数值实验暑期实习题目2011

1、数值实验2011暑期实习题目*实验一：迭代法求方程根的收敛性实验目的：体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对迭代收敛性的影响。实验内容：考虑一个简单的代数方程，针对上述方程，可以构造多种迭代法，如下列几种迭代格式：；。实验要求：（1）取定某个初始值，按如上四种迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验，并自行设计一种比较形象的记录方式（如利用Matlab的图形功能等），分析四种迭代法的收敛性与初值选取的关系。（2）选取第种迭代格式（Newton迭代法），取不同的初始值进行迭代，结果如何？并分析迭代法对不同的初值是否有差异。（3）对上述四种迭代格式，

2、编制Steffensen迭代程序，选取不同的初始值，输出迭代次数和方程的根，并与（1）、（2）中的结果进行比较。*实验二：多项式插值的振荡现象，即插值的龙格现象实验目的：体会在用多项式插值方法逼近一个函数时，使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，随着插值多项式次数的增加，插值函数是否也更加逼近给定的函数。实验内容：考虑龙格函数在区间的一个等距划分，分点取为则拉格朗日插值多项式为其中的是n次拉格朗日插值基函数。实验要求：（l）选择不断增大的分点数目时，画出原函数及插值多项式函数在上的图像，比较并分析实验结果。（2）选择其他的函数，例如定义在区间-5，5上的函数 重复上述（1）的过程，比较并分析

3、实验结果。（3）区间上切比雪夫点的定义为 以为插值节点，构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较并分析实验结果。（4）利用Newton插值方法重复上述实验过程，比较并分析实验结果。*实验三： 用Gauss消去法求解线性方程组实验目的：体会在Gauss消去法中,主元的选择对数值算法的影响以及方程组的系数矩阵的条件数对解的影响。实验内容：考虑线性方程组编制求解线性方程组的Gauss列主元消去法。实验要求：取三对角矩阵，则方程组的解为。取，计算矩阵的条件数，并在消去过程分别按自然顺序、按模最小的元素和按模最大的元素作为主元，比较并分析实验结果。注：若方程组阶数比较大时，输出结果要求用文件存储。*实验

4、四：三次样条插值方法的实现实验目的：体会三次样条插值函数的构造方法及其应用，并比较利用该方法得到的分段多项式函数和被逼近函数的近似程度（用图形的形式比较）。实验内容：考虑函数在区间上，分成 10等分。利用三次样条插值的三弯矩方法（方法），编制用于第一种和第二种边界条件的程序。设已知数据为第一种边界条件：第二种边界条件： 实验要求：分别用所编程序求解，输出各插值节点的弯矩值和插值中点的样条函数值，并作点列和三次样条插值函数的图形。*实验五：用数值方法计算定积分实验目的：体会用数值方法计算定积分值和解析方法之间的区别。实验内容： 计算下列定积分的近似值（括号中为该积分的精确值）(1) (2) (3

5、) (4) 实验要求：分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和Romberg方法计算，要求绝对误差限为，比较并分析实验结果。*实验六：用数值积分方法求解积分方程实验目的：体会数值积分方法在求解积分方程中的应用。实验内容：应用数值积分方法求解下列积分方程试验要求：分别用个等距积分节点，使用复合Simpson公式离散积分项，也取同样的节点，并用Gauss列主元消去法求解离散化后所得的线性方程组。*实验七：用迭代方法求解线性方程组实验目的：体会用迭代方法求解线性方程组和用直接方法求解线性方程组之间的区别，初始迭代向量对计算结果的影响以及迭代方法的收敛性条件。实验内容：用迭代法求解方程组，其中，它

6、的每条对角线元素是常数，设为试验要求：选取不同的初始向量和不同的方程组右端项向量，给定迭代误差要求，分别用Jacobi、Gauss-Seidel以及SQR迭代法计算，分别计算各种方法的迭代矩阵的谱半径，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？比较并分析实验结果，要求迭代误差满足。*实验八：矩阵特征值和特征向量的数值计算方法实验目的：体会并比较各种计算矩阵特征值和特征向量的数值计算方法。实验内容：考虑Hilbert矩阵 试验要求：取，分别编写实用的QR迭代算法（不是用Matlab中提供的函数“eig”，而是用我们课堂上讲过的方法）、隐式对称QR迭代算法、Jacobi方法计算该矩阵的全部特征值，并用带位

7、移的幂法求所有特征向量，比较并分析实验结果。*实验九：求常微分方程初值问题的数值方法实验目的：体会并比较各种求解常微分方程初值问题的数值解的数值方法。实验内容：常微分方程初值问题（其精确解为 ）试验要求：分别取步长，采用改进的Euler方法、4阶经典RK方法和4阶Adams预测-校正方法计算初值问题，并比较它们在最后一个点上的函数值的精确程度和所花费的计算机CPU时间（其中多步法需要的初值由经典R-K法提供）。*实验十：求自行车轮饰物的运动轨迹实验目的：利用所学数学知识建立数学模型，解决实际问题，并用图形直观表示，培养利用计算机解决实际问题的能力。实验内容：（1）自行车的辐条上安装一块亮丽夺目的饰物，当这自行车沿直线行走时，这饰物的运动轨迹是一条什么曲线？试画出它的图形。（2）当这自行车在一个抛物线型的拱桥上通过时，或是在一拱一拱的正弦曲线上通过时，这饰物的运动轨迹是一条什么曲线？试画出它的图形。试验要求：根据上述实验内容，建立一个