不等式阶段性测试题7

1、阶段性测试题七(不等式)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1(文)(2011·甘肃天水一中期末)已知a、b为非零实数，且a<b，则下列不等式成立的是()Aa2<b2B.>C.< D.>答案C解析a，b为非零实数，且a<b，当a5，b1时，A、B不成立，当a1，b2时，D不成立，故选C.点评C可证明如下：a，b为非零实数，a2b2>0，a<b，<，<.

2、(理)(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考)若a>0，b>0且ab4，则下列不等式恒成立的是()A.>B.1C.2 D.答案D解析a>0，b>0，ab4，2，ab4，1，故A、B、C均错，选D.点评对于D有，a2b2(ab)22ab162ab162×48，.2(2011·辽宁铁岭六校联考)设a>0，点集S的点(x，y)满足下列所有条件：x2a；y2a；xya；xay；yax.则S的边界是一个有几条边的多边形()A4B5C6D7答案C解析作出不等式组表示的平面区域如图可知，它是一个六边形3(2011·山东潍坊一中期末

3、)设a，b是两个实数，且ab，a5b5>a3b2a2b3，a2b22(ab1)，>2.上述三个式子恒成立的有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析a5b5(a3b2a2b3)a3(a2b2)b3(b2a2)(a2b2)(a3b3)(ab)2(ab)(a2abb2)>0不恒成立；(a2b2)2(ab1)a22ab22b2(a1)2(b1)20恒成立；>2或<2，故选B.4(2011·巢湖质检)二元一次不等式组所表示的平面区域与圆面x2(y2)22相交的公共区域的面积为()A. B. C. D答案B解析画出可行域如图OAB，它与圆面相交的公共区域为扇形

4、BEF，OBA，圆半径为，扇形面积为S××()2.5(2011·辽宁沈阳二中检测)已知，若Zx2y的最大值是3，则a的值是()A1 B1 C0 D2答案A解析画出可行域如图，zx2y的最大值为3，y经过可行域内的点A(a，a)时，z取到最大值3，a2a3，a1.6(2011·福州市期末)已知实数x，y满足，则xy的最小值为()A2 B3 C4 D5答案A解析画出可行域如图，令uxy，则当直线yxu经过点A(1,1)时，u取最小值2，故选A.7(2011·蚌埠二中质检)已知M是ABC内的一点，且·2，BAC30°，若MBC，M

5、CA和MAB的面积分别为，x，y，则的最小值是()A20 B18 C16 D9答案B解析由条件知，·|·|·cosBAC|·|2，|·|4，SABC|·|·sin30°1，xy1，xy(x>0，y>0)，2(xy)218，等号在，即y2x时成立，xy，x，y时，取最小值18.8(2011·陕西宝鸡质检)“x3”是“(x2)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分与不必要条件答案A解析由(x2)0()得，x1或x3，x3时，式成立，但()式成立时，不一定有x3，故选

6、A.9(2011·辽宁铁岭六校联考)已知A、B是ABC的两个内角，若psinA<sin(AB)，q：A，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析sinA<sin(AB)，即sinA<sinC，a<c，A<C，A，但当A时，未必有sinA<sinC，如A，B，C时不满足sinA<sin(AB)10(2011·巢湖市质检)定义在R上的函数f(x)对x1，x2R，(x1x2)f(x1)f(x2)<0，若函数f(x1)为奇函数，则不等式f(1x)<0的解集为()A(1，) B(

7、0，)C(，0) D(，1)答案C解析由条件知f(x)在R上单调递减，f(x1)为奇函数，f(1)0，不等式f(1x)<0化为f(1x)<f(1)，1x>1，x<0.点评如果F(x)定义域为R，F(x)为奇函数，则必有F(0)0，F(x)f(x1)为奇函数，有F(0)f(1)0.11(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若A为不等式组表示的平面区域，则a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为()A9 B3C. D.答案D解析作出平面区域A如图，当a从2到1连续变化时，动直线yxa从l1变化到l2，扫过A中的那部分平面区域为四边形EOF

8、G，其面积SSOBESFGB×2×2×1×.12(2011·宁夏银川一中检测)设f(x)x3x，xR，当0时，f(msin)f(1m)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A(0,1) B(，0)C(，) D(，1)答案D解析f(x)x3x为奇函数且在R上为增函数，不等式f(msin)f(1m)>0，即f(msin)>f(m1)，即msin>m1在上恒成立当m>0时，即sin>恒成立，只要0>即可，解得0<m<1；当m0时，不等式恒成立；当m<0时，只要sin<恒成立，只要1<

9、;，只要0>1，这个不等式恒成立，此时m<0.综上可知：m<1.点评这里函数性质是隐含在函数解析式中的，其目的是考查考生是否有灵活使用函数性质简捷地解决问题的思想意识在不等式的恒成立问题中要善于使用参数分类的方法解决问题，本题的解析是对参数取值进行分类，也可以直接使用分离参数的方法求解，即msin>m1可以化为(1sin)m<1，当时，mR；当时，m<f()，只要m<f()min即可，即只要m<1即可综合两种情况得到m<1.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13(文)(20

10、11·重庆南开中学模拟)不等式2x2x<4的解集是_答案(1,2)解析不等式化为2x2x<22，x2x<2，1<x<2.(理)(2011·甘肃天水一中期末)不等式<0的解集为_答案(，1)(2,3)解析不等式化为(x2)(x1)(x3)<0，由数轴穿根法易得x<1或2<x<3.14(文)(2011·江西南昌调研)函数f(x)的定义域为_答案3，)解析由得，x3.(理)(2011·咸阳市模拟)已知函数f(x)，则不等式(x1)f(x)<x的解集是_答案解析不等式(x1)f(x)<x化为

11、或，<x<0.15(文)(2011·厦门期末)不等式组所确定的平面区域为D，则该平面区域D在圆x2(y1)24内的面积是_答案解析如图，直线x2y20和直线2xy10的斜率依次为k1，k22，k1k21，两直线互相垂直，故所求面积为S××22.点评若两直线不垂直，可先写出两直线的方向向量，利用向量求得两直线夹角，再求面积(理)(2011·浙江宁波八校联考)已知x，y满足且目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则_.答案2分析作出直线x1和xy4，画出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，由于目标函数z2xy最大值为7，最小值为1，y2x1

12、及y2x7分别与直线x1及xy4的交点为最优解，故此二点必在直线axbyc0上解析由得A(1，1)，由得B(3,1)，直线AB：，即xy20，此直线即axbyc0，比较系数得，2.16(2011·豫南九校联考)若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时上式取等号利用以上结论，可以得到函数f(x)(x(0，)的最小值为_答案25解析依据给出的结论可知f(x)25等号在，即x时成立三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2011·四川广元诊断)已知x0,1时，不等式x2cosx(1x)(1x)2sin

13、>0恒成立，试求的取值范围解析由题意知：x0或x1时，原不等式成立即sin>0，cos>0，在第一象限，x(0,1)时，x2cos(1x)2sin2x(1x)，原不等式成立，只须2x(1x)x(1x)>0注意到x(1x)>0，2>1sin2>k<<k，的取值范围应是，kZ.18(本小题满分12分)(文)(2011·厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为24m2、墙高为3m，一面靠旧墙的矩形房屋利用旧墙需维修，其它三面墙要新建，由于地理位置的限制，房子正面的长度x(单位：m)不得超过a(单位：m)(其平面示意图如下)已知旧墙的维修费

14、用为150元/m2，新墙的造价为450元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5400元(不计门、窗的造价)(1)把房屋总造价y(单位：元)表示成x(单位：m)的函数，并写出该函数的定义域；(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？解析(1)依题意得：y3x(150450)×2×3×450540018005400(0<xa)(2)y180054001800×2540021600540027000当且仅当x，即x6时取等号若a>6时，则x6总进价最低，最低总造价是27000元当a6时，则y1800当0<x<6时，y<0，故

15、函数y18005400在(0，a上是减函数，当xa时，y有最小值，即最低总造价为18005400元答：当a>6时，x6总造价最低，最低总造价是27000元；当a6时，xa总造价最低，最低总造价为18005400元(理)(2011·宁夏银川一中模拟)在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/小时)需遵循的关系是dav2(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d.(1)当d时，求机动车车速的变化范围；(2)设机动车每小时流量Q，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大分析(1)把d代入dav2，解这个关于v的不等式即可；(2)根据d满足

16、的不等式，以最小车距代替d，求此时Q的最值即可解析(1)由av2得，v25，0<v25.(2)由v25时，Q，Q是v的一次函数，v25时，Q最大为，当v>25时，Q，当v50时Q最大为.点评本题中对车距d有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于25时，两车之间的最小车距是，当车速大于25时，两车之间的最小车距是av2.19(本小题满分12分)(文)设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解析(1)a时，

17、f(x)x(ex1)x2，f (x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f (x)>0；当x(1,0)时，f (x)<0；当x(0，)时，f (x)>0.故f(x)在(，1，0，)上单调递增，在1,0上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)令g(x)ex1ax，则g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时g(x)0，即f(x)0.当a>1，则当x(0，lna)时，g(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范

18、围为(，1(理)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln21且x>0时，ex>x22ax1.解析(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f (x)ex2，xR.令f (x)0，得xln2.于是当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f (x)0f(x)单调递减2(1ln2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，

19、xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.20(本小题满分12分)(2011·黄冈市期末)已知函数f(x).(1)证明：函数f(x)在(1，)上为减函数；(2)是否存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由解析(1)

20、任取x1，x2(1，)，且x1<x2，f(x1)f(x2)>0，函数f(x)在(1，)上为减函数(2)不存在假设存在负数x0，使得f(x0)3x0成立，则x0<0，0<3x0<1，即0<f(x0)<1，0<<1，<x0<2与x0<0矛盾，所以不存在负数x0，使得f(x0)3x0成立点评(2)可另解如下：f(x)1，由x0<0得：f(x0)<1或f(x0)>2但0<3x0<1，所以不存在21(本小题满分12分)(2011·北京市朝阳区期末)已知函数f(x)ax2bx1(a，b为实数，a0，xR)(1)若函数f(x)的图像过点(1,0)，且方程f(x)0有且只有一个实数根，求f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围；(3)若F(x)当mn<0，mn>