江苏盱眙中学2013高三上学期期末考试--数学（带解析）

1、盱眙中学2013届高三上学期期末考试数学试题一、填空题1已知向量a，b满足| a | = 1，b = 2，(a b)·a = 0，则a与b的夹角为 2中，所对的边长分别为，且，则。3已知、，满足=+（O是坐标原点）,若+=1 , 则点坐标满足的方程是 4命题“存在，使得”的否定是 5如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是 6已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式恒成立现有两个函数：，则函数、与集合M的关系为 .7若集合, 则等于 _8设是等差数列的前n项和，已知=3，=11，则等于_9数列，的一个通项公式为_.10不等式的解集为_.

2、11已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 12已知，且，则的最大值为13已知一组数据x1，x2，x3，xn的平均数是，方差是，那么另一组数据2x1 1，2x2 1，2x3 1，2xn 1的平均数是，方差是14某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ _根在棉花纤维的长度小于20mm。二、解答题15（）设函数，求的最小值；（）设正数满足，证明16设，函数 （1）求m的值，并确定函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并加以证

3、明。17（本题16分）已知函数，其中e是自然数的底数，当时，解不等式；若当时，不等式恒成立，求a的取值范围；当时，试判断：是否存在整数k，使得方程在 上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由。18附加题) 已知矩阵， （1）计算AB； （2）若矩阵B把直线的方程。19本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量 (I)求矩阵的特征值、和特征向量；(II)求的值（2）（本小

4、题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）求直线l的直角坐标方程；（）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（）已知：a、b、；w.w.w. .c.o.m （）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.20如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、若的面

5、积不小于，求直线斜率的取值范围. 参考答案一、填空题1【解析】试题分析：由得夹角为考点：向量数量积运算点评：22【解析】34对任意，都有.【解析】含有量词的命题既要否定量词，又要否定结论.56M, 【解析】（1）若axbM，则存在非零常数k，对任意xD均有 akxb，即a(k1)x恒成立，得无解，所以M（2），则，k4，k2时等式恒成立，所以M78639an=10111213，1430二、解答题15（）解：对函数求导数：于是， 当时，在区间是减函数，当时，在区间是增函数，所以时取得最小值，（II）用数学归纳法证明()当n=1时，由（）知命题成立()假设当n=k时命题成立即若正数满足，则当n=k

6、+1时，若正数满足，令，则为正数，且，由归纳假定知同理，由，可得综合、两式即当n=k+1时命题也成立根据()、()可知对一切正整数n命题成立16略17（1）；（2）；（3）存在唯一的整数。【解析】因为所以，取根的中间；即不等式恒成立，分类讨论：且时，数形结合：如图：若，若，如图：方程在 上有解，需判断函数在上的单调性，数形结合。（1） 即，由于，所以所以解集为；当时，即不等式恒成立， 若，则，该不等式满足在时恒成立； 由于， 所以有两个零点， 若，则需满足 即，此时无解； 若，则需满足，即，所以， 综上所述，a的取值范围是。方程即为，设， 由于和均为增函数，则也是增函数， 又因为， 所以该函数

7、的零点在区间上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有 一个零点，所以方程有且仅有一个根，且在内，所以存在唯 一的整数。18略19（1）解：（I）的特征多项式为令，得1， 2分当1时，得；当时，得 4分(II)由得，得 5分 7分（2）解：（）化简为，直线l的直角坐标方程为； 3分（）设点P的坐标为，得P到直线l的距离， 5分即，其中 当时， 7分（3）m 解：（）， ， 4分（）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c， 7分【解析】20（）() -，-1（-1， 1）（1，）.【解析】(I)先建系，然后根据为定值,可确定点M的轨迹是双曲线，然后按照求双曲线标准方程的方法求解即

8、可.(II) 先设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.根据条件可知 ,从而得到k的取值范围.再利用弦长公式和韦达定理用k表示出|EF|,再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离，从而表示出三角形的面积，这样三角形的面积就表示成了关于k的函数，再根据,得到关于k的不等式，从而解出k的取值范围，再与前面k的取值范围求交集即可.（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设

9、实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由解得a2=b2=2,曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-，-1）（-1，