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文档简介
1、常微分方程模拟试题1一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线 2二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 3方程的基本解组是 4一个不可延展解的存在在区间一定是 区间 5方程的常数解是 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( )(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面 7. 方程( )奇解(A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个 8连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件 (A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分
2、9二阶线性非齐次微分方程的所有解( ) (A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间 10方程过点(0, 0)有( )(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解三、计算题(每小题分,本题共30分) 求下列方程的通解或通积分: 11. 12. 13. 14 15四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 五、证明题(每小题10分,本题共20分) 18设在上连续,且,求证:方程的一切解,均有19在方程中,在上连续,求证:若恒不为零,则该方程的任一基本解组的朗斯基
3、行列式是上的严格单调函数常微分方程模拟试题1参考答案 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 12 2线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零)3 4开 5 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6D 7C 8B 9C 10A 三、计算题(每小题分,本题共30分) 11解 当,时,分离变量取不定积分,得 (3分) 通积分为 (6分) 12解 令,则,代入原方程,得 (3分) 分离变量,取不定积分,得 () 通积分为: (6分) 13解 方程两端同乘以,得 令 ,则,代入上式,得 (3分) 通解为 原方程通解为 (6分) 14解 因为,所以原方程是全微分方程 (2分) 取,原方程的通积分为
4、 (4分) 即 (6分) 15解 原方程是克莱洛方程,通解为 (6分) 四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16解 对应齐次方程的特征方程为,特征根为, 齐次方程的通解为 (4分) 因为是特征根。所以,设非齐次方程的特解为 (6分) 代入原方程,比较系数确定出 , 原方程的通解为 (10分) 17解 先解出齐次方程的通解 (4分) 令非齐次方程特解为 满足 (6分)解得 积分,得 ,通解为 (10分) 五、证明题(每小题10分,本题共20分) 18证明 设是方程任一解,满足,该解的表达式为 (4分) 取极限 = (10分) 19证明 设,是方程的基本解组,则对任意,它们朗斯基行列式在上有
5、定义,且又由刘维尔公式 , (5分) 由于,于是对一切,有 或 故 是上的严格单调函数 (10分) 常微分方程模拟试题2 一、填空题(每小题3分,本题共15分)1方程所有常数解是 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 4方程的任一非零解 与轴相交 5阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6方程( )奇解(A)有无数个 (B)无 (C)有一个 (D)有两个 7. 方程过点( )(A)只有一个解 (B)有无数个解 (C)只有两个解 (D)无解 8有界是方程初值解唯一的( )条件
6、(A)必要 (B)必要非充分 (C)充分 (D)充分必要 9方程的任一非零解在平面上( )与轴相切 (A)不可以 (B)只有在点处可以 (C)只有在原点处可以 (D)只有在点处可以 10阶线性非齐次微分方程的所有解( ) (A)构成一个线性空间 (B)构成一个维线性空间 (C)构成一个维线性空间 (D)不能构成一个线性空间三、计算题(每小题分,本题共30分)求下列方程的通解或通积分: 11. 12. 13. 14 15四、计算题(每小题10分,本题共20分)16求方程的通解 17求下列方程组的通解 五、证明题(每小题10分,本题共20分)18设方程中,在上连续可微,且,求证:该方程的任一满足初
7、值条件的解必在区间上存在 19设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解,求证:它们不能有共同的零点常微分方程模拟试题2 参考答案及评分标准 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1; 或 2平面3充分必要 4不能 5 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6B 7A 8C 9A 10D 三、计算题(每小题分,本题共30分) 11解 分离变量得 (3分)等式两端积分得通积分 (6分) 12解 齐次方程的通解为 (2分) 令非齐次方程的特解为 代入原方程,确定出 (5分) 原方程的通解为 + (6分)13解 由于,所以原方程是全微分方程 (2分) 取,原方程的通积分为 (4分) 即 (6
8、分) 14解 令,则原方程的参数形式为 (2分) 由基本关系式 积分有 (4分) 得原方程参数形式通解 (6分) 15解 原方程为恰当导数方程,可改写为 即 (2分) 分离变量,取积分 (4分) 得原方程的通积分为 (6分) 四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16解 方程的特征根为 齐次方程的通解为 (3分) 因为是特征根所以,设非齐次方程的特解为 (5分) 代入原方程,可确定 , (8分) 故原方程的通解为 (10分) 17解 特征方程为 即 特征根为 , (2分) 对应特征向量应满足 可确定出 (5分) 同样可算出对应的特征向量为 (8分)所以,原方程组的通解为 (10分) 五、证明题(每小题10分,本题共20分) 18证明 由已知条件,方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件,因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远 (2分) 又由已知条件,知是方程的一个解 (4分)且在上半平面,有; 在下半平面,有 (7分) 现不妨取点属于上半平面,并记过该点的解为由上面分
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