2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：3.2.2空间向量与垂直关系Word版含解析

1、3.2立体几何中的向量方法第二课时空间向量与垂直关系一时/期鲁III分层设计助学助记 认知更深刻填一填空间垂直关系的向量表示设直线l, m的方向向量分别为 a=（a1，a2, a3）, b=（bi, b2, b3）,平面% 3的法向量分 别为 U=（U1,u2,U3）, v=（vi,V2,V3）,则入 % / 位直大系向里关系向量运算关系坐标关系Uma± ba b= 0a1b1 + a2b2 + a3b3= 0l _L aa / ua = Q,入 C Ra1=入 1, a2=入 2, a3=入 3a_L 3u ± vu v= 0u1V1 + u2v2 + u3v3= 0判T

2、J1 .若两直线方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.（X）2 .若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为 0.（，）3 .两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂 直.（X）.， 一一一 , ， 一一一 一 一， ，4 .若点A, B是平面a上的任意两点，n是平面a的法向量，则 AB n = 0.（V）5 .若向量ni, n2为平面a的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定 平行.（，）6 . 一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.（，）7 .如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一

3、个法向量.（X）8 .给定一点A和一个向量a,那么，过点A,以向量a为法向量的平面是确定的.（，）想一想1 .确定直线方向向量的两种方法是什么？一是用空间一个基底表示，二是建立空间直角坐标系，写出方向向量的坐标.2 .用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量间 的关系.3 .用向量法证明线面垂直的方法及步骤是什么？（1）基向量法.确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积，根据数量积

4、为 0,证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论.(2)坐标法.方法一：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0;方法二：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行.思考感悟：练一练1 .若n=(2, 3,1)是平面a的一个法向量，则下列向量中能作为平面a的法向量的是()A. (0, -3,1) B. (2,0,1)C. (-2, -3,1) D. (-2,3, 1)答案：D2 .已知两直线的方向向量分别为a, b,则下列选项中能

5、使两直线垂直的为()A. a= (1,0,0), b=(-3,0,0)B. a= (0,1,0), b= (1,0,1)C. a=(0,1, 1), b=(0, -1,1)D. a= (1,0,0), b=(-1,0,0)答案：B3.若直线l的方向向量为 a= (1,0,2),平面”的法向量为 严(一2,0, 4),则()A. l/ a B. l± aC. l? a D. l与a斜交答案：B4.已知直线l与平面a垂直，直线l的一个方向向量为u=(1, 3, z),向量v=(3,2.1) 与平面a平行，则z等于()A. 3 B. 6C. 9 D. 9答案：C二测2寤电11国组氧行赛最久

6、属知识点一向量法处理线线垂直问题1 .已知空间三点 A(0,0,1), B(1,1,1), C(1,2, 3),若直线 AB 上一点 M,满足 CMXAB, 则点M的坐标为.解析：设 M(x, v, z), AB=(- 1,1,0), aM = (x, v, zT),由题意知，AM= MB, ，(x, y, z 1)=11,1,0),x= Z, y= Z, z= 1,则 M(X, Z, 1)., , CM =(一 心 1 ,卜 2,4). 一 11 1-CM XAB, .(卜 1)(-1) + (卜 2)1 + 4X0=0,解得 壮 2，.-.M -2，2 1 .,1 1答案：-1 1 12.

7、如图， ABC中，AC=BC, D为AB边中点，POL平面ABC,垂足 O在CD上，求 证：AB± PC.解析：设CA=a, CB= b, OP = v.由条件知，v是平面ABC的法向量，所以 v a= 0, v b= 0,因为D为AB中点，所以CD=1(a+b),因为O在CD上，所以存在实数 N 使CO= QD=2(a+b),因为CA=CB,所以|a|=|b|,所以 ABCP=(b a) a+b+v =(a+ b) (b-a)+ (b- a) v = -2(|b|2|a|2)+b v a v =0,ABC,则实数33 A. 740叶x, 157，2,4y, z分别为(),4015

8、,4 B.y,一亍 440D. 4, 40, 15所以ABCP,所以ABXPC.知识点二向量法处理线卸垂直问题3.已知 AB=(1,5, 2), BC=(3,1, z),若 AB,BC, E3P=(x-1, y, 3),且 BP,平面解析： ABXEBC,，AB BC= 0,即 1X3+5X1 + ( 2)Xz= 0,z= 4.BC = (3,1,4). BP，平面 ABC,BP AB=0,BP BC=0x-y X 1+ 5y+ 2 X 3=0, 即3 x-y +y+ 3 X4=0,解得 x= 4, y=综上,40157.15x=y, y=- y, z=4.答案：B4.正方体 ABCD AiB

9、iCiDi的棱长为1, E, F分别是棱 BC, DDi上的点，如果 BiEL平面ABF，则CE与DF的长度之和为解析：分别以直线 DiAi, DiCi, DiD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设 CE=x,DF = y,则 E(x,1,1), F(0,0,1 y), A(1,0,1) , Bi(1,1,0),所以 AF= ( 1,0, y), BiE= (x1,0,1).又BiE,平面 ABF,所以 BiEXAF,即 BiEAF=0,所以 x+ y= 1.答案：1知识点三向量法处理面面垂直5.在四面体 ABCD中，ABL平面 BCD, BC=CD, / 别是AC, AD的中点，求证：平

10、面 BEFL平面 ABC.BCD = 90°, Z ADB = 30°, E, F 分证明：以B/a,%为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，D(0, >/3a,0), E 乎a, 2s43a, ： , F 0,A(0,0, a),则易得故 AB=(0,0,B(0,0,0),-a), BC =为a 3 a2 a，a a设平面ABCni AB=0的法向量为ni=(xi, yi, zi),则 一ni BC=0aZi = 0,xi + yi = 0, ni=(1, 1,0)为平面 ABC的一个法向量.设n2=(x2, y2, Z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得 n2

11、=(1,1, - V3). . nin2=(1, 1,0) (1,1, -73)=0,，平面BEF,平面 ABC.6.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，。是AC的中点，G是BBi的中点，E是线段 DiO上一点，且 DiE=2EO.求证：(1)DG，AC;(2)DBi,平面 CD。平面CDE，平面 CDiO.解析：不妨设正方体的棱长为1,以DA, DC, DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 .，一1 1如图所小的空间直角坐标系，则 D(0,0,0), A(1,0,0), Bi(1,1,1), O 2, 2，0 , C(0,1,0), Di(0,0,1),1G 1, 1, 2 .

12、-1-(1)DG= 1, 1, 2 , AC=( 1,1,0),工,-.DG AC = - 1 + 1 + 0=0, .1.DGXAC, DGXAC.11(2)DBi=(1,1,1), CDi = (0, 1,1), OC= £, 2，0 ,112 + 1 x 2+ 1X0 = 0, DBi CDi = 1 X0 + 1 X ( 1) + 1 X 1 = 0 , DBi OC = 1 XDBiXCDi, DBiXOC, CDinOC = C, .DBi,平面 CDiO. ._. . f (3)由(2)知平面CDiO的一个法向量为DBi = (1,1,1), r一 2 一 2 1 11

13、 12- DiE=2EO, . DiE = 3DiO=3 2，2, - 1 = 3,3 ,E ；, 1 1 .DE= ；,；, 1，设 n=(xi,yi,zi)是平面CDE 的法向量，由3 3 333 3一n DC = 01113X1 + 3丫1 + 3ZI = 0yi= 0令xi=1,得n = (1,0, 1)是平面CDE的一个法向量,又 nDBi=(1,0, - 1) (i,i,i) = i-i=0,.nXtDBi, 平面 CDEL平面 CDiO.综合应用7 .已知点P是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，如果届=(2, 1, 4), AD=(4,2,0), AP=(1,2, 1).对于

14、结论：APLAB;APLAD;AP是平面 ABCD的法向量；AP/BD. 其中正确的是(填序号).解析：AP AB= (-1,2,1) (2, 1, -4)=- 1 X2+2X ( - 1)+(- 1)X (-4) = 0, . APAB,即正确.AP AD= (1,2, - 1) (4,2,0)= (-1)X4 + 2X2+ (-1)X 0=0.-.AP±AD,即正»一, 一一I一 一一，,一，一.八确.又,ABnAD=A,，AP，平面ABCD,即AP是平面 ABCD的一个法向量， 正确. AP是平面ABCD的法向量,AP±BD,不正确.答案：8 .在直角坐标系

15、 O xyz中,已知点P(2cos x+ 1,2cos 2x+2,0)和点Q(cos x, 1,3),其中 xC 0,水 若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为.解析：由 OPLOQ,得 OP OQ = 0.即(2cos x+ 1) cos x+ (2cos 2x+ 2) (1) = 0.cos x= 0 或 cos x= 2.- x 0,可，-x = 2 x=g基础达标、选择题1111 .若平面 3的法向量分别为 m= 6，3， 1 , n= 2， 1，3 ,则()A. all 3 B.八 3C. a与3相交但不垂直D. all 3或a与3重合解析：n= - 3m, m / n,a/ 3或 a

16、与 3重合.答案：D2 .已知平面a内有一个点A(2, 1,2), a的一个法向量为 n = (3,1,2),则下列点P中， 在平面a内的是()3A. (1, - 1,1) B. 1, 3, 23-3C. 1, - 3, 2 D. T, 3, 2解析：若点P在平面 “内，则PA± a,即PAn=0.对于选项 A, PA= (1,0,1),则PA n =11(1,0,1) (3,1,2) = 5W0,故排除 A；对于选项 B, FA= 1, 4, 3 ,则PA n= 1 , 4, 2 (3,1,2)=0,故B正确；同理可排除C、D.答案：B3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱

17、长为 a, M , N分别为 A1B, AC的中点，则 MN与 平面BB1C1C的位置关系是()A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定解析：建系如图，设正方体的棱长为2,-r7则 A(2,2,2), Ai (2,2,0), C(0,0,2) , B(2,0,2),M(2,1,1), N(1,1,2), . MN = (1,0,1).又平面BB1C1C的一个法向量为n = (0,1,0),1X0 + 0X 1+1X0=0,.MN±n, .MN/平面 BB1C1C.故选 B.答案：B4 .在菱形ABCD中，若於平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是 ()A.PA AB=0 B

18、.PC BD = 0- A C.PC AB= 0 D.PA CD = 0解析：.阿，平面 ABCD, BD± PA.又. ACBD,PCXBD.故选项B正确，选项A和D显然成立.故选 C.答案：C5 .已知点 A(0,1,0), B(1,0, 1), C(2,1,1), P(x,0, z),若 PAL平面 ABC,则点 P 的坐 标为()A. (1,0, -2) B. (1,0,2)C. (-1,0,2) D. (2,0, -1)解析：由题意知 AB= (- 1 , 1, 1), AC = (2,0,1), AP = (x, 1, z),又因为 PAL平面 ,1ABC,所以有 AB

19、AP = (-1, - 1, - 1) (x, - 1, z)=0,得一x+1z= 0 .,1AC AP= (2,0,1) (x,1 , z) = 0,得 2x+z=0 ,联立得x=1, z= 2,故点P的坐标为(一1,0,2).答案：C6 .四菱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB = (2, 1, 4), AD=(4,2,0), AP=(-1,2, 1),则直线PA与底面ABCD的关系是()A .平行 B .垂直C.在平面内D.成60°角解析：. AB AP=2X ( 1)+2X( 1)+ ( 1)X ( 4)=0,AD AP= 4X(-1) + 2X2+0X

20、(- 1) = 0.又AB?底面 ABCD, AD?底面 ABCD ,ABA AD = A,.APL底面 ABCD.故选 B.答案：B7 .在正方体 ABCD AiBiCiDi 中，E, F 分别在 AiD, AC 上，且 AiE=2AiD, AF = 1AC, 33则()A. EF至多与AiD, AC中的一个垂直B. EF± AiD, EFXACC. EF和BDi相交D. EF与BDi异面解析：以点D为坐标原点，分别以 DA, DC, DDi的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为i,则 Ai(i,0,i), D(0,0,0), A(i,0,0), C(

21、0,i,0), E ： 0, 1 , F 2,0,333 3B(i,i,0), Di(0,0, i),一， 则AiD = ( i,0, i), AC = (-i,i,0),EF= 1, 3, -7 , BDi = (-i, i,i), 3 33EF = - BD i, ajD EF=0, Ac EF=0, 3从而 EF / BDi, EFXAiD, EFXAC,故选 B.答案：B8.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，若E为AiCi的中点，则直线 CE垂直于（）A. AC B. BDC. AiD D. AiA解析：建立如图所示的空间直有坐标系.设正方体的棱长为i.则 A(i,0,0),B(

22、i,i,0), C(0,i,0), D(0,0,0), Ai(i,0,i), Ci(0,i,i),i iE2, 3，i，N i i 一一一一-CE= -, 2，i , AC= (i,i , 0), BD = ( i, -i,0), AiD=(-i,0, -i), AiA=(0,0,i2 +0xi = o,CE± BD.T). Ce EBD = (-i)X 2+( i)X答案：B二、填空题9.两平面外3的法向量分别为 的值是.尸(3, -i, z), v = (-2, y, i),若 n 3,则 y+z解析：a_L ? v= 0? - 6+ y+z= 0,即 y+z= 6.答案：610

23、 .已知A, B, C三点的坐标分别为 A(4,i,3), B(2, 5,i), C(3,7,加 若ABAC,则k=.解析：.%=( 2, 6, 2), AC=( 1,6,卜 3), AB aC = 2362(卜 3)=0, 入 =-14.答案：1411 .已知点A, B, C的坐标分别为(0,1,0), (1,0,1), (2,1,1),点P的坐标为(x,0, z),若 raxab, RA±>AC,则点P的坐标为.解析：PA=(-x,1 , -z), AB=(-1, 1,1), AC= (2,0,1), PA AB=0, PA AC=0,x- 1 - z= 0, -2x- z

24、= 0,23.一1x z_= 3'-12答案：3, 6 312.若正三菱锥 PABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为 .解析：设高为h,底边长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系，则点P(0,0, h),A 卓 0, 0 ,B -63, 12, 0 ,C g - 1-, 0 ,玄=卓 0, - h , pB= g 2, h , 36262362PC=兴 一；，一h ,得平面PAB, PAC的法向量分别为 <3, 3, 1 , 回 一 3, h ,则3- 9+ j12=0,解得 h=乎答案：；6 6三、解答题13.如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱 )ABC A1

25、B1C1的所有棱长都为2, D为CC1的中点.求证： AB1,平面A1BD.证明：如图所示，取BC的中点O,连接AO.因为 ABC为正三角形, 所以AOXBC.因为在正三棱柱 ABC AiBiCi中，平面 ABC，平面BCCiBi, 所以AO,平面BCCiBi.取B1C1的中点Oi,以。为原点，分别为OB, OOi, OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，则 B(i,0,0), D(-i,i,0), Ai (0,2,5 A(0,0, ® Bi(i,2, 0).设平面AiBD的法向量为n=(x, v, z),BAi = (-i,2,5 BD(-2,i,0). 一、， .

26、. 因为 n±BAi, n±BD,n BAi = 0,-x+ 2y+#z= 0,故 一？n BD= 0,-2x+y=0,令 x= i,则 y=2, z= -故n = (i,2,5)为平面AiBD的一个法向量，而ABi=(i,2,一四， - -“所以 A Bi = n,所以 A Bi/ n,故ABi,平面AiBD.14.如图，在三棱锥 P-ABC中，三条侧棱 FA, PB, PC两两垂直，且 PA= PB = PC=3, G 是 PAB的重心，E, F分别是BC, PB上的点，且 BE EC = PF FB = i 2.(i)求证：平面 GEF,平面PBC;(2)求证：EG与

27、直线PG及直线BC都垂直.证明：(i)如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以 PA, PB, PC所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P xyz.则 A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3), E(0,2,i), F(0,i,0), G(i,i,0), P(0,0,0).于是 EF = (0, i, i), EG=(i, i, - i).n±EF设平面GEF的法向量是n = (x, v, z),则n±EGy + z= 01,可取 n = (0,1 , 1).x y z= 0一， 一一 * ，一显然PA= (3,0,0)是平面PBC的一个法向量.一 ,一又 n PA=0, n±PA,即平面PBC的法向量与平面 GEF的法向量垂直，平面GEF，平面PBC.(2)由(1),知 EG=(1, 1, 1), PG=(1,1,0), BC=(0, 3,3), .EG PG = 0, EG BC = 0,EGXPG, EGXBC,EG与直线 PG及直线BC都垂直.能力提升15 .如图，在四棱锥 PABCD中，PDL底面 ABCD,底面 ABCD为正方形，PD = DC, E, F分别是AB, PB的中点.(1)求证：EFXCD;(