-1-292 1.熟悉解决排列组合问题的基本方法熟悉解决排列组合问题的基本方法; 2.2.让学生掌握基本的排列组合应用题的让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧解题技巧; ; 3.3.学会应用数学思想分析解决排列组合学会应用数学思想分析解决排列组合 问题问题. .2022-1-293一 复习引入二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, ,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的并且在实际中的解题方法也是比较复杂的, ,下下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技面就通过一些实例来总结实际应用中的解

2、题技巧巧. .例题1例题6例题5例题4例题3例题22022-1-294从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.2.组合的定义组合的定义: :从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.3.3.排列数公式排列数公式: :4.4.组合数公式组合数公式: :1.1.排列的定义排列的定义: :)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn排列与组合的区别与联系排列与组合的区别与联系: :与顺序有关的与顺序有关的为排列问题为排列问题, ,与顺序无关的为组合问题与顺序无关的为组合问题. .)!( !

3、)1()2)(1(mnmnmmnnnnAACmmmnmn2022-1-295例例1 1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票1212张。张。8 8个学生，个学生，4 4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？邻，共有多少种不同的坐法？结论结论1 1 插空法插空法: :对于某两个元素或者几个元素要求不相对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题邻的问题, ,可以用插入法可以用插入法. .即先排好没有限制条件的元素即先排好没有限制条件的元素, ,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空

4、档之中然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可即可. .分析分析 此题涉及到的是不相邻问题此题涉及到的是不相邻问题, ,并且是对老师有特并且是对老师有特殊的要求殊的要求, ,因此老师是特殊元素因此老师是特殊元素, ,在解决时就要特殊对待在解决时就要特殊对待. .所涉及问题是排列问题所涉及问题是排列问题. .解解 先排学生共有先排学生共有 种排法种排法, ,然后把老师插入学生之间然后把老师插入学生之间的空档，共有的空档，共有7 7个空档可插个空档可插, ,选其中的选其中的4 4个空档个空档, ,共有共有 种种选法选法. .根据乘法原理根据乘法原理, ,共有的不同坐法为共有的不同坐法

5、为 种种. .88A47A4788AA2022-1-296例2 5 5个男生个男生3 3个女生排成一排个女生排成一排,3,3个女生要排在一起个女生要排在一起, ,有多少种不同的排法有多少种不同的排法? ? 结论2 2 捆绑法捆绑法: :要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题, ,可以用捆绑法来解决问题可以用捆绑法来解决问题. .即将需要相邻的元素合并为即将需要相邻的元素合并为一个元素一个元素, ,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列, ,同时要注意合并同时要注意合并元素内部也可以作排列元素内部也可以作排列. .分析 此题涉及到的是排队问题此题涉及到的是排队问题

6、, ,对于女生有特殊的限制对于女生有特殊的限制, ,因此因此, ,女生是特殊元素女生是特殊元素, ,并且要求她们要相邻并且要求她们要相邻, ,因此可以因此可以将她们看成是一个元素来解决问题将她们看成是一个元素来解决问题. .解 因为女生要排在一起因为女生要排在一起, ,所以可以将所以可以将3 3个女生看成是一个女生看成是一个人个人, ,与与5 5个男生作全排列个男生作全排列, ,有有 种排法种排法, ,其中女生内部也其中女生内部也有有 种排法种排法, ,根据乘法原理根据乘法原理, ,共有共有 种不同的排法种不同的排法. .66A33A3366AA2022-1-297例3 在高二年级中的在高二年

7、级中的8 8个班个班, ,组织一个组织一个1212个人的年级学生个人的年级学生分会分会, ,每班要求至少每班要求至少1 1人人, ,名额分配方案有多少种名额分配方案有多少种? ?结论3 转化法（插拔法）转化法（插拔法）: :对于某些较复杂的、或较对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想抽象的排列组合问题，可以利用转化思想, ,将其化归为将其化归为简单的、具体的问题来求解简单的、具体的问题来求解. .分析 此题若直接去考虑的话此题若直接去考虑的话, ,就会比较复杂就会比较复杂. .但如果但如果我们将其转换为等价的其他问题我们将其转换为等价的其他问题, ,就会显得比较清楚就会显得

8、比较清楚, ,方法简单方法简单, ,结果容易理解结果容易理解. .解 此题可以转化为此题可以转化为: :将将1212个相同的白球分成个相同的白球分成8 8份份, ,有多少有多少种不同的分法问题种不同的分法问题, ,因此须把这因此须把这1212个白球排成一排个白球排成一排, ,在在1111个个空档中放上空档中放上7 7个相同的黑球个相同的黑球, ,每个空档最多放一个每个空档最多放一个, ,即可将即可将白球分成白球分成8 8份份, ,显然有显然有 种不同的放法种不同的放法, ,所以名额分配方案所以名额分配方案有有 种种. .711C711C2022-1-298例4 袋中有不同的袋中有不同的5 5分

9、硬币分硬币2323个个, ,不同的不同的1 1角硬币角硬币1010个个, ,如果从袋中取出如果从袋中取出2 2元钱元钱, ,有多少种取法有多少种取法? ?结论4 剩余法剩余法: :在组合问题中在组合问题中, ,有多少取法有多少取法, ,就有多少种就有多少种剩法剩法, ,他们是一一对应的他们是一一对应的, ,因此因此, ,当求取法困难时当求取法困难时, ,可转化可转化为求剩法为求剩法. .分析 此题是一个组合问题此题是一个组合问题, ,若是直接考虑取钱的问若是直接考虑取钱的问题的话题的话, ,情况比较多情况比较多, ,也显得比较凌乱也显得比较凌乱, ,难以理出头绪难以理出头绪来来. .但是如果根

10、据组合数性质考虑剩余问题的话但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话, ,就就会很容易解决问题会很容易解决问题. .解 把所有的硬币全部取出来把所有的硬币全部取出来, ,将得到将得到 0.050.0523+0.1023+0.1010=2.1510=2.15元元, ,所以比所以比2 2元多元多0.150.15元元, ,所所以剩下以剩下0.150.15元即剩下元即剩下3 3个个5 5分或分或1 1个个5 5分与分与1 1个个1 1角角, ,所以所以共有共有 种取法种取法. .110123323CCC2022-1-299例5 期中安排考试科目期中安排考试科目9 9门门, ,语文要在数学之前考语文要在数

11、学之前考, ,有多有多少种不同的安排顺序少种不同的安排顺序? ?结论5 对等法对等法: :在有些题目中在有些题目中, ,它的限制条件的肯定与否它的限制条件的肯定与否定是对等的定是对等的, ,各占全体的二分之一各占全体的二分之一. .在求解中只要求出全体在求解中只要求出全体, ,就可以得到所求就可以得到所求. .分析 对于任何一个排列问题对于任何一个排列问题, ,就其中的两个元素来讲的话就其中的两个元素来讲的话, ,他们的排列顺序只有两种情况他们的排列顺序只有两种情况, ,并且在整个排列中并且在整个排列中, ,他们出他们出现的机会是均等的现的机会是均等的, ,因此要求其中的某一种情况因此要求其中

12、的某一种情况, ,能够得到能够得到全体全体, ,那么问题就可以解决了那么问题就可以解决了. .并且也避免了问题的复杂性并且也避免了问题的复杂性. .解 不加任何限制条件不加任何限制条件, ,整个排法有整个排法有 种种,“,“语文安排在数语文安排在数学之前考学之前考”, ,与与“数学安排在语文之前考数学安排在语文之前考”的排法是相等的的排法是相等的, ,所以语文安排在数学之前考的排法共有所以语文安排在数学之前考的排法共有 种种. .9921A99A2022-1-2910例6 某班里有某班里有4343位同学位同学, ,从中任抽从中任抽5 5人人, ,正、副班长、正、副班长、团支部书记至少有一人在内

13、的抽法有多少种团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? ?结论6 排除法排除法: :有些问题有些问题, ,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂, ,而而它的反面往往比较简捷它的反面往往比较简捷, ,可以先求出它的反面可以先求出它的反面, ,再从整体再从整体中排除中排除. .分析 此题若是直接去考虑的话此题若是直接去考虑的话, ,就要将问题分成好几种就要将问题分成好几种情况情况, ,这样解题的话这样解题的话, ,容易造成各种情况遗漏或者重复的容易造成各种情况遗漏或者重复的情况情况. .而如果从此问题相反的方面去考虑的话而如果从此问题相反的方面去考虑的话, ,不但容易不但容易理解理解, ,而且

14、在计算中也是非常的简便而且在计算中也是非常的简便. .这样就可以简化计这样就可以简化计算过程算过程. .解 4343人中任抽人中任抽5 5人的方法有人的方法有 种种, ,正副班长正副班长, ,团支部书团支部书记都不在内的抽法有记都不在内的抽法有 种种, ,所以正副班长所以正副班长, ,团支部书记至团支部书记至少有少有1 1人在内的抽法有人在内的抽法有 种种. .540543CC543C540C2022-1-2911 练习练习：有有1212个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数 （1 1）分为两组，一组）分为两组，一组7 7人，一组人，一组5 5人；人；

15、 （2 2）分为甲、乙两组，甲组）分为甲、乙两组，甲组7 7人，乙组人，乙组5 5人；人； （3 3）分为甲、乙两组，一组）分为甲、乙两组，一组7 7人，一组人，一组5 5人；人； （4 4）分为甲、乙两组，每组）分为甲、乙两组，每组6 6人；人； （5 5）分为两组，每组）分为两组，每组6 6人；人； （6 6）分为三组，一组）分为三组，一组5 5人，一组人，一组4 4人，一组人，一组3 3人；人； （7 7）分为甲、乙、丙三组，甲组）分为甲、乙、丙三组，甲组5 5人，乙组人，乙组4 4人，丙组人，丙组3 3人；人； （8 8）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组5 5人，一组人，一组4 4人，一组人，一组3 3人；人； （9 9）分为甲、乙、丙三组，每组）分为甲、乙、丙三组，每组4 4人；人； （1010）分为三组，每组）分为三组，每组4 4人人 2022-1-2912 互斥分类互斥分类-分类法分类法 先后有序先后有序-位置法位置法 反面明了反面明了-排除法排除法 相邻排列相邻排列-捆绑