数字信号处理讲义--第5章 线性时不变系统的变换分析

1、第章 线性时不变系统的变换分析教学目的1了解LTI系统频率响应的概念；2掌握线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；3掌握有理系统频率响应分析方法4理解线性相位系统、广义线性相位系统与因果广义线性相位系统的概念，几类线性相位系统。教学重点与难点重点：1线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；2有理系统频率响应分析方法；3几类线性相位系统。难点：1 有理系统频率响应分析方法几类线性相位系统5.1 LTI系统的频率响应前面已经讨论过，在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为 对等式两端取Z变换，得 则 (5-1)

2、两边做离散傅立叶变换有:|Y(ej)|=|H(ej)|·|X(ej)| (5-2)|Y(ej)|=|H(ej)|·|X(ej)| argY(ej)=argH(ej)+argX(ej)|H(ej)| 幅度响应 : 增益/幅频特性 调整输入信号各频率分量的相对强度(幅度)关系ArgH(ej) 频率响应的相位响应 : 相移/相频特性 调整输入信号各频率分量的相对位置(相位)关系H(ej) 调整输入信号各频率分量的相对大小(幅度)及位置(相位)关系5.1.1 理想低通滤波器的选择性5.1.2相位失真与延时线性相位 : 不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应 : 时延非线性相

3、位：改变信号的相对位置时延不相同5.2 用线性常系数差分方程所表征系统的系统函数一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示， 其N阶常系数线性差分方程的一般形式为 若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换， 利用Z变换的线性特性和移位特性可得 这样就得到系统函数为 （5-3） 由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。式（5-3）是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得 （5-4）式中，z=ck是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，它们都由差分方程的系数ak和bk决定。因此，除了比例常数b0/a0以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来

4、确定。 但是式（5-3）（或式（5-4）并没有给定H(z)的收敛域，因而可代表不同的系统。这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。 5.2.1 因果性与稳定性因果性: 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因此 因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即 (5-5)稳定性: 一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(

5、n)必须满足绝对可和条件，即 而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。因果稳定系统 因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，即 (5-6)也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。 例 5-1 已知系统函数为 2<|z| 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。 从收敛域看，收敛域包括点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。 由于2nu(n)项是发

6、散的， 可见系统确实是不稳定的。 例 5-2 系统函数不变， 但收敛域不同。 求系统的单位脉冲响应及系统性质。 解 收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定的但是非因果的。由系统函数的Z反变换可得 由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。 5.2.2 逆系统定义:(1) 如一个系统不同的输入下，就有不同的输出，则系统是可逆的；如系统是可逆的，那就有一个逆系统存在(2) 一个可逆的系统与原系统级联后，输出就会等于输入：令：记 H(z) 的逆系统若 ， 已知，求 ，正问题； 多数情况如此若 ， 已知，求 ，逆问题；已知系统和输出，求源心电逆问题，脑电逆问题若 ， 已知，求 ，逆问题；

7、 已知输入输出，求系统矿物勘探、地球物理 等领域由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念：如果 互为逆系统 最小相位系统稳定的充要条件1. 若系统输入、输出已知，希望求系统调整 的参数，使 接近等于 ，则 2. 若系统输入未知，输出已知，希望求系统调整 的参数，使 接近等于 ，则 3. 若系统输出已知，再知道输入或系统，欲求另一个，可采用反卷积的方法：M 依次递推deconv.m 5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应在第四章讨论了用部分分式展开技术求Z反变换的方法。 对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式为 该系统函数是z-1的有理函数，如果它仅仅具有一阶极点，那么它

8、通常可以展开成如下形式: (5-7)前面一个和式是通过长除法得到的，只有在MN时才存在。如假设系统是因果的，则H(z)的收敛域必须是在所有极点的外侧。H(z)对应的单位脉冲响应为 (5-8)在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列， 称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。 从IIR系统的定义可知，若要h(n)为无限长序列，那么在式（5-8）中，至少有一项Akdnku(n)，也即要求H(z)至少有一个非零极点。这只要式（5-7）的分母多项式除a0外至少有一个系数

9、ak0，则在有限Z平面就会出现极点，那么这个系统就是IIR系统。 如果除a0外全部ak=0 (k=1, 2, , N)，则系统就属于FIR系统。 这是因为前面已说过，有限长序列h(n)的Z变换H(z)在有限Z平面0<|z|<收敛。也就是说，H(z)在有限Z平面不能有极点，只存在零点。这时系统函数H(z)可表示为 (5-9)单位脉冲响应为： (5-10)系统的差分方程： (5-11)系统的差分方程： (5-11)从结构类型来看，IIR系统除a0外至少有一个ak0，其差分方程表达式（设a0=1）为 (5-12)可以看出，ak0，求y(n)时，需将各y(n-k)反馈过来，用-ak加权后和

10、各bkx(n-k)相加，因而有反馈环路，这种结构称为“递归型”结构。也可以看出，IIR系统输出不但和各x(n-k)有关，且和各y(n-k)有关。 如果全部ak=0 (k=1, 2, , N)，则没有反馈环路，称之为“非递归型”结构。也可以看出，FIR系统的输出只和各输入x(n-k)有关。 IIR只能采用递归型结构，FIR系统多采用非递归型，但若用零点、极点互相抵消的办法，则也可采用含有递归结构的电路。 例5-3 考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程y(n)=0.5y(n-1)+x(n)显然， 其系统函数为 因系统是因果系统，故其收敛域为|z|>0.5。该系统的单位脉冲响应为 因h(n

11、)为无限长，故为IIR系统。 例 5-4 一个FIR系统的单位脉冲响应为 则系统函数为 (5-13)其零点 k=0, 1, , (N-1) z=a处有一极点。假设a是正实数，显然z=a的极点被z=a的零点抵消。若N=8，则极-零点图如图5-1所示。其差分方程为线性卷积，即 (5-14)从式（5-12）最右边的H(z)表示式可得另一种形式的差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)-aNx(n-N) （5-15）式（5-14）和式（5-15）是两种等价的差分方程， 因为它们是从两个等价的系统函数H(z)得来的。 (图5-1) 例5-4的极-零点图观察式（5-7）可以发现，一个N阶的系统函数H(z

12、)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应。式（5-7）已表示出H(z)的因式分解， 即用零、极点表示为 (5-16)假设M=N，这时用z=ej代入，即得系统的频率响应为 (5-18)在Z平面上，ej-ck可以用一根由零点ck指向单位圆上ej点的向量Ck来表示Ck=ej-ck同样，ej-dk可以由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示Dk=ej-dk因此 (5-19)以极坐标表示有：Ck

13、=CkejkDk=Dke jkH(ej)=|H(ej)|ej()就得到 (5-20) (5-21)这样频率响应的幅度函数就等于各零点至ej点向量长度之积除以各极点至ej点向量长度之积，再乘以常数b0/a0。而频率响应的相位函数等于各零点至ej点向量的相角之和减去各极点至ej点向量相角之和。当频率由0到2时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。例如，图5-2表示了具有两个极点一个零点的系统以及它的频率响应，这个频率响应不难用几何法加以验证。 图 5-2频率响应的几何表示法 5.3.1 单个极点或单个零点的频率响应例 5-5 设一个因果系统的差分方程为y

14、(n)=x(n)+ay(n-1) |a|<1, a为实数求系统的频率响应。 解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得 单位脉冲响应为 该系统的频率响应为 幅度响应为 相位响应为 图5-3 一阶离散系统的各种特性 5.3.2 多重极点或单个零点的频率响应例5-6 设系统的差分方程为 这是M-1个单元延时及M个抽头相加所组成的电路，常称之为横向滤波器。试求其频率响应。 解 令x(n)=(n)，将所给差分方程等式两端取z变换，可得系统函数为 H(z)的零点满足zM-1=0, 即 这些零点等间隔地分布在单位圆上，其第一个零点为z0=1 (i=0)， 它正好和单极点zp=1相抵消，所以整个函数有(M

15、-1)个零点 ，而在z=0处有(M-1)阶极点。当输入为x(n)=(n)时，系统只延时(M-1)位就不存在了， 故单位脉冲响应h(n)只有M个值，即 图5-3示出M=6 时的零-极点分布、频率响应、单位脉冲响应以及结构图。频率响应的幅度在=0处为峰值，而在H(z)的零点的频率处，频率响应的幅度为零。可以用零、极点向量图来解释此响应。从h(n)看出，其单位脉冲响应是有限长的序列。 图 5-6 横向滤波器的结构与特性（a） 零-极点分布; （b） 单位脉冲响应; (c) 幅度响应;(d) 相位响应; (e) 横向网络结构图 5.4 幅度和相位特性之间的关系一个线性时不变系统的频率响应就是冲激响应的

16、傅立叶变换,一般说来,关于幅度特性的了解并没有给出任何有关相位的信息.而对于线性对于线性常系数差分方程描述的系统,其幅度和相位之间有某种制约关系. 如果频率响应的幅度特性和零极点个数是已知的话,那么与其有关的相位特性也只有有限种选择.同样, 如果零极点个数已知,相位特性已定的情况下,幅度特性除了加权因子外,也只有有限种选择. 而在最小相位的限制下,频率响应的幅度特性唯一地决定了相位特性,相反相位特性也将除了比例因子外唯一地确定幅度特性.具体见书例5.10,5.11 190-1915.5 全通系统定义: 如果一个系统的幅频响应对所有的频率都等于1 (或一个常数), 即则称系统 为全通系统最简单的

17、全通系统，纯延迟一阶全通系统：镜像对称 二阶全通系统： 一对位于单位圆内的共轭极点，一对共轭零点和极点以单位圆为镜像对称 。高阶全通系统：高阶全通系统的另一种表示形式：即：对该全通系统，请自己证明：全通系统的特点：1 .  是IIR系统(不考虑纯延迟形式）； 2. 极点数和零点数相等； 3. 极点和零点是以单位圆镜像对称的； 4. 极点都在单位圆内,零点都在单位圆外； 5. 全通系统的群延迟始终为正值。全通系统的应用：IIR系统的 无限长，无法对称，即无法作到线性相位。在实际中，可以用一个全通系统和IIR系统相级联，在不改变幅频响应的情况下对相频响应做矫正，使其接近线性相位。全通系统

18、还广泛应用在系统分析及一些特殊滤波器的设计方面（如功率互补IIR滤波器组） 极零图 幅频 相频 抽样响应一阶全通系统三阶全通系统5.6最小相位系统定义: 一个离散系统，其极点必须在单位圆内，但对零点没有限制，如果：1.所有的零点都在单位圆内： 最小相位系统；2. 所有的零点都在单位圆外： 最大相位系统；3. 单位圆内、外都有零点： 混合相位系统。最小相位系统的性质：1. 在具有相同幅频响应的因果的稳定的滤波器集合中, 最小相位滤波器具有最小的相位偏移；思考：哪那一个是最小相位系统？幅频相频抽样响应图2. 在所有具有相同幅频响应的离散系统中, 最小相位系统的 具有最小的延迟；令： 累计能量有：

19、所以，最小相位系统的单位抽样响应又称最小延迟序列。思考： 具有线性相位的FIR系统是否是最小相位系统？例. 三个系统：它们具有相同的幅频响应，试判断，那一个是最小相位系统？最大相位系统？混合相位系统？请注意：为保证系统具有相同的幅频响应（相同的定标）， 的表达式。零极点幅频相频抽样响应图3. 只有最小相位系统才有逆系统；4. 任一非最小相位的因果系统的转移函数均可由一个最小相位系统和一个全通系统 级联而成, 即：由于最小相位系统有着以上特殊的性质，因此有着广泛的应用，特别是在信号的建模与系统辨识方面。要理解，具有相同幅频响应的系统，它们所对应的转移函数可以是不相同的，区别就在于相位（或零点的位

20、置）。那么，如何由一个最小相位系统得到具有相同幅频响应的最大相位、混合相位系统？5.7 广义线性相位的线性系统5.7.1 线性相位FIR滤波器的特点 如果FIR数字滤波器的单位脉冲响应h(n)是实数序列， 而且满足偶对称或奇对称的条件，即h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)则滤波器就具有严格的线性相位特点。 1. 线性相位特性 先看h(n)偶对称的情况: h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 （5-22）其系统函数为 将m=N-1-n代入 即 （5-23）上式改写成 （5-24）滤波器的频率响应为 （5-25）我们可以看到，上式的以内全部是标量，如果我们将频率响应用相位函

21、数()及幅度函数H()表示 （5-26）那么有： （5-27） （5-28） 式(5-27)的幅度函数H()是标量函数，可以包括正值、负值和零， 而且是的偶对称函数和周期函数; 而|H(ej)|取值大于等于零, 两者在某些值上相位相差。式(5-28)的相位函数()具有严格的线性相位，如图5-4所示。 图 5-4 h(n)偶对称时线性相位特性 数字滤波器的群延迟()定义为 （5-29） 式中，grd(groupdelay)为群延迟函数。由式（5-29）可知，当h(n)满足偶对称时，FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时， 它等于单位脉冲响应h(n)长度的一半。也就是说，FIR数字滤波器的

22、输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。 再看h(n)奇对称的情况: h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1 （5-30） 其系统函数为 因此 H(z)=-z-(N-1)H(z-1) （5-31）同样可以改写成 （5-32） 其频率响应为 （5-33） 所以有: （5-34） （5-35）幅度函数H()可以包括正值、负值和零，而且是的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位，又包括/2的相移，如图5-5所示。可以看出，当h(n)为奇对称时，FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时， 还产生一个90°的相移。这种使所有频率的相移皆为90°的网络，称为9

23、0°移相器，或称正交变换网络。它和理想低通滤波器、理想微分器一样，有着极重要的理论和实际意义。 当h(n)为奇对称时，FIR滤波器将是一个具有准确的线性相位的正交变换网络。 图 5-5 h(n)奇对称时线性相位特性 2 FIR四类线性相位系统（）第一种类型： h(n)为偶对称，N为奇数从h(n)偶对称的幅度函数式（5-27） 可以看出，不但h(n)对于(N-1)/2 呈偶对称，而且 也对(N-1)/2 呈偶对称，即: 因此，可以将内两两相等的项合并，例如n=0 项与n=N-1 项合并，n=1 项与n=N-2 项合并，等等。但是，由于N是奇数，两两合并的结果必然还剩下一项，即n=(N-

24、1)/2项是单项，无法和其他项合并，这样，幅度函数就可以表示为 再进行一次换元，即令 ，则上式可改写为 因此，可以将内两两相等的项合并，例如n=0 项与n=N-1 项合并，n=1 项与n=N-2 项合并，等等。但是，由于N是奇数，两两合并的结果必然还剩下一项，即n=(N-1)/2项是单项，无法和其他项合并，这样，幅度函数就可以表示为 再进行一次换元，即令 ，则上式可改写为 可表示为 （5-36） 式中: （5-37a） n=1,2,3,(N-1)/2 （5-37b） 按照式（5-36），由于式中cos(n)项对=0,2皆为偶对称，因此幅度函数H()对于=0, ，2也呈偶对称。 （2）第二种类型

25、：h(n)为偶对称，N为偶数 推导过程和前面N为奇数相似，不同点是由于N为偶数，因此式（5-27）中无单独项，全部可以两两合并得 令 ，代入上式可得 因此 （5-38） 式中: n=1,2, 3, , N/2 （5-38） 按照式（5-38），当=时， ，余弦项对=呈奇对称，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且H()对=呈奇对称。 当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶对称，幅度函数H()对于=0, 2也呈偶对称。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器

26、，则不能用这类数字滤波器来设计。 （3）. 第三种类型： h(n)为奇对称，N为奇数将h(n)奇对称的幅度函数式（5-37）重写如下： 由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称，即h(n)=-h(N-1-n)，当n=(N-1)/2时， 因此， , 即h(n)奇对称时，中间项一定为零。此外，在幅度函数式(5-37中， 也对(N-1)/2 呈奇对称。 因此，在中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项合并，共合并为(N-1)/2， 即 令 ， 则上式可改写为 即 （5-40） 式中: n=1, 2, 3, , (N-1)/2（5-41） 由于sin(n)在=0, , 2处都为零，并对这

27、些点呈奇对称， 因此幅度函数H()在=0,2处为零，即H(z)在z=±1上都有零点，且H()对于=0,2也呈奇对称。 如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。 (4). 第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数 和前面情况3推导类似，不同点是由于N为偶数，因此式（5-24）中无单独项，全部可以两两合并得 令 ， 则有 因此 （5-41） 式中: （5-42） 由式（5-30），当=0, 2时， ，且对=0, 2呈奇对称，因此H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1 处有一个零点，且

28、H()对=0, 2也呈奇对称。 当=时， 或1，则 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。 如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 最后, 将这四种线性相位FIR滤波器的特性示于表5-3中表5-3 四种线性相位滤波器 3 线性相位FIR滤波器的零点位置 由式（5-17）与式（5-18）可以看到， 线性相位FIR滤波器的系统函数有以下特点： H(z)=±z-(N-1)H(z-1) （5-43） 因此，若z=zi是H(z)的零点，即H(zi)=0，则它的倒数z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点，因为H(zi-1)=

29、±zi (N-1) H(zi)=0; 而且当h(n)是实数时，H(z)的零点必成共轭对出现，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零点，因而线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。这种互为倒数的共轭对有四种可能性： (1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，如图5-5(a)所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对，如图5-5(b)所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分。故零点对如图5-5(c)所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一

30、个零点，有两种可能， 或位于z=1， 或位于z=-1，如图5-5(d)、 (e)所示。 图 5-5 线性相位FIR滤波器的零点位置图 由幅度响应的讨论可知，第二种类型的线性相位滤波器由于H()=0， 因此必然有单根z=-1。第四种类型的线性相位滤波器由于H(0)=0, 因此必然有单根z=1。而第三种类型的线性相位滤波器由于H(0)=H(）=0， 因此这两种单根z=±1 都必须有。 了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。下面讨论线性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。 4 举例 例 5-5 如果系统的单位脉冲响应为 0n4 其他n 显然，这是第一种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为 该系统的振幅、相位和群延迟示于图5-6中。因为h(n)的长度N=5， 群延迟也是整数，()=(N-1)/2=2。