(新版)北师大版2020届九年级数学下册难点专题二次函数的综合题(勇于探究的能力)

1、难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】代几结合，突破面积及点的存在性问题类型一 抛物线与三角形的综合一、求最值,0),交y轴于点B,对称轴是直线 x1 .如图，抛物线 y=x2bx+c交x轴于点A(1 =2.(1)求抛物线的解析式；巳 使4PAB的周长最小？若存在,(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.7二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题2 .如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a w 0)经过 A( 1, 0), B(3 , 0), C(0, 3)三点， 直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直

2、线l上的一个动点，当点 P到点A、点B的距离之和最短时，求点 P的 坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且MAE等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.【易错4】3 . 如图，已知抛物线经过原点O,顶点为A(1, 1),与直线y = x 2交于B, C两点.(1)求抛物线的解析式及点 C的坐标；(2)求证： ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MNLx轴与抛物线交于点 M,则是否存在以 Q M, N为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.三、与面积相关的问题4 .如图，坐标平面上，二次函数y=x2+4xk的图象与x轴交于A,

3、 B两点，与y轴交于C点，其顶点为 D,且k>0.若ABC与ABD的面积比为1 ： 4,则k的值为()5. 如图，二次函数y= ax2+ bx的图象经过点 A(2, 4)与B(6, 0).(1)求a, b的值;(2)点C是该二次函数图象上 A, B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB勺面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求 S的最大值.类型二抛物线与特殊四边形的综合6 .抛物线y=x2+6x9的顶点为 A与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形 ABC的平行四边形，那么点 D的坐标是()A (6, 0) B. (6, 0

4、) C. ( 9, 0) D. (9, 0)7 .如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别 为4, 2,则过A, B, C三点的抛物线的函数关系式是 .8 .如图，四边形 OABB边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为 15° ,点B在 抛物线y = ax2(a v 0)上，则a的值为.YJ9 .正方形OABC勺边长为4,对角线相交于点 巳抛物线l经过O, P, A三点，点E是 正方形内的抛物线l上的动点.(1)建立适当的平面直角坐标系，直接写出Q P, A三点坐标；求抛物线l的解析式；(2)求 OAE与OCE面积之和的最大值.参考答案与解析<

5、;1-b+c=0,b_41 .解：由题意得fb解得14'，抛物线的解析式为 y = x24x+3.2=2，c=3.(2)存在.点A与点C关于直线x=2对称，连接 BC与直线x=2交于点P,则点P 即为所求.根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3 , 0) . .y = x24x+3, 点B的坐标3m+ n= 0,mi= 1,为(0, 3).设直线BC的解析式为y=m奸n,则，解得二直线BC的解n = 3,n = 3.析式为y= x+3, 直线BC与直线x=2的交点坐标为(2,1),即点P的坐标为(2, 1).2 .解：将 A( 1, 0) , R3 , 0) , C(0 , 3)代入抛

6、物线 y= ax2+ bx+c 中，得a- b+ c= 0,匕=1,«9a+3b+c=0,解得，b= 2, .抛物线的函数关系式为y = x2-2x- 3.、c= - 3,、c= 一 3.(2)当点P在x轴上，P, A, B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时点P的横坐标为一3=1,故点P的坐标为(1 , 0).2a(3)点M的坐标为(1 , 1) , (1 ,炯,(1 ,-m),(1 , 0). 解析：抛物线的对称 轴为直线x=*=1.设点M的坐标为(1 , m.已知 代一1, 0), Q0, 3),则2aMA= m2+4,仙坛(m 3)2+1 = m+6m+

7、10, AC= 12+32= 10.若 MA= MC 则 mA = M(i 得 m2+4=m+6m 10,解得 mp 1;若 MA= AC 则 mA= aC,得 m2+ 4=10,解得 mr 土 班; 若 M仔AC 则 MCAC2,得 m2+6m+ 10=10,解得 m=0, m=6,当 mp 6 时，M A C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.综上所述，符合条件的点M的坐标为(1 ,1), (1,m)，(1,-炳,(1, 0).3. (1)解：顶点坐标为(1 , 1),，设抛物线的解析式为y=a(x1)2 + 1.又二抛物线过原点，0= a(0 -1)2+1,解得a= 1,，抛物线的

8、解析式为 y = -(x-1)2 + 1,即y =x2+ 2x.联立抛物线和直线解析式可得y= x2+ 2x, y=x 2,x= 2 解得，y= 0.点B的坐标为（2 , 0）,点C的坐标为（1, - 3）.（2）证明：分别过 A, C两点作x轴的垂线，交x轴于点D, E两点，则 AD= OD= BD= 1, BE= O即 OE= 2+1=3, CE= 3, . BE= CE /ABO / CB® 45 , /ABO Z ABO / CBO= 90° ,ABC直角三角形.2(3)解：假设存在满足条件的点N,设点N的坐标为(x, 0),则点M的坐标为(x, - x+ 2x),

9、.ONh|x|,MN= |-x2+2x|.由(2)在RtAABW RtACEEJ,可分别求得AB=，2,BO 3啦. MNLx 轴，. ./MNO/ABC 90当ABC MN目似时,有MN ON MN=或=AB BCT BCON MN ON 一 |x2+2x| | x| 口1 tAB 当 AB= BC 则有 忑 =372'即 |x| x+2| =3| x|.丁当 x=0 时'M Q N不能构成三角形，xw0, . | x+2| =1,即一x+2=±1,解得x = "5或x=；此时点NMN ON| -x2+2x|x| 口0）；当 BCTAB时，则有即冈x+2|

10、=3|x|，3333的坐标为|5, 0法23 3.| x+2| =3,即一x+2= ±3,解得 x=5 或 x=1,此时点 N 的坐标为(一1, 0)或(5,0).综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为0战17, 0战(1, 0)或(5, 0).3 34. D 解析：= y=x2+4xk=(x 2)2+4k, .,顶点 D 的坐标为(2, 4k),点 111C的坐标为(0, k), . OC= k. ABC勺面积为 2AB OC= -AB- k, 4ABD勺面积为 2AB- (4k), ABCWABM面积比为 1 ： 4, k=：(4k),解得 k=.故选 D. 45了.15.解：(

11、1)将 A(2, 4)与 B(6, 0)代入 y=ax2+bx,得，a - '解得彳 2， 36a+6b=0,L3.(2)如图，过 A作x轴的垂线，垂足为 D(2, 0),连接 CD CB过C作CEL AD CN x一 一1111轴，垂足分力1J为E, F.则 S»aoad= /OD。A&2><2X4=4. Saac户2八口，CE= X4X(x - 2) = 2x111 224 , Sabcd= 2BD。CF= 2X4X 2x + 3x |= - x + 6x.则 S= SaOA叶 SAC叶 SBCk 4 + 2x 4 x2+6x= x2+8x.，S 关于

12、 x 的函数表达式为 S= x2+8x(2< x<6) . . S= x2+8x=(x 4)2+16, .当x = 4时，四边形 OACBJ面积S有最大值，最大值为 16.26. D 解析：令 x=0,得 y=9, .点 B 的坐标为(0, 9).y= x+6x 9=一(x3)2, 点A的坐标为(3, 0),对称轴为直线 x = 3.二点C在抛物线上，且四边形 ABCD 是平行四边形，BC/ AQ即BC/ x轴，点C的坐标为(6, 9),BC= 6,. AD= 6, 点D的坐标为(9 , 0).故选D.7. y=分2京+20 解析：依题意得 A点的坐标为(一4, 2), B点的坐标

13、为(一2, 1223p6a-4b+c=2,6), C点的坐标为(2,4).设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,则彳4a2b+c=6,解4a+2b+ c=4,5a= - 77,12，得b= -抛物线的函数关系式为y= - x2-x + 1.2122320工 c=T.8 .一半 解析：连接 OB二四边形 OABO边长为1的正方形，BOC45。，OB=1><淄=娘.过点B作BDL x轴于点DOC与x轴正半轴的夹角为 15° ,，/BOD= 45° 1215 =30 ,BD- OB= -2OD= OB- bD=.点B的坐标为乎，一乎点B在抛物线y= ax2(ai<0)上，al26jP= 2,解得a= 39 .解：(1)以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OCW在的直线为y轴建立 直角坐标系，如图所示.正方形OABC勺边长为4,对角线相交于点 P,，点O的坐标为(0, 0),点A的坐标 为(4 , 0),点P的坐标为(2, 2).设抛物线l的解析式为y = ax2 + bx + c.由抛物线l经过 O, P, A三点，得10=c，a=-2,12$0=16a+4