个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明

1、三个常用坐标系的认识及矢量旋度表达式的证明【摘要】本文通过分析一个悖论的产生原因，叙述了在学习中对三个常用坐标系的单位矢量的 一点认识；然后由旋度的定义出发， 给出了一种不同于教材的矢量旋度表达式推演方法证明。【关键词】坐标系单位矢量悖论旋度表达式 一、对三个常用坐标系的认识题目ur LT将位于球坐标下的P点(1,30 ,90 )处的矢量A*，先在直角坐标系下表示出其表 达式，然后再将所得到的表达式重新表达成球坐标系下表出。则将得到如下悖论：urLTLTA = e = e请在分析产生此悖论原因的基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。LT LT

2、 LT1、悖论A二右的产生：urA在直角坐标系下的表达式为：u u、32 iurA在球坐标下表出A 二 3右gog! - ez所以A为点r(o,V!,丄)处的矢量。然后再将2 2=1丁 - arccos(zM. x2y2 z2)二 arccos(-1)= 120二 arctan(y / x)二 90ur所以，此时的 A是点F2(1,120,90 )处的矢量ur itiririr此时，A = e_, = er，即在F2点处e与e大小相等，方向相同。ur LT产生悖论的原因：将在球坐标系中的最初的矢量A = er经过球坐标表出变换为直角坐标表出，再变换为球坐标表出这一变换过程之后，P点在球坐标系下

3、的位置已经改变，由此产生LrirLTLT了 = er ；但是，F2点处的 牛已经不等于P点处的 牛，因为它们的方向不相同。2、对三个常用坐标系下单位矢量的认识2.1、直角坐标系下的单位矢量ir ir ir在直角坐标系中，三个单位坐标矢量在确定了直角坐标系的前提下是常矢量，ex,ey,ez不随坐标内的点的变换而变化。因此，一般需判断一矢量是否为常矢量时，常将其用直角坐标系的单位矢量表出，由此进行判断。2.2、柱坐标系中的单位矢量irur lt如果确定一个圆柱坐标，其单位矢量ez是常矢量，大小、方向确定；而单位矢量 e,e则不是常矢量。由LULTLTe,、二 excosey sinLTLTLTe

4、= -e siney cos知:in lte：,e是随着的变化而变化的。2.3、球坐标系中的单位坐标如果确定了一个球坐标系，其单位矢量ltltlter二exsinvcosey sinsinezcosvltltltlt二excoscosey cos sin-e,sinltlte = -exsi ney cosir ir知：er,er随二,'的变化而变化，lt lt LTer，e，e都不是常矢量。由ire随'的变化而变化。因此，在取球坐标上某些点时,ltlt有可能使 e. - er，如本题中的点F2(1,120,90 )。2.3、另一悖论。u ir在球坐标系下的点 Q(1,45 ,

5、0 )处的矢量B =，经过球坐标表出变换为直角坐标表出,再变化为球坐标表出这一变换过程，可以得到u lt urA = e.=er。证明思想与前面的证明相同。二、矢量旋度表达式的推演与证明1、题目直接从旋度的定义出发，给出符合逻辑的矢量旋度表达式的推演新证明方法和完整过 程。2、推演与证明一U3建立直角坐标系，设A = (P(x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y,z)为区域(G)R3上的C类函数ITen 二(cos ,cos - ,cos )由环量密度的定义及 Stokes公式的向量形式:u r?A d s 二（5ururur rA) d s 二 C A) end ss可知:d-

6、ds丄？ A d-(.c)利用积分中值定理可知u u UTu.c A) ends "CC's)lim(匚§)M . s ?u riuu ur，帆凤少厲卅u irA) en：s,M C s)ir ir lt由于(' A) ©在M点连续,从而我们可以得到环量密度的计算公式:d-dsLT u UTu U UT(.啊C A)站 g A) en)M(1)d-ds:y由（i）式可见:R :Q:P :R:Q=()cos 二 ()cos -(fy:z:z:x-P)cosx :yd-dsLT LTA en cos半,u其中为向量iirirULTa与e的夹角，因而当=0,即取e与向量a同向时，环量密度L最大，其值为dsuVxUA。有旋度的定义可知，