储油罐变位识别罐容表标定08769

1、2018高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位 计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 /出油量与罐内油位高度等数据，通过 预先标定的罐容表 即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内 油位高度和储油量的变化情况许多储油罐在使用一段时间后，因为地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化 以下称为变位），从而导致罐容表发生改变.按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为 圆柱体，两端为球冠体图2是其罐体纵向倾斜变

2、位的示意图，图3是罐体横向偏转变位 的截面示意图.请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题 1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4的小椭圆型储油罐 两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 ：=4.1 的纵向变位两种情况做了实 验，实验数据如附件1所示.请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值.2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐 内储油量与油位高度及变位参数 纵向倾斜角度：和横向偏转角度J之间的一般关系. 请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据 附件

3、2）,根据你们所建立的数学 模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值.进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性.附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据图1储油罐正面示意图图2储油罐纵向倾斜变位后示意图| K |油位探针r地平线垂直线a)无偏转倾斜的正截面图小椭圆油罐正面示意图水平线(b小椭圆油罐截面示意图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图2018年全国大学生数学建模竞赛A题解法评述该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成:1)为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况

4、下，检测出 油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属 于“正问题”.2)根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给 出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”具体解法如下：第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题按如下方式引入空间直角坐标系 OXYZv左手系)：以油位探针所在直线与罐体底部的交点为原点O;以罐体经过原点O的高为X轴，X轴正向指向罐体右端； 以油位探针为Z轴，h增加的方向为Z轴正方向.符号说明：a、b分别为罐体截面椭圆的长、短半轴 a=0.89m, b=0.6m)；L为罐体长 度，Li、L2分别为罐 体左、右截面 到油位探针的

5、距离Li=0.4m, L2=2.05m, L= Li+ L2=2.45m);为罐内的油位高度；为罐体纵向倾斜角度；I为罐体纵向倾斜角时、油位高度为h时的实际罐容量的理论值；|为对应的实际值；L- 为罐体纵向倾斜角、油位高度为h时，截面X=x处油面到罐底的距离； f 简记为，I 简记为u .于是有.-II，容易求得:1)无变位情况下，I匚，代入参数的具体值，可计算得到无变位情况下的罐容表 L.*(pi/2*a*b+a/b.*(h-b.*sqrt(2*b.*h-h.*h+a*b.*asi n(h./b-1。H=(0.1:.1:12。D0=V0(H o评注1:对附件一在无变位情况下进油 或出油)的油

6、位高度与实际罐容量数据作 3次样条插值，并与理论值比较，可以得到修正公式1 ，但是这一步评阅要点没有要求。0.容易看出，有(2时，即(3记函数(1(3,用MATLAB的数值积分函数quad计算数值积分，计算出修正后的罐容表标定值。for h=0.1:.1:12D41=D41 o v41(h。end函数M文件v41.mfun ctio n V=v41(halpha=4.1o a=8.9。b=6。L1=4 o L2=20.5。c=tand(alpha。f=(x(h-b-c*x/2.*sqrt(b*b-(h-b-c*x42+b*b/2*asi n( (h-b- c*x/b+pi/4*b*b。if l

7、en gth(h1 | h2*breturnelseif h。elseif h 。else V=2*a/b*quad(f,(h-2*b/c,L2+pi*a*b*(h-2*b/c+L1。end表2 :小椭圆罐的修正罐容表的部分结果 一油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L油位高度/cm油量/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74将修正后的罐容表与无变位情况下的罐容表进行比较，可以看出罐体纵向倾斜

8、变 位的影响十分明显.考虑油位高度h从1cm到120cm每隔1cm的变化过程，相同油位高度对应的实际罐容量都因罐体纵向倾斜变位而减少，最大误差为257.5L，平均误差为199.54L，最大相对误差为184.88%,平均相对误差为 32.8%相对误差以修正后的 罐容表为分母）.评注2:对附件一在纵向倾斜变位情况下进油 或出油）的油位高度与实际罐容量 数据作3次样条插值，并与修正后的罐容表 理论值）比较，误差较小，理论值比实际 值略大，但是误差没有明显的数量规律，与无变位情况恰好相反，可见题目对这方面 的误差分析并不关注，题目关注的是根据数学模型 积分）比较变位对罐容表的影响。第二部分：实际大储油

9、罐的有关问题1）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，分别考虑油罐的两端有 油和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量与纵向倾斜变位参数、横向偏转变位参数 和油位高度的关系模型，即.详细的解读模型表述形式比较复杂，重在分析过程，注意油罐两端含油的不同情况第一步，类似小椭圆罐的讨论，建立坐标系；第二步，定义清楚纵向倾斜变位参数 横向偏转变位参数；第三步，可先假设 門，类似小椭圆罐的讨论，建立丨 的表达式；第四步，存在横向偏转变位角度时，实际油位高度与显示油位高度的关系为 将此表达式代入I X的表达式；第五步，采用数值积分方法计算.当然，也可能通过实际数据采用数值方法、项目方法或几

10、何方法等近似方法实 现，但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性.蒙特卡洛方法 长度单位为dm,体积单位为L）：第一步，类似小椭圆罐的讨论，建立坐标系，并将纵向倾斜变位参数、横向偏转变位参数 定义成地垂线向上方向的方向角：第二步，写出显示高度为h的油面的平面方程和油罐的曲面方程第三步，在长方体:内产生n=100,000,000个均匀分布随机点，统计落在油罐内并且在油面下方的点数k,则体积V=V(h的近似值为第四步，蒙特卡洛方法的相对精确度为显示油位高度h越大，相对精确度越高fun ctio n V=MCS(h,a,bif len gth(h1 | h30 returnendc仁sind(a

11、。c2=sind(b。c3=sqrt(1-c1*c1-c2*c2。c4=16.25A2o n=100000000。 k=0ofor i=1: nx=ra nd*100-30。y=ra nd*30-15。z=ra nd*30。if yA2+(z-15A2225 | c1*x+c2*y+c3*zc3*hcon ti nueelseif x=-20 & x=60k=k+1oelseif xA2+yA2+(z-15A260 & (x-53.75A2+yA2+(z-15A2=c4k=k+1oendendV=k/n*90000。命题人给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值见表3).蒙特卡洛方法能获得十

12、分接近的近似结果，所需要的计算时间视硬件条件与编程技巧而不同，最快要十分钟左右 表3:无变位情况下油罐的罐容表部分结果油位高度/cm102030405060708090100油量/L590.711682.063101.874783.006682.458767.9111012.9313394.6515892.5718487.88油位高度/cm110120130140150160170180190200油量/L21162.9223900.8826685.5729501.1832332.2235163.1537978.7640763.4543501.4146176.46油位高度/cm21022023

13、0240250260270280290300油量/L48771.7851269.7153651.4355896.4557981.9359881.3961562.5362982.3664073.7264664.452)必须明确给出变位参数的辨识准则.因为实际罐内油量初值未知，所以罐内储油量的准确值是未知的.由附件2的检测数据可以知道不同时刻的出油量j 准确值）同时可以计算出相应油位高度的改变量I I 准确值）并由模型表达式亠计算得到实际储油量的改变量问题可归结为求解非线性最小二乘问题:利用附件2中的部分数据 如前半部分），借助于工具软件或各种数值方法求解得到参 数估计值国.其具体的数值用不同的方

14、法会有差别，但结果应是纵向倾斜变位角略大于2度，横向偏转变位角因影响不敏感.如果直接使用附件2中的显示储油量.和对应的 做参数估计，即求问题是正确的，则用该方法得到的参数的解，这是不对的，因为 .是无变位时的显示储油量，而实际上油罐已经变位，故 含有较大的误差.若储油量的体积公式值会很小.如果经分析说明横向偏转变位的影响不大，则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识. 评注3 :体积计算的解读表达式和数值积分方法是本题的难点之一.在数学分析或高等数学课程一般不讨论本题这种较复杂的3维积分问题，数值计算方法课程也不介绍3重积分的计算方法，所以挑战较大.评注4:参数辨识是本题的难点之二，较体积计算更难

15、.因为体积计算耗时 尤其是 蒙特卡洛方法），所以采用 MATLAB的非线性最小二乘函数不可行，用简单的搜索法 可能在三天内算不完，精确度也不够高.希望同学们对3重积分数值计算方法、非线性最小二乘算法继续深入研究.3）根据修正模型及参数估计值创，可以得到变位后的罐容表 命题人提供的结果见表4）.并利用附件2的实际检测数据 如后半部分）分析检验模型的 正确性与方法的可靠性.表4：变位后储油罐的修正罐容表部分结果使用参数）油位高度/cm102030405060708090100油量/L354.761065.802223.043702.655432.637371.389487.8711756.6114

16、155.5116664.62油位高度/cm110120130140150160170180190200油量/L19265.6021941.1824674.8827450.7730253.2533066.9935876.7638667.2741423.1144128.48油位高度/cm210220230240250260270280290300油量/L46767.2149322.4451776.4054109.9356302.1258329.2760163.3961768.9063093.6364026.17*用不同的方法，结果会有误差.*用蒙特卡洛方法可得到比较接近的结果 .评注5 :由附件二前半部分数据 或后半部分、或全部），可以找