等差数列的前n项和教案

1、§2. 3等差数列的前n项和一、教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决问题。过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。情感态度与价值观： 通过公式的推导过程， 使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。二、教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应用三、教学难点灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题四、教学过程创设情景在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提

2、出了下面的问题：1+2+3+100=?据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1 + 100) +(2+99) +(50+51) =101 X50=5050.探索研究我们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1, 2, 3,，n,的前n项的和：由 1 + 2 + n-1 + nn + n-1 + 2 + 1(n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1)可知 1 2 3 . n (n ' n2上面这种加法叫“倒序相加法”请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第 k项与倒数第k

3、项的和与首项与尾项的和相 等这个规律，并且把这个规律用于求和。这种方法可以推广到求一般等差数列的前n项和。等差数列求和公式的推导一般地，称a1 a2 a3 . an为数列an的前n项的和，用Sn表示，即Sn a a2 a3an.1 .思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢? 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。a1 (a1 d) (a12d) . a1 (n 1)d,Snan(and) (an 2d) . an(n 1)d,由+，得2Sn(a1an)+ (a1an)+ (a1an)+.+(a1an)nfn(ai an)对于这个公式, 项和了。由此得到等差数列an的前n项和的

4、公式Sn吟出n(n 1).Snna1d2我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前2 .把an ai (n 1)d代入Sn n(a1 an)中，就可以得到2对于这个公式，只要知道等差数列的首项、项数和公差，就可以求出等差数列的前n项和。引导学生思考这两个公式的结构特征得到： 第一个公式反映了等差数列任意的第 k项与 倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。 第二个公式反映了等差数列的前 n项和 与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，该公式可以变形为121一Sn -dn2 (a1 d)n ,可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道a1和221n

5、,不同点是第一个公式还需知道an,而第二个公式是要知道d,解题时还需要根据已知条 件决定选用哪个公式。例题分析例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治 .某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从 一起用10年时间，在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算，该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从一起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？、先阅读题目；、引导学生提取有用的信息，构造等差数列模型；、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解

6、。解：根据题意，从 ,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列斗,表示从一起各年投入的资金，其中a1 500, d=50.那么，到 (n=10),投入的资金总额为10（10 1）一、Sn 10 500 50 7250 （万兀）2答：从2001,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2.已知一个等差数列an前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定 这个等差数列的前 n项和的公式吗？引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于 an、a1、n或者小d的方程。若要确定其前 n项求和公式，则要确定 a1和d的关系式，从而求

7、得。分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于 a1与d的二元次方程，由此可以求得a1与d,从而得到所求前 n项和的公式.解：由题意知§0 310, S20 1220,将它们代入公式Sn na1 nn 1)d,2段10a1 45d 310,付至1J T2 20al 190d 1220解这个关于a1与d的方程组，得到 a=4, d=6,所以Sn,n( n 4n22 63n2n另解：S10ak 310210310得aai062;S20a3202201220所以31320 122;-，得10d60,所以d6代入得：a1 4所以有Sn 31n nn d 3n2 n.已知几个

8、量，通2例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系 过解方程，得出其余的未知量21例3已知数列an的前n项为Sn n n ,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数2列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据Sn a1 a2 . an 1 anvSn 1 a1 a2 .可知，当n>1时，an Sn Sn 11当 n=1 时，a1 S1 1 2所以数列an的通项公式为由此可知，数列an是一个an 1( n 1 )21/、21 ,、n-n(n1)一 (n1)2n221 也满足式.2an 2n .23 一 r项为-,公差为2的等差数列。2Sn ,可求出通项6(n 1)&a

9、mp; Sn1 (n 1)用这种数列的 &来确定a。的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意a1不一定满足由Sn Sn 1 an求出的通项表达式，所以最后要验证首项现是否满足已求出的an.思考：结合例 3,思考课本 45页“探究”：一般地，如果一个数列an的前n项和为Sn pn2 qn r.其中p、q、r为常数，且pw 0,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列前n项和公式Sna1n"n1)dd n2(a1d) n ,222公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前 n项和公式是常数项为 0,且关于n的二次型函数，则这

10、个 数列一定是等差数列.2 4例4已知等差数列5,4-,3-,.的刖n项和为3,求使得S最大的序号n的值.分析：等差数列的前 n项和公式可以写成 Sn -n2 (a1 0) n ,所以Sn可以看成函22、“，d 2,d、，*、数yx(a1一)x(xN )当x=n时的函数值.22另一方面，容易知道S关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值.2 4解：由题意知，等差数列 5,4 ,3,7 7n5& n2 5 (n 1) ( 5)275的公差为 5 ,所以7275n 5n145 /15、2 1125(n )14256于是，当n取与”最接近的整数即7或8时,2随

11、堂练习课本45页“练习”第1、2、3题sn取最大值.课堂小结等差数列an的前n项和的公式Snn(a1 an)和 Sn na1 四)d22(五)评价设计课本46页A组第2、3、6等差数列的前n项和说课稿各位老师，同学们大家好，很高兴能有这次机会与大家一起交流，今天我说课的内容 是“等差数列的前N项和“，有不当之处望多多指正根据新课标中提到的说课标准 下面我将从教材分析，教法分析，学法分析，教学过 程这四个部分进行说明。一、教材分析1、本节在教材中的地位和作用”等差数列的前n项和”选自人民教育出版社高三上册第二章.课时为第二课 时，课型为新知课.它是对前面所学的等差数列相关知识的巩固和应用，无论在

12、知识 还是能力上，都是进一步学习其他数列知识的基础.同时，在推导等差数列的前n项和公式的过程中所采用的“倒序相加法”是今后数列求和的一种常用且重要的方法. 因 此，掌握等差数列的前n项公式及推导为后面将要学习的等比数列的相关知识打下坚 实的基础.同时起到了承上启下的重要作用.2、目标分析根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认识结构和新课程标准，我从 三个方面确定了本节课的教学目标：(1)知识目标：(a)掌握等差数列的前n项和公式及推导过程；(b)会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.(2)能力目标：(a)培养学生的逻辑推理能力；(b)培养学生分析问题，解决问题的

13、能力.(3)情感目标：(a)培养学生的辩证唯物主义思想.(b)提高学生的数学修养.3、教学重点与难点为了实现上述三个教学目标，我把本节课的重、难点确定为：(1)教学重点：等差数列前n项和公式的推导，理解及应用.(2)教学难点：等差数列前n项和公式的推导及应用.为了突出重点、突破难点，在教学中我采取以下措施：从学生已有的知识出发， 精心设计一个符合学生知识水平的具体问题，并通过相关的数学史，逐步引导学生观 察，类比推导出等差数列的前n项公式，并能灵活应用解决相关的问题. 三、教法分析为了调动学生积极的非智力因素， 同时为了更好的培养学生的自学能力，本节课 我将采用自主式探索式教学法，在遵循启发式

14、教学原则的基础上，主要采用以引导发 现法，谈话法为主，练习法为辅的教学方法，意在通过特殊等差数列求和问题出发引 导学生导出一般等差数列的求和公式， 从而调动学生的积极性，同时给学生提供一个 广阔的探索空间，一个充分展示创新能力的机会.四、学法分析在学法指导上，根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的组织 者、辅导者、引导者，因此，在本节课的教学中我主要是引导学生通过观察、类比得 到等差数列的前n项和公式，从而激发学生的求知欲和学习积极性，从而把传授知识 和培养能力有机地结合起来.五、教学过程2、展示新知在引出等差数列的求和问题后， 我并不是直接给出解决的办法，而是进一步把学 生引导

15、到对问题的观察、分析、归纳活动之中，不仅让学生通过自己的尝试活动解决 了特殊的等差数列的求和问题，还通过师生互动协作用类比的方法，导出了一般等差 数列的求和公式.在采用对特殊数列的求和问题的求解得到了 一般等差数列的求和问 题.把单纯死记知识改变为让学生积极参与，主动掌握探索的过程，体现了师生的互 动性，在的得到了 Sn n(a1 an)公式后，我并不是直接介绍推导前n项和的第二个公2式，而是通过一个特殊等差数列的求和问题出发，进而推导的公式 Sn nai nd .把单纯死记知识改变为让学生积极参与，主动掌握探索的过程， 体现了师生的互动性，从而在此过程中不仅获得了新知识，而且能力得到了培养，

16、真 正体现了 “以培养学生能力为中心”的教学思想.3、例题讲解根据教学过程的基本阶段，我将把巩固知识和运用知识两个阶段有机结合，以达到学懂会 用，学以致用.因而，当这部分知识讲解完后，我将通过讲解例题来强化学生对 知识的理解.例1.在等差数列an中，ai 20,3,5 48,求这个数列前15项的和？目的：使学生对所学知识的应用.因为这道题都比较基础，学生很容易完成，这样不但可以 增加他们学习的兴趣和自信心，还能够加深对公式的理解和应用.例2.求等差数列2,4,6，前n的和？目的：让学生巩固所学公式，能对公式进行简单运用.例3.等差数列10, 6, 2,2,前多少项的和为54?目的：该题目主要是

17、让学生来对题目的理解和分析，并能指出题目中的已知量和发现要求的未知量，使学生熟练掌握公式，进一步提高学生的应用能力.4、课堂练习根据夸美纽斯的教学巩固性原则， 为了培养学生独立解决问题的能力，教师要让 学生掌握系统知识的结构，通过归纳总结来提示知识的内在联系，强化知识系统，从 而形成牢固的知识结构.因此，分析完例题后，为了加深学生对公式的理解和掌握， 我将让学生们做书上的练习题.通过抽个别同学上黑板演算，其余同学在草稿本上完 成练习的方式来了解学生的学习情况，从而对讲解内容作适当的补充.5、课时小结本节课讲到了这里，就接近了尾声，待对学生的练习指导完成后，先由学生来总 结本节课所学的内容，并对

18、学生的回答加以鼓励.学生发表意见完毕后，由我对本节 课的内容做一个较为全面的总结，使学生对本节知识结构有一个清晰而系统的认识.6、作业布置按照循序渐进的原则，我对作业布置分为三层，这样既让大部分学生对所学知识 能加以巩固，同时又为学有余力的学生留有自由发展的空间，以弥补课堂上照顾学生 的个别差异，进行因材施教的不足。作业布置如下：1、作业题：教材P118的习题3. 3的1、2、3题；2、预习内容：教材P117的例3、例4;3、思考题：老师在推导公式过程采用与书上不同的方法，下来请同学们把书上的 推导方法看一下.比较这两种方法有什么不同之处.目的：使学生进一步掌握所学知识，提高学生的思维能力，探索能力.六、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用.