江苏扬中第二高级中学201高三上期末模拟-数学

1、20122013学年度第一学期高三数学模拟试卷一、填空题：1若复数满足（i是虚数单位），则= 2已知为锐角，则 3设是单位向量，且，则向量的夹角等于 4从标有数字1到4的四张卡片中任取2张，则积为偶数的概率为 5右图是一程序框图，则其输出结果为 6在ABC中，C为直角，且25，则AB的长为 开始结束S=0是否输出(第5题)12 48 16 32（第12题）7已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为 8已知圆：，过圆外一点作圆的切线（为切点），当点在直线上运动时，则四边形PAOB的面积的最小值为 9设函数，若对于任意的

2、，2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是 10如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置(单位圆与x轴的一个交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向运动到达点，若的点横坐标是，则的值等于 11在ABC中有如下结论：“若点M为ABC的重心，则”，设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，点M为ABC的重心.如果，则内角A的大小为 12将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如上表，其中第行第个数表示为，例如若，则 13.已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 14已知函数,若，且，则的最小值为 二、解答题： 15

3、在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列（1）若，b，求ac的值；（2）求的取值范围 16. BADCFE（第16题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，,为的中点，求证（1）平面； （2）平面平面 17如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y(A0，0，)，x3，0的图象，且图象的最高点为B(1，)；赛道的中间部分为千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧（1）求，的值和DOE的值；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上

4、记POE，求当“矩形草坪”的面积最大时的值18.已知数列的前项和为，且满足，其中常数（1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的通项公式；（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由. 19圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦.若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦.已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点.（）试用的代数式分别表示和；yEPNMxOF（第19题）（）已知“若点是圆C：上的任

5、意一点（），是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则”. 类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为（如图），则也是与点M、N、位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明.20已知：二次函数，其中，且函数在处取得极值.（I）求所满足的关系；（II）若直线：与函数在上的图象恒有公共点，求的最小值；（III）试判断是否存在，使得对任意的，不等式恒成立？如果存在，请求出符合条件的的所有值；如果不存在，说明理由.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 2 , 3 4 4 5 6乙 78 9 10 11 12122 131或 14二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字

6、说明、证明过程或演算步骤15.解：（I）， 2分 =，所以y=的最小正周期为T2. 5分（），9分， 12分函数的值域为. 14分16. （1）证明：在正方形中，因为， 所以三棱柱的底面三角形的边因为，所以，所以因为四边形为正方形，所以，而，所以平面（2）解：因为平面，所以为四棱锥的高因为四边形为直角梯形，且，所以梯形的面积为所以四棱锥的体积17. 解：（1）3分（当且仅当时，取等号）生产100万套时，每套成本费用最低.6分（2）由题设，利润，9分当，即时，当产量为万套时，利润最大12分当时，函数在上是增函数，当产量为200万套时，14分18.（）解：因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以，则 2分

7、 令则 4分 同理可得：， 6分（）证明：由（）可知：， 8分 在椭圆C：上， . 10分 则（定值）.是与和点位置无关的定值. 15分19解：（）点的坐标依次为， 则，若共线；则，即，即，所以数列是等比数列。 （）依题意，两式作差，则有：， 又，故， 即数列是公差为的等差数列；此数列的前三项依次为，由，可得，故，或，或。数列的通项公式是，或，或。 由知，时，不合题意；时，不合题意；时，； 所以，数列的通项公式是。 20解：（I） 由已知得，代入， 2分（II）由题意得：方程在时总有解， ，即， 当时， 在时单调递减， 4分 当时，由，同理可得， 当时，由（当且仅当时，取“=”）得， 当时，同理可得. 6分 要使得直线：与函数在上的图像总有交点，实数应取、（），（）三者中的最大值，（），又